1. Oblicz granicę ciągów
a) lim ( 2 - 8 - 2 + 3)
"
2
" - 8 + 2 + 3
"
lim ("2 - 8 - "2 + 3) = " - " = lim "2 - 8 - "2 + 3 " =

2
" - 8 + 2 + 3
"
2 - 8 - 2 + 3 -5
= lim = lim = 0
"
2
" - 8 + 2 + 3
"
b) lim 3 + 8 + 5
"
lim "3 + 8 + 5

"8 < "3 + 8 + 5 < "4 " 8
lim "8 = lim 8 = 8

lim "4 " 8 = lim 8 " 4 = lim 8 " 1 = 8
"

lim "3 + 8 + 5 = 8

lub wykorzystując wiedzę, że znaczenie ma największy składnik można od razu napisać (przy czym
trzeba chyba uzasadnić):
lim "3 + 8 + 5 = 8

c) lim
+ 2 2 2
lim = lim 1 + = lim 1 + =

( ) ( )
2. Własności i wykres funkcji, , , ( )
( )
a) =
-dziedzina, przeciwdziedzina
2
: 5 - 2 = 0 Ô! 5 = 2 Ô! =
5
2
= \{ }
5
2
= \{ }
5
- parzystość, nieparzystość
1 - 2
)
(- =
-5 - 2
) ( )
(- `" funkcja nie jest parzysta
1 - 2 2 + 1 1 - 2 -1 - 2
) ( )
(- = - Ô! = - Ô! `" funkcja nie jest nieparzysta
-5 - 2 5 - 2 -5 - 2 2 - 5
- punkty przecięcia z osiami
( )( )
miejsce zerowe: 2 + 1 5 - 2 = 0 Ô! 2 + 1 = 0 (" 5 - 2 = 0 Ô! 2 = -1 (" 5 = 2 Ô!
1 2
Ô! = - " (" = "
2 5
2 " 0 + 1 1 1
( ) = = -
0 =
5 " 0 - 2 -2 2
-granice na końcach przedziału określoności
1
x 2 +
2 + 1 2 2
x
lim = lim
2 = lim 5 = 5
- 2
5
5 -
1)
x(2 +
2 + 1 2 2
x
lim = lim
2) = lim 5 = 5
- 2
5
(5 -
2 4 + 1 9
2 " + 1
2 + 1
5 = lim 5 5
lim = lim = lim = -"
2
5 - 2 2 - 2 0

5 " - 2
5
2 4 + 1 9
2 " + 1
2 + 1
5 5 5
lim = lim = lim = lim = "
5 - 2 2 - 2 0
2

5 " - 2
5
- asymptota pionowa i pozioma
2
= =
5
-2 2
= - = - =
5 5
- szkic wykresu
Brak minimum, maksimum, ekstremum
-funkcja odwrotna
2 + 1
( )
= Ô! 5 - 2 = 2 + 1 Ô! 5 - 2 = 2 + 1 Ô! 5 - 2 = 1 + 2 Ô!
5 - 2
1 + 2
( )
Ô! 5 - 2 = 1 + 2 Ô! =
5 - 2
1 + 2
: =
5 - 2
-złożenie funkcji
1 + 2 2 + 4 + 5 - 2
2 " + 1
9
5 - 2 5 - 2
( ) = = = =
2 + 1 10 + 5 - 5 + 4
9
5 " - 2
5 - 2 5 - 2
2 + 1 5 - 2 + 4 + 2
1 + 2 "
9
5 - 2 5 - 2
( ) = = = =
2 + 1 10 + 5 - 10 + 4
9
5 " - 2
5 - 2 5 - 2
( )
b) = 2 " 1 -
-dziedzina, przeciwdziedzina
: =
Dziedziną funkcji wykładniczych jest zbiór liczb rzeczywistych
= (-", 2 >
Przeciwdziedzina jest przedziałem między granicami funkcji
- parzystość, nieparzystość
1
)
(- = 2 " 1 -
3
1 1
(- ) ( )
2 " 1 - `" 2 " 1 - Ô! `" funkcja nie jest parzysta
3 3
1 1 1 1
2 " 1 - = - 2 " 1 - Ô! 2 " 1 - `" -2 " 1 - Ô!
3 3 3 3
( ) ( )
Ô! `" - funkcja nie jest nieparzysta
- punkty przecięcia z osiami współrzędnych
1 1 1 1 1
miejsce zerowe: 2 " 1 - = 0 Ô! 1 - = 0 Ô! = 1 Ô! = Ô! x = 0
3 3 3 3 3
1
( ) ( )
0 = 2 " 1 - = 2 " 1 - 1 = 2 " 0 = 0
3
- granice na końcach określoności
1
( )
lim 2 " 1 - = lim 2 " 1 - 0 = lim 2 " 1 = 2

3
1
( )
lim 2 " 1 - = lim 2 " 1 - " = lim 2 " -" = -"

3
- asymptoty
Funkcja wykładnicza wtym przypadku ma tylko jedną asymptotę, poziomą
= 2
- szkic wykresu
Brak minimum, maksimum, ekstremum
Ä™!
"
-funkcja odwrotna
1 1 1 1
= 2 " 1 - Ô! = 1 - Ô! - 1 = - Ô! = 1 - Ô! = log 1 -
3 2 3 2 3 3 2 2
: = log 1 -
2
-złożenie funkcji
1
( ) = 2 " (1 - = 2 " 1 - 1 + = 2 " =
3 2 2
1
2 " 1 -
1 1
3
( ) = log 1 - = log 1 - 1 + = log =
2 3 3
( )
c) = log (2 - 4 )
-dziedzina, przeciwdziedzina
1
: 2 - 4 = 0 Ô! 4 = 2 Ô! =
2
1
= (-"; )
2
Zgodnie ze specyfiką logarytmu, może on być tylko z liczby > 0, czyli " (-"; )
(-", )
= "
- parzystość, nieparzystość
( ) (- Ô! log 2 - 4 `" log 2 + 4 funkcja nie jest parzysta
= ) ( ) ( )
( ) - Ô! log (2 - 4 ) `" - log (2 - 4 ) funkcja nie jest nieparzysta
= ( )
- punkty przecięcia z osiami współrzędnych
( ) ( )
miejsce zerowe: log 2 - 4 = 0 Ô! log 2 - 4 = log 1 Ô! 2 - 4 = 1 Ô! -4 = -1 Ô!
1
Ô! =
4
( ) ( - 4 " 0 = log 2
0 = log 2 )
- granice na końcach określoności
(-" ( ) ( )
)
lim log (2 - 4 ) = lim log 2 - 4 " = lim log 2 + " = lim log " = "

( ) (zgodnie z Wolfram Alpha)
lim log 2 - 4 = lim log 2 - 4 " = lim log 0 = -" (zgodnie z Wolfram Alpha)
- asymptoty
Asymptoty pionowej brak, gdyż żadnej liczby nie wyrzuciliśmy z dziedziny
toty pionowej brak, gdyż żadnej liczby nie wyrzuciliśmy z dziedziny
Asymptoty poziomej brak, gdyż wartości funkcji dążą do "
Asymptoty poziomej brak, gdyż wartości funkcji dążą do
- szkic wykresu
-minimum, maksimum
Brak minimum i maksimum
Ä™!
"
Autor: shenlon