Analiza matematyczna 1
II kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
A7
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Dobrać stałe a i b tak, aby funkcja f określona warunkami
f ( x ) = x2 + b dla -2 d" x < 3 oraz f ( x ) = ax dla pozostałych
x " R, była ciągła w każdym punkcie. Sporządzić rysunek.
2. Wykorzystując różniczkę podać przybliżoną wartość wyrażenia
1
.
3
27,6
3. Stosując wzór Maclaurina przybliżyć trójmianem kwadratowym
Odpowiedzi do zestawu A7
w pobliżu punktu x0 = 0 funkcję
1. a = 1, b = -6;
f ( x ) = e-2x ln ( 3x + 1 ).
134
2. H" 0, 330864;
405
4. Wskazać przedziały, na których pochodna funkcji f jest dodatnia,
3. 3x -21 x2 ;
2
jeżeli
Ą
2x
4. ( 2 + kĄ, Ą + kĄ ), k " Z.
3cos
f ( x ) = .
2x
5sin
Analiza matematyczna 1
II kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
B7
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Sformułować twierdzenie Darboux i w oparciu o nie uzasadnić, że
równanie
3x + x2 = 250
ma dokładnie jedno dodatnie rozwiązanie x0 . Podać jego część
całkowitą.
1
2. Napisać równanie stycznej w punkcie o odciętej x0 = do wykresu
2
funkcji
f ( x ) = arcsin 1 - x2 .
Odpowiedzi do zestawu B7
1
3. Oszacować błąd wzoru przybliżonego cos x + 1 H" ( x - Ą )2 na
2
1. część całkowita wynosi 4;
Ą 3Ą
przedziale [ , ] .
2 3 Ą + 3
2 2
2. y = - x + ;
3 3
Ą4
4. Stosując regułę de L'Hospitala obliczyć granicę
3. lepsze oszacowanie R4 d" 384 H" 0, 254, gorsze oszacowanie
Ą3
1 1
R3 d" 48 H" 0, 646;
lim ( x ln 2 - 2x 1 ).
-
x 0
1
4. granica wynosi .
2