Analiza matematyczna 2
Egzamin podstawowy, semestr letni 2007/08
Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu (podstawowy,
poprawkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej
ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto należy ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie
kartki pracy.
1 2 3 4 5 6 Suma
A
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy.
Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.
W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania tzn.: formułować wykorzystywane definicje i twier-
dzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z
pełnym opisem. Powodzenia !
ZADANIA
1. Wykorzystując różniczkę funkcji dwóch zmiennych, obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
"
1.2
0.9 ln .
0.9
2. Znalez
ć największy iloczyn I trzech dodatnich liczb x, y, z, których suma jest równa 27.
Wykorzystać metody rachunku różniczkowego.
3. Wyznaczyć szereg Maclaurina, określić promień jego zbieżności i obliczyć pochodne f(17)(0),
f(18)(0),jeżeli
x2
f(x) = .
3x2 - 2
4. Na płaszczyz
nie zaznaczyć obszar D ograniczony krzywymi x = y2, x = 2 - y2. Obliczyć
całkę podwójną

xy dxdy.
D

5. Obliczyć pole tej części półsfery z = R2 - x2 - y2, która leży wewnątrz walca x2 +y2 = r2,
gdzie 0 < r < R. Sporządzić rysunek.
1
6. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y2 2 + y = , (t " (0, Ą)) .
sin t
Analiza matematyczna 2
Egzamin podstawowy, semestr letni 2007/08
Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu (podstawowy,
poprawkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej
ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto należy ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie
kartki pracy.
1 2 3 4 5 6 Suma
B
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy.
Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.
W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania tzn.: formułować wykorzystywane definicje i twier-
dzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z
pełnym opisem. Powodzenia !
ZADANIA
1. Wykorzystując różniczkę funkcji dwóch zmiennych, obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
"
(1.1)0.9 0.9.
2. Na płaszczyz
nie z = 2 znalez
ć punkt C, którego suma kwadratów odległości od punktów
A = (1, 0, 0) i B = (0, -2, 0) jest najmniejsza. Wykorzystać metody rachunku różniczkowego.
3. Wyznaczyć szereg Maclaurina, określić promień jego zbieżności i obliczyć pochodne f(17)(0),
f(18)(0),jeżeli
x
f(x) = .
2x2 + 3
4. Na płaszczyz
nie zaznaczyć obszar D ograniczony krzywą x = y2 + 1 i prostymi y = x, y = 1
"
i y = 3. Obliczyć całkę podwójną


1 1
+ dxdy.
x2 y2
D
5. Obliczyć pole tej części sfery x2 + y2 + (z - 2)2 = 4, która leżący poniżej płaszczyzny z = 1.
Sporządzić rysunek.
6. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y2 2 + y = cos2 t.
Analiza matematyczna 2
Egzamin podstawowy, semestr letni 2007/08
Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu (podstawowy,
poprawkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej
ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto należy ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie
kartki pracy.
1 2 3 4 5 6 Suma
C
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy.
Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.
W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania tzn.: formułować wykorzystywane definicje i twier-
dzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z
pełnym opisem. Powodzenia !
ZADANIA
1. Wykorzystując różniczkę funkcji dwóch zmiennych, obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
"
0.3
1.1 arc tg .
1.1
1
2. Na wykresie funkcji z = znalez
ć punkt C, którego kwadrat odległości od początku układu
xy
współrzędnych jest najmniejszy. Wykorzystać metody rachunku różniczkowego.
3. Wyznaczyć szereg Maclaurina, określić promień jego zbieżności i obliczyć pochodne f(17)(0),
f(18)(0),jeżeli
x2
f(x) = .
4 - 2x2
4. Na płaszczyz
nie zaznaczyć obszar D ograniczony krzywą xy = 1 i prostymi y = x, y = 2.
Obliczyć całkę podwójną

x2
dxdy.
y2
D

1
5. Obliczyć pole części powierzchni paraboloidyz = x2 + y2 leżącej między powierzchniami
2
x2 + y2 = r2 i x2 + y2 = R2, gdzie 0 < r < R. Sporządzić rysunek.

1 Ą Ą
6. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y2 2 + y = , t " - , .
cos t 2 2
Analiza matematyczna 2
Egzamin podstawowy, semestr letni 2007/08
Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu (podstawowy,
poprawkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej
ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto należy ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie
kartki pracy.
1 2 3 4 5 6 Suma
D
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy.
Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.
W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania tzn.: formułować wykorzystywane definicje i twier-
dzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z
pełnym opisem. Powodzenia !
ZADANIA
1. Wykorzystując różniczkę funkcji dwóch zmiennych, obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

" "
4
ln 1.1 + 0.8 - 1 .
2. Na płaszczyz
nie x + y + z = 0 znalez
ć punkt C, którego kwadrat odległości od punktu
A = (1, 2, 3) jest najmniejszy. Wykorzystać metody rachunku różniczkowego.
3. Wyznaczyć szereg Maclaurina, określić promień jego zbieżności i obliczyć pochodne f(17)(0),
f(18)(0),jeżeli
x
f(x) = .
4x2 + 3
4. Na płaszczyz
nie zaznaczyć obszar D ograniczony krzywyą y = ln x i prostymi y = 1, x = e2.
Obliczyć całkę podwójną

y
dxdy.
x
D

5. Obliczyć pole części paraboloidy z = x2 + y2 leżącej wewnątrz stożka z = 2 - x2 + y2.
Sporządzić rysunek.
6. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y2 2 + y = sin2 t.