Zadania na pierwsza kartówke, RP2 2009/2010
1. Dany jest ciag (an) liczb dodatnich zbieżny do 0, oraz ciag (Xn)
zmiennych losowych takich, że dla n e" 1, Xn ma rozklad geometryczny z
parametrem pn. Udowodnić, że jeÅ›li pn/an  > 0, to anXn Ò!Exp().
2. Niech S bedzie przeliczalnym podzbiorem RN, zaÅ› µn, µ - miarami
probabilistycznymi skupionymi na S. Wykazać, że jeśli dla każdego x " S
mamy µn({x}) µ({x}), to µn Ò! µ.
3. Dany jest ciag (Xn) niezależnych zmiennych losowych o rozkladzie jed-
nostajnym na przedziale [0, 2]. Czy ciag (n minkd"n Xk)n jes zbieżny wedlug
rozkladu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?
4. Zalóżmy, że (Xn) zbiega wedlug rozkladu do X i supn E|Xn|2 < ".
Udowodnić, że dla p " (0, 2) zachodzi limn" E|Xn|p = E|X|p.
5. Zalóżmy, że Xn, X, Yn, Y (n = 1, 2, . . .) sa zmiennymi losowymi
określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Udowodnić, że jeśli
(Xn) zbiega wedlug rozkladu do X i (Yn) zbiega wedlug rozkladu do Y stalej
p.n., to (XnYn) zbiega wedlug rozkladu do XY .
6. Dany jest ciag (Xn) zmiennych losowych o tej wlasności, że (sin Xn)
oraz (sin ĄXn) zbiegaja wedlug rozkladu do 0. Udowodnić, że (Xn) zbiega
wedlug rozkladu do 0.
7. Rozstrzygna ć, czy funkcja
2
e-t
Ć(t) =
1 + sin2 t
jest funkcja charakterystyczna pewnego rozkladu na prostej.
8. Rozstrzygna ć, czy funkcja
cos t
Ć(t) =
1 + t2
jest funkcja charakterystyczna pewnego rozkladu na prostej.
9. Zmienne losowe X1, X2, . . . sa niezależne i maja rozklad jednostajny
na przedziale [-3, 3]. Niech Ä = inf{n e" 1 : Xn e" 0}. Wyznaczyć funkcje
charakterystyczna zmiennej XÄ .