1. a) Nie korzystając z kalkulatora, wykaż, że:
2
1 1
śą ƒÄ… źą Ä… 2 .
ćą
2
2
ćą
b) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność:
śąaƒÄ…bźą2‡Ä…4ab .
2. Podaj, które liczby spełniające równanie x3- xa2=0 należą do zbioru rozwiązań nierówności
a=log1 6-log1 3
śą xƒÄ…1źąśąxƒÄ…2aźą"Ä…0
, jeżeli .
2 2
3. Prosta o równaniu y=-2x+3 zawiera jeden z boków kwadratu, a punkt S(3,12) jest środkiem
symetrii tego kwadratu.
a) Oblicz pole koła wpisanego w ten kwadrat.
b) Oblicz pole koła opisanego na tym kwadracie.
4. Na okręgu o promieniu 2 opisano trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 12.
Oblicz obwód tego trójkąta.
5. Przekrojem osiowym stożka jest trójkÄ…t równoramienny o kÄ…cie miÄ™dzy ramionami 120º. Oblicz
pole powierzchni całkowitej tego stożka, wiedząc, że jego objętość jest równa 27Ą cm3.
6. Rozwiąż równanie x3+8=x(x+8). Czy któreś rozwiązanie równania należy do zbioru rozwiązań
nierówności #"x-2#""ą1 ?
7. W urnie jest 6 kul białych, m kul czarnych i n kul zielonych. Losujemy 1 kulę z tej urny.
Wyznacz m i n, wiedząc, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest dwukrotnie
mniejsze niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli, która nie jest czarna, a prawdopodobieństwo
wylosowania kuli białej jest trzykrotnie mniejsze od prawdopodobieństwa wylosowania kuli, która
nie jest biała. Ile równe byłoby prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej, gdybyśmy do tej
urny wrzucili jeszcze 8 białych kul?
8. Punkty: A(0,0), B(7,1) i C(-1,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wyznacz równanie prostej
zawierającej środkową tego trójkąta wychodzącą z wierzchołka A oraz równanie prostej
zawierającej środkową wychodzącą z wierzchołka B. Uzasadnij, że te proste nie są prostopadłe.
9. Dany jest trójkÄ…t prostokÄ…tny o kÄ…tach ostrych Ä… i ².
a) Uzasadnij, że śąsin ·Ä…ƒÄ…sin ¸Ä…źą2=1ƒÄ…2sin ·Ä…sin ¸Ä… .
2
sin ·Ä…sin ¸Ä…=
b) Oblicz cos·Ä…ƒÄ…cos¸Ä… , wiedzÄ…c, że .
5
10. Funkcja kwadratowa f śą xźą=x2ƒÄ…6xƒÄ…c ma dokÅ‚adnie jedno miejsce zerowe.
a) Oblicz c i zapisz równanie osi symetrii wykresu funkcji f.
b) Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale <-4;0>.
11. Konrad pożyczył od kolegi 600 zł. Dług spłacał co tydzień w równych ratach. Gdyby wydłużył
okres spłaty długu o 3 tygodnie, raty zmalałyby o 10 zł tygodniowo. Oblicz, jak długo Konrad
spłacał dług.
12. Rzucamy dwa razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo każdego ze
zdarzeń:
A  za pierwszym razem wypadła parzysta liczba oczek,
B  suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbÄ… parzystÄ…,
C=A)"B.
13. Średnia ocen z języka polskiego na koniec roku w pewnej klasie liczącej 20 osób wynosiła 3,6.
Czterech uczniów otrzymało ocenę niedostateczną. Jaka byłaby średnia ocen w tej klasie, gdyby ci
uczniowie na koniec roku otrzymali ocenÄ™ dostatecznÄ…?
14. Punkt M(2, -5 ) jest wierzchołkiem kwadratu. Jeden z jego boków zawiera się w prostej o
równaniu x+2y-7=0. Oblicz pole tego kwadratu.
15. Do akwarium w kształcie prostopadłościanu o wymiarach podstawy 50 cm i 40 cm, częściowo
wypełnionego wodą dolano jeszcze 5l. O ile podniesie się poziom wody w akwarium
16. Bok trójkąta równobocznego ma długość a. Z wierzchołków tego trójkąta zakreślono trzy okręgi
o promieniach a. Oblicz pole części wspólnej kół ograniczonych zakreślonymi okręgami.
17. Zbiornik ma kształt walca z obu stron zakończonymi półkulami. Oblicz ile litrów wypełni ten
pojemnik, jeśli pole powierzchni całkowitej zbiornika równe jest 3Ą m2, a wysokość walca równa
jest 2 m.