Kolokwium II rok 2007/2008
Zadanie 2 : Korzystając z własności szeregów potęgowych obliczyć sumę szeregu liczbowego
"" (-1)5�[� 1 1 Dla odpowiedniego szeregu potęgowego wyznaczyć promień zbieżności, przedział
5�[�=1
55�[� 5�[�
zbieżności oraz zbadać zbieżność na krańcach przedziału zbieżności.
Rozwiązanie:
Ustalamy wzór szeregu potęgowego:
"
5�e�5�[�
"(-1)5�[� "
5�[�
5�[�=1
1. Wyznaczamy przedział zbieżności i promień zbieżności szeregu ( z twierdzenia d Alamberta)
(-1)5�[�+1 " 5�e�5�[�+1 5�[� 5�[� 5�e�5�[� " 5�e�
| |
lim | " | = lim | " | = 5�e� < 1
5�[�" 5�[�"
5�[� + 1 (-1)5�[� " 5�e�5�[� 5�[� + 1 5�e�5�[�
| |
5�e� < 1
-1 < 5�e� < 1
5�e�0 = 0 5�E� = 1
Dla 5ؙ� " (-1: 1) szereg jest bezwzględnie zbieżny, promień zbieżności R=1.
2. Badamy zbieżność na krańcach przedziału zbieżności
�� x=1
" "
)5�[�
15�[� (-1
"(-1)5�[� " = "
5�[� 5�[�
5�[�=1 5�[�=1
Szereg o wyrazach naprzemiennych  badamy bezwzględną zbieżność:
" "
(-1)5�[� 1
" | | = " 5�`�5�g�5�R�5�_�5�R�5�T� !5�N�5�_�5�Z�5�\�5�[�5�V�5�P�5�g�5�[�5�f� 5�\� 5��� = 1, 5�_�5�\�5�g�5�O�5�V�5�R�ż5�[�5�f�
5�[� 5�[�
5�[�=1 5�[�=1
Szereg nie jest bezwzględnie zbieżny, badamy zbieżność z kryterium Leibnitza:
1
5�O�5�[� =
5�[�
5�O�5�[� > 0
ciąg malejący
1 1
lim 5�O�5�[� = lim = [ ] = 0
5�[�" 5�[�"
5�[� "
szereg warunkowo zbieżny
�� x=-1
"
(-1
)5�[�
"(-1)5�[� "
5�[�
5�[�=1
" "
(-1)25�[� 1
= " = " 5�`�5�g�5�R�5�_�5�R�5�T� !5�N�5�_�5�Z�5�\�5�[�5�V�5�P�5�g�5�[�5�f� 5�\� 5��� = 1, 5ؓ�5ؐ�5؛�5؃�5؊�5�ą�ż5�Ź�5ؚ�
5�[� 5�[�
5�[�=1 5�[�=1
3. Obliczamy sumę szeregu liczbowego
"
1 1
"(-1)5�[�
55�[� 5�[�
5�[�=1
na podstawie sumy szeregu potęgowego
"
5�e�5�[�
"(-1)5�[� "
5�[�
5�[�=1
5�e� 5�e�
" " "
5�e�5�[�
( ) (-1 (-1 (-1
)5�[� )5�[� )5�[�
5�z� 5ؙ� = " " = " +" 5�a�5�[�-15�Q�5�a� = " +" " 5�a�5�[�-15�Q�5�a� =
5�[�
5�[�=1 5�[�=1 5�[�=1
0 0
5�e� 5�e�
"
5�`�5�g�5�R�5�_�5�R�5�T� 5�T�5�R�5�\�5�Z�5�R�5�a�5�_�5�f�5�P�5�g�5�[�5�f�
-1
(-1
)5�[�
= +" (" " 5�a�5�[�-1) 5�Q�5�a� = | | = +" 5�Q�5�a� =
5�N�1 = -1, 5�^� = -5�a�
1 + 5�a�
5�[�=1
0 0
| |
5�^� < 1
5�e�
| | | |
= - ln 1 + 5�a� | = - ln 1 + 5�e�
0
( ) | |
5�z� 5ؙ� = - 5�%�5�'� 5��� + 5ؙ� , 5�Q�5�Y�5�N� 5�e� " (-1; 1)
1
dla podanego szeregu liczbowego 5�e� =
5
5�z� (1) = -5�ć�5�Ź� |6|
5 5
Odpowiedz
:
"
1 1 6
"(-1)5�Ź� = -5�%�5�'�
55�Ź� 5�Ź� 5
5�Ź�=1
Szereg potęgowy
"
5ؙ�5�Ź�
"(-1)5�Ź� "
5�Ź�
5�Ź�=1
Jest:
(-1; )
�� bezwzględnie zbieżny dla 5ؙ� " 1 , promień zbieżności R=1
�� warunkowo zbieżny dla x=1
�� rozbieżny dla x=-1
Autor: Anna Styszyńska grupa 10