Zadania przygotowawcze z RP1
Omówienie: 15 VI od 11, 16 VI od 10.
Uwaga: Ten plik może być modyfikowany. Mogą pojawić się nowe zadania.
1. Dany jest ciąg (Xn) niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie B(10, 1/4). Niech
Yn = maxkd"n Xk dla n e" 1. Udowodnić, że ciąg (Yn) jest zbieżny p.n. i wyznaczyć jego granicę.
2. Liczby 1, 2, . . . , n ustawiono losowo w ciąg (a1, a2, . . . , an). Jakie jest prawdopodobień-
stwo tego, że dla każdego k e" 3, ak e" ak-1 lub ak e" ak-2 (tzn. k-ty wyraz jest większy od
któregoś z dwóch poprzedzających go wyrazów)?
3. Zmienne X1, X2, . . . są niezależne i mają rozkład jednostajny na odcinku [0, e]. Zbadać
zbieżność ciągu
1/2 1/3
1/n
X1X2 X3 . . . Xn
w sensie zbieżności p.n.
4. Zmienne X, Y są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrem 2. Wyznaczyć
Y
E(X+Y |X).
5. W urnie znajduje się 5 białych, 6 czarnych oraz 1 czerwona kula. Losujemy ze zwraca-
niem aż do momentu, gdy wyciągniemy co najmniej jeden raz białą i co najmniej raz czerwoną
kulę. Wyznaczyć wartość oczekiwaną liczby wyciągniętych kul czarnych.
6. Liczba wypadków samochodowych danego dnia ma rozkład Poissona z parametrem 20.
Szkoda powstała na wskutek wypadku ma rozkład wykładniczy z parametrem 1/5. Zakładając
niezależność szkód odpowiadających różnym wypadkom,
a) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję łącznej szkody danego dnia.
b) przy założeniu, iż szkoda nie przekroczyła 20, jakie jest prawdopodobieństwo, że były
nie więcej niż dwa wypadki?
7. Zmienne losowe ¾1, ¾2, . . . sÄ… niezależne, przy czym dla k e" 1,
P(¾k = i) = 1/k, i = 1, 2, . . . , k.
Udowodnić, że jeÅ›li m, n sÄ… liczbami caÅ‚kowitymi dodatnimi, to m¾n + ¾m - m ma ten sam
rozkÅ‚ad, co ¾mn.
8. Wewnątrz trójkąta równobocznego o boku 1 losujemy punkt. Niech X oznacza odległość
tego punktu od brzegu trójkąta. Wyznaczyć rozkład, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej
X.
9. W partii 1000 śrub jest 5 wybrakowanych sztuk. Śruby zapakowano do 100 pudełek (po
10 w każdym). Jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo tego, że w wybranym pudełku będą
co najmniej dwie wadliwe śruby?
10. Zmienna losowa X ma rozkład z gęstością
3
g(x) = x21[0,2](x).
8
Wyznaczyć taką funkcję G, by zmienna G(X) miała rozkład wykładniczy z parametrem 3.
11. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład z gęstością
x
g(x, y) = 1D(x, y),
(e - 2)(y + 1)2
gdzie D = {(x, y) : 0 d" x d" e - 2, y e" x}.
a) Czy zmienne X, Y są niezależne?
b) Czy X, Y należą do L1?
c) Obliczyć E(X|Y ).
d) Czy Y/X, X są niezależne?
12. Rzucamy jednocześnie dwiema symetrycznymi monetami aż do momentu gdy na któ-
rejś z nich wypadnie 1000 orłów. Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo tego, że rzucimy
mniej niż 2000 razy.
13. Zmienna losowa (X, Y ) ma scentrowany rozkład normalny, przy czym E(X|X + Y ) =
1
(X + Y ). Udowodnić, że zmienne X - Y oraz X + Y są niezależne. Czy zmienne X, Y muszą
2
być niezależne?
14. Zmienne X1, X2, . . . są niezależne, przy czym dla n e" 1 zmienna Xn ma rozkład
" "
wykładniczy z parametrem n. Czy szereg Xn jest zbieżny p.n.? Czy szereg Xn/n
n=1 n=1
jest zbieżny p.n.?
15. Zmienne X1, X2, . . . są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [3, 4].
Udowodnić, że ciąg
Xn
n
Yn = , n = 1, 2, . . .
X1
jest zbieżny p.n.
 X Y P(X = 0) = P(X = 1) = 1/4
P(X = 2) = 1/2 Y [-2, 1] E(X1Y >0|X +1Y >0)
X Y 1/2
E(X| max(X, Y ))
(X, Y ) (1, 0) (2, 1)
(1, 2) (0, 1) E(XY |X + Y )
X Y G Ã X
G Y G f : R2 R
E|f(X, Y )| < "
E(f(X, Y )|G) = Ć(Y ),
Ć(y) = E(f(X, y)).
X Y [1, 2]
1
E(X+Y |X)
N X0 X1 X2 . . . N
1 n = 0, 1, . . . Xn n 1
EXN
S ES
2 2
(X, Y ) (0, 0) X = ÃX Y = ÃY
(X, Y ) = c E(X|Y ) E(X2|Y ) (X + 1, 2Y + 2)
4Y + 6
(Xn) X (Yn) Y
2
(Xn) X2 (XnX + Yn)
20 20
X g g > 0 [-2, 5] g = 0
[-2, 5]
lim [E|X|p]1/p .
p"
 (Xn) n = 1, 2, (Xn)
n Xn/n 1
(X, Y ) (X, Y ) = 0 X Y
(X, Y ) (0, 0)
(0, 1) (1, 0) X + Y X/(X + Y )
(X, Y )
x3
g(x, y) = e-x(y+1)1{xe"0,ye"0}.
2
X XY
E(XY |X)
X Y Z
E(X|Z) E(XY |Z) E(X2Z|Z) E(X + Y + Z|Y + Z)
P(X = -2) = P(X = 2) = 1/2 E(XY |Y Z)