Egzamin rok 2008/2009
Zadanie 1: Dane jest pole wektorowe =[2y-6xy3,2x-9x2y2,6].
a) Obliczyć div .
b) Wykazać, że jest polem potencjalnym oraz wyznaczyć jego potencjał.
c) Obliczyć całkę
,
gdzie jest łukiem krzywej {y = x2, z = 6} łączącym punkty A(0,0,6) i B(2,2,6).
Rozwiązanie:
a) Dywergencja wyraża się następującym wzorem:
div = Px + Qy + Rz
Obliczam dywergencję danego pola:
div = -6y3-18x2y `" 0 oznacza to, że pole jest z
ródłowe.
b) Aby wykazać, że dane pole jest potencjalne należy najpierw obliczyć rotacje pola:
rot =
= [0-0,-(0-0),2-18xy2-2+18xy2] = [0,0,0] =
2y-6xy3 2x-9x2y2 6
zatem pole jest potencjalne.
Wyznaczam potencjał:
fx=2y-6xy3 /
f=2xy-3x2y3+C(y,z) /'y
fy=2x-9x2y2+C'(y,z)=2x-9x2y2
C'(y,z)=0 /
C(y,z)=A(z)
f=2xy-3x2y3+A(z) /'z
fz=A'(z)=6 /
A(z)=6z+B
Zatem f(x,y,z)=2xy-3x2y3+6z+B
c) obliczam całkę:
= (2xy-3x2y3+6z) = 8  96 + 36 - 36 = -88
Odpowiedz
: Pole jest z
ródłowe, potencjalne o potencjale równym 2xy-3x2y3+6z+B. Wartością całki jest
liczba -88.
Autor: Weronika Rozłonkowska grupa 10
26.10.2013