Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
I6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie
1 - i 3 + i
.
= z
i z - 1 - 3i + 1
2. Przedstawić w postaci algebraicznej liczbę zespoloną
Ä„ Ä„
( sin - i cos )63 .
12 12
3. Wielomian
Odpowiedzi do zestawu I6
x6 - 5x4 + 2x2 + 8
-7 + i
rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste.
1. .z = ;
10
2 2
4. FunkcjÄ™ wymiernÄ…
2. - i ;
2 2
1
3. ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x2 + 1 ) ;
x3 + 3x + 4
1 2 - x
4. .
+
6 ( x + 1 )
rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste. 6 ( x2 + x + 4 )
Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
J6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z spełniające warunek
z2 + z2 = 18 + 12 i .
Ä„
1 + i ctg
24
4
2. Obliczyć (
) wykorzystując wzór de Moivre'a.
Ä„
1 - i ctg
24
3. Znalez
ć wszystkie pierwiastki wielomianu
z4 - 2z3 + 8z2 - 6z + 15
Odpowiedzi do zestawu J6
wiedząc, że liczba i 3 jest jednym z nich.
1. z1 = 3 - 2i, z2 = -3 + 2i ;
4. Rozłożyć na ułamki proste funkcję wymierną
3
1
2. 2 - i ;
2
( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 3 )
.
3. 1 - 2i, 1 + 2i, -i 3 ;
( x + 4 ) ( x - 5 ) ( x + 6 ) ( x - 7 )
1 8 60 200
4. -
- 11 + 143 ( x + 6 ) + 143 ( x - 7 ) .
11 ( x + 4 ) ( x - 5 )
Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
K6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Na płaszczyz
nie zespolonej przedstawić zbiór
{ z " C : 6 Im z < z2 , z - 1 e" z + 1 } .
2. Stosując wzór de Moivre'a wyrazić liczbę cos 10 w zależności od
sin 2 i cos 2 .
3. Wielomian
3x4 - 8x3 + 6x2 - 1
Odpowiedzi do zestawu K6
rozłożyć na czynniki stopnia 1.
1. Część półpłaszczyzny Re z d" 0 leżąca na zewnątrz koła o środku 3i
4. Rozłożyć na ułamki proste funkcję wymierną
i promieniu 3 ;
( x - 1 )3
2. cos52 - 10 cos32 sin22+ 5 cos 2 sin42 ;
.
( x + 3 )4
3. ( x - 1 )3( 3x + 1 ) ;
1 12 48 64
4. - .
+ -
x + 3
( x + 3 )2 ( x + 3 )3 ( x + 3 )4
Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
L6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Przedstawić na płaszczyz
nie zespolonej zbiór
1 + z
{ z " C : Im 1 - z = 1 }.
2. Wyrazić cos 5Õ w zależnoÅ›ci od cos Õ wykorzystujÄ…c wzór de
Moivre'a.
3. Liczba z0 = 1 + i jest pierwiastkiem wielomianu
W ( z ) = az3 + bz + 1,
Odpowiedzi do zestawu L6
gdzie a, b " R. Znalez
ć liczby a, b.
1. Okrąg o środku z0 = 1 + i i promieniu r = 1 bez punktu z1 = 1;
4. Znalez
ć rozkład na rzeczywiste ułamki proste funkcji wymiernej
2. 16 cos5Õ - 20 cos3Õ + 5 cos Õ ;
1 1
x2 - 2x + 2 3. a = 4 , b = - ;
2
.
1 1
x3 - 2x2 + 2x - 1
4. - .
x - 1
x2 - x + 1
Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
M6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Na płaszczyz
nie zespolonej naszkicować zbiór
4i - 3
{ z " C :
e" 5 }.
3i - z
2. Stosując wzór de Moivre'a obliczyć
Ä„
1 - i ctg
24
(
)8 .
Ä„
1 + i ctg
24
3. Zbadać krotność pierwiastka z0 = -i wielomianu
z4 + 2iz3 + 2iz - 1.
Odpowiedzi do zestawu M6
4. Znalez
ć rozkład na rzeczywiste ułamki proste funkcji wymiernej
1. Koło o środku z0 = 3i i promieniu r = 1 bez punktu z0 ;
3
x2 + 3 1
2. - + i ;
.
2 2
x3 - x2 - x - 2
3. krotność wynosi 3 ;
1 1
4. x - 2 - .
x2 + x + 1
Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
N6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Stosując postać trygonometryczną lub wykładniczą liczb zespolonych
przedstawić graficznie zbiór
{ z " C : z5 = i z4 z } .
2. Obliczyć 8i - 15 .
3. Wielomian x6 + 27 rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste.
4. FunkcjÄ™ wymiernÄ…
x4 + 3x3 - x - 4
x3 + 3x2 + 3x + 1
Odpowiedzi do zestawu N6
zapisać w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych.
Ä„ 7Ä„ 11Ä„
1. Suma trzech półprostych arg z = , arg z = , arg z = ;
2 6 6
2. {1 + 4i, -1 - 4i } ;
3. ( x2 + 3 ) ( x2 - 3x + 3 ) ( x2 + 3x + 3 ) ;
3 4 5
4. x - x + 1 + .
-
( x + 1 )2 ( x + 1 )3
.
Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
O6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Przedstawić na płaszczyz
nie zespolonej zbiór
i - 1 3Ä„
{ z " C : arg z + 2i = }.
2
2. Przedstawić graficznie wszystkie pierwiastki stopnia 8 z liczby
zespolonej 16 i wybrać spośród nich te, dla których zachodzi
zwiÄ…zek z2 = -z2 .
3. Po obliczeniu V ( -i ) znalez
ć wszystkie pierwiastki wielomianu
Odpowiedzi do zestawu O6
V ( z ) = z4 - z3 + 2z2 - z + 1 .
1. Półprosta bez punktu określona wzorem Im z = Re z - 2 dla Re z < 0
x2 + 3x - 4
4. Napisać ogólną postać rozkładu funkcji wymiernej na
2. 1 + i, 1 - i, -1 + i, -1 - i ;
x6 + 3x4 - 4
1-i 3 1+i 3
rzeczywiste ułamki proste.
3. V( i ) = 0 , pierwiastki: i, -i, , ;
2 2
A B Cx + D Ex + F
4. + x + 1 + + (tutaj A = 0) .
x - 1
x2 + 2 ( x2 + 2 )2
Algebra liniowa 1
I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
P6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Obliczyć z19 dla
( 1 + 3i ) ( 2 - 3i )
z = .
4 + 7i
2. Jednym z pierwiastków stopnia 3 z liczby zespolonej z jest liczba
3 - i. Znalez
ć pozostałe pierwiastki i wyznaczyć z. Sporządzić
rysunek.
3. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu z71 - 1 przez wielo-
mian z3 - iz .
Odpowiedzi do zestawu P6
4. Znalez
ć rozkład na i) rzeczywiste; ii) zespolone ułamki proste
1. -29( 1 + i ) ;
funkcji wymiernej
1
2. pozostałe pierwiastki 2i, - 3 - i, z = -8i;
.
z3 + 9z
3. -iz - 1 ;
1 1 z
4. rzeczywiste ułamki proste: ( - ), zespolone ułamki
z
9
z2+9
1 2 1 1
proste: ( - - ) .
z
18 z+3i z-3i