Egzamin 2009/2010 rok 2010/2011
Zadanie 5: Niech
f(x)= Cx3 x " (0,2)
0 x "R\(0,2)
będzie gęstością rozkładu zmiennej losowej X. Wyznaczyć stałą C. Znalez
ć wzór na dystrybuantę zmiennej
losowej X. Obliczyć P(X d" 1) oraz EX i D2X.
Rozwiązanie:
Wyznaczam stałą C:
"
f (x)d x=1
+"
-"
" 0 2 "
x4 16
= C* |2 = C* =4*C
0
f ( x)d x= 0 d x + C x3d x+ 0 d x
+" +" +" +"
4
4
-" -" 0 2
4*C=1
1
C=
4
Wyznaczam dystrybuantę:
x
F(x)= =0 dla xd"0
0 d t
+"
-"
0
x
1
1
F(x)= + = dla 0x4
t3 d t
0d t +"
+"
16
4
0
-"
0 2 "
1
1
F(x)= + = |2 =1 dla xe"2
t4 0
0 d t t3 d t+ 0 d t
+" +" +"
16
4
-" 0 2
F(x)= 0 dla xd"0
1
x4 dla 016
1 dla dla xe"2
Obliczam P(X d" 1):
1 1
P(X d" 1)=P(-"16 16
" 2
32 8
1 1
EX=
x* f ( x)d x= x* x3 d x= x5 |20= =
+" +"
20 5
4 20
-" 0
" 2 2
2
8 1 1 8 16
4
D2X= =
( x- E X )2 * f ( x )d x = ( x- ) * x3 d x= ( x5- x + x3)d x
+" +" +"
5 4 4 10 25
-" 0 0
1 4 4
=( - + )|2 = - + =
x6 x5 x4 0 64 128 64 8
24 25 25 24 25 25 75
Odpowiedz
:
1 1 8 8
Stała C= , P(X d" 1)= , EX= , X=
D2
4 16 75
5
Autor: Marcin P. grupa 9
29.01.2014