Pierwsza seria zadań trudniejszych z RP2, 2009/2010
Termin oddawania rozwiazań: 13 XI 2009
1. Dane sa ciagi (Xn), (Yn) zmiennych losowych spelniajacych warunki
(i) rozklad Xn nie zależy od n,
(ii) (Xn, Yn) zbiega wedlug rozkladu do (X, Y ).
Udowodnić, że dla dowolnej funkcji borelowskiej Ć : R R, ciag ((Ć(Xn), Yn))
zbiega wedlug rozkladu do (Ć(X), Y ). Co jeśli opuścimy zalożenie (i)?
2. Dany jest ciag (Xn) zmiennych losowych, przy czym dla n e" 1 zmienna
Xn ma rozklad z gestościa
gn(x) = n-1 sinh(x)e(1-cosh x)/n1[0,")(x).
(i) Udowodnić, że ciag (log(cosh Xn)-log n) jest zbieżny wedlug rozkladu
i wyznaczyć rozklad graniczny.
Xn
(ii) Wywnioskować stad, że ciag (log n) zbiega do 1 wedlug prawdopodo-
bieństwa.
Druga seria zadań trudnych
Termin oddawania rozwiazań: 2 XII 2009.
3. Rozstrzygna ć, czy funkcja
1
Ć(x) =
1 + |x|
jest funkcja charakterystyczna pewnego rozkladu na prostej.
4. Dany jest ciag (Xn) niezależnych scentrowanych zmiennych losowych o tym
samym rozkladzie. Udowodnić, że jeśli ciag
X1 + X2 + . . . + Xn
" , n = 1, 2, . . .
n
2
jest zbieżny wedlug rozkladu, to EX1 < ".
1
Trzecia seria zadań trudnych
Termin oddawania rozwiazań: 12 XII 2009.
5. W urnie znajduje sie jedna biala kula. Wykonujemy nastepujacy nieskończony
ciag losowań: w każdym losowaniu wyciagamy kule, ogladamy ja, a nastepnie wrzu-
camy ja z powrotem i dokladamy do urny jedna czarna kule. Dla n e" 1, niech Xn
oznacza liczbe losowań o numerze niewiekszym niż n, w których wyciagneliśmy
biala kule. Wykazać, że ciag (Xn/ log n) jest zbieżny wedlug prawdopodobieństwa.
6. Scharakteryzować wszystkie rozklady prawdopodobieństwa P w R posia-
dajace nastepujaca wlasność. Jeśli X, Y , Z sa niezależnymi zmiennymi losowymi
o rozkladzie P , to X + Y ma ten sam rozklad, co 2X, oraz X + Y + Z ma ten sam
rozklad, co 3X.
7. Zmienne X1, X2, . . ., Xn sa niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkladzie
jednostajnym na przedziale [0, a]. Obliczyć E(X1| max(X1, X2, . . . , Xn)).
1
Czwarta seria zadań trudnych
Termin oddawania rozwiazań: 6 I 2010.
8. Rozstrzygna ć, czy funkcja
1
Õ(x) = "
1 + x2
jest funkcja charakterystyczna pewnego rozkladu na prostej.
9. Zalóżmy, że (Xn) jest nieujemnym martyngalem. Dowieść, że dla p " (0, 1),
1/p
1
|| sup Xn||p d" sup ||Xn||p.
1 - p
n n
10. (Nierówność maksymalna Dooba, przypadek p = 1) Podać przyklad mar-
tyngalu (Xn), dla którego supn ||Xn||1 < " oraz || supn |Xn| ||1 = ".
11. (Nierówność Hardy ego-Littlewooda) Zalóżmy, że a1, a2, . . . jest ciagiem
liczb dodatnich. Korzystajac z teorii martyngalów udowodnić, że dla p > 1,
p "
a1 + a2 p a1 + a2 + a3 p p
ap + + + . . . d" ap .
1 n
2 3 p - 1
n=1
12. Martyngal (Xn) spelnia warunek supn E|Xn| log |Xn| < ". Czy wynika stad
zbieżność martyngalu (Xn) w Lp a) dla p = 1, b) dla p > 1?
13. Niech (Sn)" bedzie bladzeniem symetrycznym po liczbach calkowitych
n=0
oraz Ä = inf{n : Sn " {-a, a}}, gdzie a jest ustalona liczba calkowita dodatnia.
Wykorzystujac nadmartyngal wykladniczy, udowodnić oszacowanie
Ä 1
E exp - d" .
2 cosh a
1
 8×8
(Xn)
n
(X2n)