Egzamun pisemny z matematyki
Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2007/2008
ZADANIA
Zad.Z1 [6p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 1]
Obliczyć masę krzywej o
gęstości (x, y, z) = xy zadanej parametrycznie wzorami: x(t) = cos t , y(t) = sin t
Ä„
z(t) = ln cos t , t " 0, .
4
Zad.Z2 [7p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 2]

Sprawdzić, czy pole wektorowe F (x, y, z) = [x3 - 2yz , y3 - 2xz , z3 - 2xy] jest potencjalne. Jeśli tak, to
wyznaczyć potencjał tego pola a następnie obliczyć całkę

(x3 - 2yz)dx + (y3 - 2xz)dy + (z3 - 2xy)dz

AB
gdzie A(0, 2, 0) i B(2, 2, 2) .
Zad.Z3 [8p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 3]
Dla krzywej o równaniu

1 + t 1 - t2
= t , ,
r(t)
t t
wyznaczyć równanie prostej binormalnej i płaszczyzny ściśle stycznej oraz promień krzywizny w punkcie P (1, 2, 0).
Zad.Z4 [7p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 4]
"

1
Obliczyć promień zbieżności szeregu potęgowego (-1)n (x - 5)2n Wyznaczyć zbiór tych x " R , dla
n 7n
n=1
których: a) szereg jest zbieżny bezwzględnie, b) szereg jest zbieżny warunkowo, c) szereg jest rozbieżny.
Zad.Z5 [4p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 5]
Dla jakich wartości parametru A funkcja
Å„Å‚
0 x 0
òÅ‚
F (x) = Ax3 0 < x 3
ół
1 x > 3
jest dystrybuantą zmiennej losowej X typu ciągłego. Wyznaczyć gęstość zm. los. X . Za pomocą dystrybuanty
oraz za pomocą gęstości obliczyć prawdopodobieństwo P (0 X 1). Obliczyć wartość oczekiwaną zm. los.
X .
Max. 36 pkt
TEORIA
Zad.T1 [4p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 1]
Podać założenia i tezę twierdzenia Greena.
Zad.T2 [4p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 1]
"

sin n
Podać definicję szeregu zbieżnego bezwzględnie i zbadać rodzaj zbieżności szeregu .
n2
n=1
Zad.T3 [4p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 2]
1
Podać wartość f(15)(0) dla f(x) = .
x-2
Zad.T4 [4p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 2]
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem  = 3 . Dokonać standaryzacji zm. los. X.
Zad.T5 [4p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 3]
Napisać definicję wariancji zmiennej losowej X dowolnego typu. W jakich przypadkach może nie istnieć D2X?
Zad.T6 [4p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 3]
Zmienna losowa X ma rozkład N(1, 2). Za pomocą tablic obliczyć P (X > -0, 5).
Max. 24 pkt