Zadania przygotowawcze do kolokwium 2 z Algebry - SIMR 2008/2009
1. Obliczając macierz odwrotną rozwiązać równanie:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1 1 2 -1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(a) AX = BT ; A = 2 1 1 ; B = 0 1 3 ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
3 3 2 3 2 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 -1 3 2 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(b) AXB = I ; A = 1 1 0 ; B = 1 1 0 ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
4 3 0 4 3 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 0 0 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(c) X-1AT = B ; A = 3 2 1 ; B = 1 3 -1 ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
4 3 1 1 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 -1 1 1 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(d) XT A = B-1 ; A = 2 3 2 ; B = 1 -1 -1 ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
1 1 1 1 0 0
2. Rozwiązać układ równań:
Å„Å‚
ôÅ‚ 2x + y + z = 1
òÅ‚
(a) 4x + 2y - az = 2
ôÅ‚
ół
x + y + z = a
Å„Å‚
ax + y + z = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x + y + az = a
(b)
ôÅ‚
x + ay + z = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ax - y + z = a
Å„Å‚
ôÅ‚ - y + z = 1
ax
òÅ‚
(c) x + y - az = a
ôÅ‚
ół
4x + y = 4
Å„Å‚
ôÅ‚ - az = 1
x + y
òÅ‚
(d) ax + y + 2z = 1
ôÅ‚
ół
2x + 2y + z = 2
3. Zbadać wzajemne położenie prostych l1 l2. Obliczyć odległość między nimi.

2x + y - z + 1 = 0 x + 2y + 4 = 0
(a) l1 : ; l2 :
x + 4y + z - 2 = 0 2x - y + 3z + 2 = 0
Å„Å‚

ôÅ‚ x = t + 2
òÅ‚
2x - y - z - 3 = 0
(b) l1 : y = -2t + 1 ; l2 :
ôÅ‚
x + y - 3z + 5 = 0
ół
z = 3t + 2

x + y + 3z + 1 = 0 3x - y + z + 2 = 0
(c) l1 : ; l2 :
2x - y + 3 = 0 2x + y - 4z + 1 = 0