Kolokwium II rok 2009/2010
Zadanie 1 :
" " " "
a) Dane sÄ… dwa szeregi i o wyrazach nieujemnych 5ØNÜ5Ø[Ü i 5ØOÜ5Ø[Ü o których wiemy, że 5ØNÜ5Ø[Ü d" 5ØOÜ5Ø[Ü
5Ø[Ü=1 5Ø[Ü=1
dla każdego 5Ø[Ü " 5ØAÜ. OceÅ„ prawdziwość zdaÅ„ ( odpowiedz uzasadnij):
" "
- Jeżeli szereg 5ØOÜ5Ø[Ü jest zbieżny, to 5ØYÜ5ØVÜ5ØZÜ5Ø[Ü " 5ØNÜ5Ø[Ü = 0.
5Ø[Ü=1
1
" "
- Jeżeli 5ØYÜ5ØVÜ5ØZÜ5Ø[Ü " 5Ø[Ü 5ØNÜ5Ø[Ü = to szereg 5ØOÜ5Ø[Ü jest zbieżny.
"
5Ø[Ü=1
8
" "
- Jeżeli 5ØYÜ5ØVÜ5ØZÜ5Ø[Ü " 5ØNÜ5Ø[Ü+1 = 5ØRÜ, to szereg 5ØOÜ5Ø[Ü jest rozbieżny.
5Ø[Ü=1
5ØNÜ5Ø[Ü
" " 1
b) Zbadaj zbieżność szeregu
3
5Ø[Ü=2
5Ø[Ü "5ØYÜ5Ø[Ü45Ø[Ü
RozwiÄ…zanie:
a)
" "
·ð Jeżeli szereg 5ØOÜ5Ø[Ü jest zbieżny, to 5ØYÜ5ØVÜ5ØZÜ5Ø[Ü " 5ØNÜ5Ø[Ü = 0. PRAWDA
5Ø[Ü=1
" "
Z kryterium porównawczego wiadomo, że jeśli an d" bn ze zbieżności szeregu bn wynika
n=1
" " " "
zbieżność szeregu an. Jeżeli szereg an jest zbieżny to z warunku koniecznego
n=1 n=1
zbieżności szeregu wiadomo, że limn " an = 0.
1
" "
·ð Jeżeli 5ØYÜ5ØVÜ5ØZÜ5Ø[Ü " 5Ø[Ü 5ØNÜ5Ø[Ü = to szereg 5ØOÜ5Ø[Ü jest zbieżny. FAASZ
"
5Ø[Ü=1
8
Z kryterium pierwiastkowego Cauchy ego wynika , że jeÅ›li 5ØYÜ5ØVÜ5ØZÜ5Ø[Ü " 5Ø[Ü 5ØNÜ5Ø[Ü < 1 to szereg jest
"
1
" "
bezwzglÄ™dnie zbieżny. W danym przypadku 5ØYÜ5ØVÜ5ØZÜ5Ø[Ü " 5Ø[Ü 5ØNÜ5Ø[Ü = < 1, szereg 5ØNÜ5Ø[Ü jest
"
5Ø[Ü=1
8
" "
bezwzglÄ™dnie zbieżny. Dla 5ØNÜ5Ø[Ü d" 5ØOÜ5Ø[Ü z kryterium porównawczego nie wynika, że szereg 5ØOÜ5Ø[Ü
5Ø[Ü=1
jest zbieżny.
" "
·ð Jeżeli 5ØYÜ5ØVÜ5ØZÜ5Ø[Ü " 5ØNÜ5Ø[Ü+1 = 5ØRÜ, to szereg 5ØOÜ5Ø[Ü jest rozbieżny. PRAWDA
5Ø[Ü=1
5ØNÜ5Ø[Ü
" "
Z kryterium ilorazowego d Alamberta wiadomo, że jeżeli 5ØYÜ5ØVÜ5ØZÜ5Ø[Ü " 5ØNÜ5Ø[Ü+1 > 1 to szereg 5ØNÜ5Ø[Ü
5Ø[Ü=1
5ØNÜ5Ø[Ü
jest rozbieżny. W danym przypadku 5ØYÜ5ØVÜ5ØZÜ5Ø[Ü " 5ØNÜ5Ø[Ü+1 = 5ØRÜ > 1 , szereg jest rozbieżny. AnalizujÄ…c
5ØNÜ5Ø[Ü
dalej na podstawie kryterium porównawczego wiadomo, że jeÅ›li 5ØNÜ5Ø[Ü d" 5ØOÜ5Ø[Ü to z rozbieżnoÅ›ci
" " " "
szeregu 5ØNÜ5Ø[Ü wynika rozbieżność szeregu 5ØOÜ5Ø[Ü.
5Ø[Ü=1 5Ø[Ü=1
b) " " 1
3
5Ø[Ü=2
5Ø[Ü" "5ØYÜ5Ø[Ü45Ø[Ü
Korzystamy z kryterium całkowego
1
( )
Niech 5ØSÜ 5ØeÜ = 5Ø7Ü5ØSÜ =< 2; + ")
"5ØYÜ5Ø[Ü4(5ØeÜ)
5ØeÜ"3
Sprawdzamy założenia kryterium całkowego:
1. Czy f(x)>0?
1>0
Tak, bo 3 5ØeÜe"2 } > 0
"5ØYÜ5Ø[Ü4(5ØeÜ)
2. Czy f(x) jest ciągła?
3
Tak, bo funkcje 1, x, "5ØYÜ5Ø[Ü4(5ØeÜ) sÄ… funkcjami elementarnymi, czyli sÄ… ciÄ…gÅ‚e.
3. Czy f(x) jest nierosnÄ…ca?
5Ø`Ü5ØaÜ5ØNÜÅ‚5ØNÜ
( )
Tak, bo 5ØSÜ 5ØeÜ =
5ØVÜ5ØYÜ5Ø\Ü5ØPÜ5ØgÜ5ØfÜ5Ø[Ü 5ØSÜ5ØbÜ5Ø[Ü5ØXÜ5ØPÜ5ØWÜ5ØVÜ 5Ø_Ü5Ø\Ü5Ø`Ü5Ø[ÜÄ…5ØPÜ5ØfÜ5ØPÜ!
5Ø]Ü5Ø\Ü5ØQÜ5Ø`Ü5ØaÜ5ØNÜ5ØdÜ5ØVÜ5ØRÜ5Ø[Ü5ØVÜ5ØRÜ
" 5Ø4Ü
5ØaÜ=ln(5ØeÜ)
1 1 | |
+" 5ØQÜ5ØeÜ = lim +" 5ØQÜ5ØeÜ =
5ØQÜ5ØaÜ=15ØQÜ5ØeÜ
3 3
5ØeÜ
5Ø4Ü "
| |
5ØeÜ " "5ØYÜ5Ø[Ü4(5ØeÜ) 5ØeÜ " "5ØYÜ5Ø[Ü4(5ØeÜ)
2 2
5ØeÜ 2 5Ø4Ü
5ØaÜ 5ØYÜ5Ø[Ü2 5ØYÜ5Ø[Ü5Ø4Ü
5ØYÜ5Ø[Ü5Ø4Ü
4 1
5ØYÜ5Ø[Ü5Ø4Ü 1 1 3
3 3
= lim +" 5ØaÜ- 5ØQÜ5ØaÜ = lim (-35ØaÜ- | ) = lim (-3 (3 - )) =
3 3
5Ø4Ü " 5Ø4Ü " 5Ø4Ü "
5ØYÜ5Ø[Ü2
5ØYÜ5Ø[Ü5Ø4Ü 5ØYÜ5Ø[Ü2 5ØYÜ5Ø[Ü2
" " "
5ØYÜ5Ø[Ü2
Całka jest zbieżna, więc szereg też jest zbieżny.
Odpowiedz:
a) 1. PRAWDA
2. FAASZ
3. PRAWDA
b) szereg jest zbieżny, na podstawie kryterium całkowego
Autor: Anna Styszyńska grupa 10
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
E1 2009 10 zad 3E1 2009 10 zad 1E1 2009 10 zad 4E1 2009 10 zad 5E1 2009 10 zad 22009 rozw zad2009 10 IMB ochrona przed korozjatechnik informatyk egzamin praktyczny 10 zad 1EGZAMIN 2009 102009 10 27 Wstęp do SI [w 04]id&8352009 klucz zad 2 uK2 2007 08 zad 22009 klucz zad 2 utechnik informatyk egzamin praktyczny 10 zad 4Serie (5) Zadan Trudnych 2009 10 Osekowski p52009 10 STATYSTYKA PARAMETRY Z PROBYHistoria 2009 10 etap rejonowy odp2009 10 Playing Fetch Building a Dedicated Download System with Rtorrentwięcej podobnych podstron