Egzamin poprawkowy z matematyki
Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2007/2008
ZADANIA
Zad.Z1 [9p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 1]
1
2

dx
CaÅ‚kÄ™ I = " przedstawić w postaci szeregu. Oszacować liczbÄ™ |I - S3| , gdzie S3 oznacza sumÄ™
1 + x4
0
trzech pierwszych wyrazów otrzymanego szeregu.
Zad.Z2 [7p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 2]
Obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną

xy dx + x2y dy
L
gdzie L jest odcinkiem o początku A(1, 0) i końcu B(0, 2).
Zad.Z3 [8p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 3]
Obliczyć krzywiznę cykloidy o równaniu:
x(t) = a(t - sin t), y(t) = a(1 - cos t), a > 0
dla t = Ą oraz napisać równanie prostej stycznej do L dla t = Ą (sporządzić rysunek tej stycznej).
Zad.Z4 [6p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 4]
Wytrzymałość lin stalowych pochodzących z masowej produkcji jest zmienną losową X o rozkładzie normalnym
N(100, 5). Za pomocą tablic rozkładu normalnego obliczyć prawdopodobieństwo P (X < 90). Ile przeciętnie lin
spośród 1000 ma wytrzymałośc mniejszą niż 90.
Zad.Z5 [6p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 5]
Wadliwość produkcji pewnych detali wynosi p = 0, 015. Napisać wzór na prawdopodobieństwo, że w partii
200 detali będą dokładnie dwa elementy wadliwe. Obliczyć przybliżoną wartość tego prawdopodobieństwa,
korzystając z przybliżenia rozkładu dwumianowego rozkładem Pissona.
Max. 36 pkt
TEORIA
Zad.T1 [5p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 1]

a) Podać określenie potencjału pola wektorowego F (x, y) = [ P (x, y) , Q(x, y) ] w prostokącie
P : 0 x 2, 0 y 4.

b) Wyjaśnić, czy całka xy dx + x2y dy zależy od drogi całkowania w prostokącie P.
L
Zad.T2 [4p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 1]
"

1
"
Sformułować kryterium porównawcze rozbieżności szeregu. Wyjaśnić, czy szereg tg jest zbieżny?
n
n=1
Zad.T3 [5p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 2]
Napisać określenie punktu wyprostowania krzywej. Czy krzywa L : = [ t , t3 , t4 ] posiada punkt wypro-
r(t)
stowania.
Zad.T4 [5p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 2]
Napisać definicję łuku gładkiego L w R3. Czy linia śrubowa L : = [ a cos t , a sin t , bt ], a, b > 0 jest
r(t)
łukiem gładkim? Odpowiedz
uzasadnić.
Zad.T5 [5p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 3]
Zmienna losowa X typu ciągłego ma dystrybuantę
Å„Å‚
0 x 0
òÅ‚
F (x) = x3 0 < x 1
ół
1 x > 1
Podać wzór na rozkład gęstości prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej. Obliczyć P (0 X 0, 5) . Zinter-
pretować to prawdopodobieństwo na wykresie gęstości zmiennej losowej.
Max. 24 pkt