Egzamin rok 2008/2009
Zadanie 3 : Napisać równanie stycznej do krzywej o równaniu
t
r (t)=[t-sint ,1-cost , 4sin ]
×
2
Ä„
t0= .
w punkcie odpowiadającym Jaki kąt tworzy ta styczna z osią OZ? Obliczyć
2
r (t)
× t0
krzywiznÄ™ w punkcie .
RozwiÄ…zanie:
t
r (t)=[t-sint ,1-cost , 4sin ]
×
Å„ð Nasza krzywa:
2
Å„ð Liczymy pierwszÄ… i drugÄ… pochodnÄ…:
t
r ' (t)=[1-cost , sint , 2cos ]
×
2
t
r ' ' (t)=[ sint ,cost ,-sin ]
×
2
t0
Å„ð Wyznaczamy wartoÅ›ci w punkcie :
Ä„ Ä„
r ( )=[ -1,1,2 2]
× "
2 2
Ä„
r ' ( )=[1, 1, 2]
× "
2
Ä„ 2
"
× ' ' ( )=[1, 0,- ]
r
2 2
Å„ð Prosta styczna wyraża siÄ™ wzorem:
x0 T
1
x= + s
y0 T
2
y= + s
z0 T
3
z= + s
A wektor normalny T:
×
T=r ' (t)
×
Å„ð WiÄ™c nasza prosta to:
Ä„
-1
x= + s
2
1
y= + s
2 2 2
" "
z= + s
Å„ð Aby wyznaczyć kÄ…t pomiÄ™dzy stycznÄ… a osiÄ… OZ musimy pomnożyć skalarnie
× ×
T
k
wersor osi OZ oraz wektor
× =[0,0,1]
k
#"×
k#"=1
×
#"T#"= 1+1+2=2
"
×
×
k " T=#"× #"× Å"cosÄ…
k#"Å"T#"
×
×
k "T=[0,0,1]"[1,1 , 2]= 2
" "
2=1Å"2Å"cosÄ…
"
2
"
cosÄ… =
2
Ä„
Ä…=
4
Å„ð KrzywiznÄ™ wyrażamy wzorem:
#"r ' (t)× r ' ' (t)#"
× ×
º =
#"r ' (t)#"3
×
Å„ð Obliczamy krzywiznÄ™:
×
× ×
i j k
3 2
1 1 2 " "
"
r ' (t0)×r ' ' (t0)= =[- 2 , ,-1]
× ×
2 2
-"
2
#"1 0 #"
2
2+ 18
#"× ' (t0)×× ' ' (t0)#"= +1= 6
r r
"
4 4
"
#"r ' (t)#"3=( 1+1+2)3=8
× "
6
"
º =
8
Odpowiedz
: Styczna do krzywej wyraża się wzorem :
Ä„
-1
x= + s
2
1
y= + s
2 2 2
" "
z= + s
Ä„
6
"
Ä…=
º =
tworzy kÄ…t z osiÄ… OZ, a krzywizna wynosi: .
4
8
Autor: Agnieszka Rapczyńska grupa 9