Kolokwium I rok 2008/2009
Zadanie 2: Wyznaczyć moment statyczny płaszczyzny OYZ względem krzywej
2
L : x (t)=t , y (t)=t2 , z (t)= t3, t "[0,1]
{ }
3
o gęstości masy
1
Á(x , y , z)=
1+ 2y
.
RozwiÄ…zanie:
1. Wzór na moment statyczny płaszczyzny:
1
M = x Á( x , y , z)dl ,
+"
YZ gdzie Á(x , y ,z)=
1+ 2y
L
2. Parametryzacja krzywej L:
x (t)=t
y(t)=t2
2
z(t )= t3
3
2
× )=(t ,t2 , t3),
Å‚(t
t"[0, 1]
3
3. Obliczamy pierwszą pochodną oraz długość:
×
Å‚ ' (t)=(1, 2t , 2t2)
×
Å‚ ' (t) = 12+ (2t)2+ (2t2)2= 1+ 4t2+ 4t4= (1+ 2t2)2=1+ 2t2
#" #" " " "
4. Podstawiamy dane do wzoru:
1 1
1 0 1
M = x Á( x , y , z )dl= tÅ" Å"(1+ 2t2)dt = t dt =1 - =
+" +" +"
YZ
2 2 2
1+ 2t2
L 0 0
1
M =
YZ
2
Odpowiedz
: Moment statyczny krzywej wynosi: .
Autor: Iwona Priebe grupa 9
28.10.2013