Uwaga. Odpowiedzi pozytywnych nie trzeba uzasadniać natomiast do każdej odpowiedzi
negatywnej należy podać odpowiedni przykład.
1. W zbiorze liczb rzeczywistych R definiujemy następujące relacje
(a) xRy Ô! xy 0, (b) xSy Ô! x = 0 (" x = y, (c) xT y Ô! (|x| - |y|)2 = 0, (d) xP y Ô!
x2 + y2 0.
(i) Które z nich są relacjami przechodnimi a które nie są ?
(ii) Które z nich są relacjami porządku?
(iii) Które z nich są relacjami równoważności?
(iv) Dla tych , które są relacjami równoważności wyznaczyć klasę abstrakcji
elementu 1.
2. W zbiorze liczb naturalnych 1,2,3,...,99,100 definiujemy relacjÄ™ wzorem xRy Ô! 3x|y.
Wyznaczyć elementy : najmniejszy, największy, minimalne , maksymalne
3. W zbiorze liczb rzeczywistych nieujemnych R+ rozpatrujemy relacjÄ™ xSy Ô! x - y
-2 (" x = y.
(a) Czy ta relacja jest liniowym porzÄ…dkiem?
(b) Czy ta relacja jest gęstym porządkiem?
Uwaga. Relacja R jest liniowym porządkiem jeśli: dla dowolnych x, y " X zachodzi xRy
lub yRx lub x = y.
Relacja R jest gęstym porządkiem jeśli dla dowolnych x, y " X takich, że x = y istnieje

z " X , z = x i z = y taki, że xRz i zRy.

(c) Wyznaczyć elementy minimalne i maksymalne.
4. Niech X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. W iloczynie kartezjaÅ„skim X × X okreÅ›lamy dwie relacje R
oraz S
" (a, b)R(c, d) Ô! ab = cd
" (a.b)S(c.d) Ô! ac = bd
(a) Która z nich jest relacją równoważności (może obie?)
(b) Dla tej, która jest relacją równoważności wyznaczyć klasę elementu (1,6).
(c) Wyznaczyć klasę abstrakcji, która ma najmniej elementów. Jeśli jest kilka takich to
podać jedną.
(d) Ile elementów ma zbiór ilorazowy?
5. Rozpatrzmy zdanie "x"R x2 + ax + 1 = 0. Które z poniższych warunków są konieczne a
które wystarczajace dla tego zdania?
(1) a 2, (2) a = 2, (3) |a| 2, (4) a 3, (5) a -3, (6) a < -1, (7) "x"R a2 = 4 + x2.
1