1. Zapisać symbolicznie następujące zdania:
(a) Liczba a jest naturalna i jest podzielna przez 3 oraz w dzieleniu przez 4 daje resztÄ™
1.
(b) Jedynymi liczbami wymiernymi spełniającymi równanie 2x4-3x3+3x2 -3x+1 = 0
1
sÄ… liczby 1 i . (Czy to jest zdanie prawdziwe?).
2
(c) Ciąg (an) jest od pewnego miejsca stały.
2. Napisać po polsku co wyrażają następujące zdania.
(a) (a " R '" |a| = 2) Ò! a = 2 (" -2 Czy to jest zdanie prawdziwe?
(b) z " C '" |z| = 1 Ò! z = 1 (" z = -1 Prawda?
(c) (("M"R"n"Nan < M) '" "n"Nan an+1) Ò! "glim an = g. Prawda?
3. Dla jakich x " R sÄ… prawdziwe zdania?
(a) "y"R x + y xy
(b) "y"R x + y xy
(c) "y"R (x + y)2 + (x - y)2 = 0.
(d) "x"R"z"R x + y + z = 0.

Napisać zaprzeczenia tych zdań.
4. Udowodnić metodą indukcji
(a) 12 + 32 + 52 + · · · + (2n - 1)2 = n2(2n2 - 1) dla wszystkich n " N.
(b) Dla każdej liczby naturalnej n liczba n3 + 5n dzieli się przez 120.
(c) Dla jakich n prawdziwa jest nierówność 2n > n2 + 3n. Sformułować hipotezę i
udowodnić metodą indukcji.
4. Ocenić prawdziwość następujących zdań.
(a) "x"R"y"R"z"R x + y + z = 1.
(b) "x"R"y"R"z"R x + y + z = 1.
(c) "x"R"y"R"z"R x + y + z = 1.
5. Rozstrzygnąć (i) przy pomocy funkcji charakterystycznych , (ii) przekształcając na od-
powiednie zdania logiczne, czy dla dowolnych zbiorów A, B, C są prawdziwe następujące
relacje. Jeśli nie to podać odpowiedni konkretny przykład.
(a) A *" (A )" B) = A.
(b) A )" (A *" B) = B.
(c) (A )" B) *" (C )" B) = B.
(d) (A *" B) - C ‚" (A - C) *" B.
6. Niech X = {x " R : 2 < x 7}, Y = {x " R : -1 x < 5}. Wyznaczyć: X *" Y, X )"
Y, X - Y, X ÷ Y
1