Pomiary Automatyka Robotyka 9/2007
Hybrydowy układ regulacji typu MFC/IMC
Artykuł przedstawia nowy hybrydowy układ regulacji ze śledzeniem modelu
 Model Following Control/Internal Model Control (MFC/IMC). W miejsce
Jerzy Brzózka

jednego modelu procesu  używanego w dotychczasowych układach
regulacji tego typu  zastosowano przełączanie modeli. Takie rozwiązanie
prowadzi do poprawy jakości działania układu i dopuszcza jednocześnie
szerszy zakres zmian parametrów regulowanego procesu. Przeprowadzono
analizę stabilności układu hybrydowego oraz porównano jakość procesu
regulacji w hybrydowym i klasycznym układzie MFC/IMC.
ostatnich latach wiele uwagi poświęca się odpor- Aby zapewnić stabilną pracę tej struktury, należy
nym (mocnym) układom regulacji automatycz- zagwarantować stabilną pracę pętli Rm(s)P(s) oraz
nej. Do tej grupy układów należą różne struktury ze R(s)P(s).
śledzeniem modelu (Model Following Control  MFC) Jak wynika z rys. 1 udział regulatora R(s) w sterowa-
szeroko przedstawione w [2, 3, 8]. Wśród tych struktur niu procesem P(s) jest tym mniejszy, im bardziej dokład-
najbardziej interesującą jest struktura MFC/IMC (In- nie model M(s) przybliża proces P(s). W przypadku gdy
ternal Model Control) przedstawiona na rys. 1. Ma ona M(s) = P(s), na podstawie (1) można napisać:
dobre właściwości śledzenia wartości zadanej oraz niską
Rm(s)P(s)
wrażliwość zakłóceniową. Proces P(s) jest sterowany
y(s) = r(s) +
1+ Rm(s)P(s)
sumą dwóch sygnałów: z regulatora Rm(s) i R(s), przy (2)
czym sygnałem wejściowym regulatora Rm(s) jest błąd
1
+ d(s)
(
procesu ep(s), a sygnałem wejściowym regulatora R(s)
1+ Rm(s)P(s) 1+ R(s)P(s)
()()
sygnał błędu y* (s)  y(s).
m
Tak więc  jak wynika z zależności (2)  dla śledze-
nia wartości zadanej należy zapewnić stabilność pętli
Rm(s)P(s), a dla tłumienia zakłóceń  tak jak poprzednio
 pętli Rm(s)P(s) oraz R(s)P(s).
W strukturze z rys. 1 zakłada się, że M(s) jest trans-
mitancją modelu procesu nominalnego. W przypadku
znacznych perturbacji procesu  powyżej lub  poniżej
procesu nominalnego, układ nie ma żadnej możliwości
wyboru innego modelu  bliższego aktualnemu proce-
sowi. Taką możliwość daje zaproponowany nowy, hybry-
Rys. 1. Klasyczna struktura MFC/IMC. Przyjęte oznaczenia
dowy układ typu MFC/IMC z przełączaniem modelu.
transmitancji i transformat: M(s)  model; P(s)  proces;
Układem hybrydowym nazywa się taki układ, w któ-
Rm(s)  regulator modelu; R(s)  regulator procesu;
rym występuje przełączanie między jego podukładami
y(s)  wielkość regulowana; r(s)  wartość zadana;
(ciągłymi, dyskretnymi).
d(s)  zakłócenia; ep(s)  błąd regulacji w pętli procesu;
ym
*(s)  wielkość wyjściowa z modelu
W praktyce istnieje bardzo wiele układów, w których
zachodzi przełączanie między różnymi podsystemami,
Zgodnie z [8] można napisać: np. w przemyśle samochodowym, podczas sterowania
przepływem danych w sieciach komputerowych, w ro-
botyce, we wbudowanych układach sterowania, w ukła-
Rm(s) P(s) 1+ R(s) M(s)
()
dach regulacji z regulatorem nadzorczym (supervisory
y(s) = r(s) +
r
1+ P(s) Rm(s) + R(s) + Rm(s)R(s)M(s) control) itp. Układy hybrydowe stosuje się też wtedy,
( )
gdy nie można ustabilizować fragmentu danego pro-
1
+ d(s)
cesu za pomocą pojedynczej pętli ujemnego sprzężenia
1+ P(s) Rm(s) + R(s) + Rm(s)R(s)M(s)
()
zwrotnego.
(1) Pewną odmianę systemów hybrydowych stanowią
 bardzo popularne obecnie  układy (modele i regu-
latory) rozmyte, w których zaletą jest to, że w algoryt-
dr inz. Jerzy Brzózka  Akademia Morska
mie ich pracy można wykorzystać wiedzę ekspertów
w Szczecinie, Zakład Automatyki Okrętowej,
zawartą w nieostrych sformułowaniach formalnych [7].
[e-mail]
Układy rozmyte dysponują bardzo dużą liczbą stopni
12
Pomiary Automatyka Robotyka 9/2007
swobody, co wynika z zasady ich działania (rozmywanie,
u1
R1
element
wnioskowanie, ostrzenie). Układy rozmyte mają więc
decyzyjny
ogromną liczbę możliwych do strojenia parametrów.
u2
Synteza układu rozmytego prowadzi w konsekwencji do
R2 obiekt
y
sumatora  wzmacniacza nieliniowego, którego charak-
(proces)
terystykę trudno jest kształtować przy wykorzystaniu
metodologii zbiorów rozmytych.
un
Rn
A
atwiejszą metodą jest sformułowanie tablicy lub
reguł przełączeń pomiędzy poszczególnymi stanami
Rys. 3. Wieloregulatorowa struktura hybrydowego układu
ciągłymi. Takiej właśnie metody dotyczy prezentowany
regulacji
artykuł.
W projektowaniu układów hybrydowych wykorzy-
Propozycja hybrydowego układu
stuje się metody sterowania optymalnego (minimaliza-
regulacji MFC/IMC
cja funkcji kosztów z jednoczesnym wyborem trajek-
torii sterowania gwarantującej wymagane działanie;
Schemat blokowy nowego, hybrydowego układu regula- minimalizacja czasu obliczeń), stochastycznego (po-
cji typu MFC/IMC nazwanego switched MFC/IMC przed- szczególne regulatory gwarantują wymagane działanie
stawiono na rys. 2. W układzie tym decyzję o przełącze- z określonym poziomem ufności), tzw. viable control
niu podejmuje zaprojektowany blok, umownie nazwany [4, 5] (regulator wykorzystuje algorytm identyfikujący
min, wybierający wartość minimalną ze zbioru swoich trajektorie sterowania i wybiera tę, która gwarantuje
sygnałów wejściowych, z których każdy stanowi moduł pożądane działanie). Spośród innych metod stosowa-
*
z różnicy sygnału wyjściowego ymi (s) z danego modelu nych do projektowania układów hybrydowych można
Mi(s) i sygnału wyjściowego z procesu y(s). Po wyborze wymienić sterowanie predykcyjne z modelem (Model
wartości minimalnej na wejście regulatora R(s) poda- Predictive Control, MPC) i metody z zastosowaniem re-
wana jest bieżąca wartość wybranego wejścia, tj. różnica gulatorów odpornych.
*
ymi (s)  y(s). Analogicznie układy regulacji (z blokiem W przypadku prezentowanego hybrydowego układu
minimum i/lub maksimum) nazywane są w literaturze regulacji MFC/IMC zachodzi przełączanie między mo-
[1] selector control. delami procesu.
Stabilność układów
hybrydowych
Stabilność jest jednym z podstawo-
wych wymagań, jakie musi spełnić
hybrydowy układ regulacji. Z powo-
du występowania elementu prze-
łączającego jest to zawsze układ
nieliniowy, nawet w przypadku
przełączania liniowych elementów
składowych [9].
Powszechnie stosowaną metodą
wyznaczania warunków stabilności
globalnej układów hybrydowych jest
Rys. 2. Schemat blokowy hybrydowego układu regulacji MFC/IMC (switched
MFC/IMC): M1(s), M2(s), M3(s), M4(s)  transmitancje modeli procesu; metoda funkcji Lapunowa. W przy-
y* (s)� y* (s) wielkości wyjściowe z odpowiednich modeli; min  blok
m1 m4 padku układów hybrydowych poszu-
wyszukiwania minimum
kiwana jest wspólna (dla wszystkich
przełączanych układów) funkcja La-
Projektowanie hybrydowych układów punowa. Jest to warunek dostateczny. Istnienie takiej
funkcji zapewnia stabilność układu hybrydowego.
regulacji
Załóżmy, że istnieje rodzina autonomicznych układów
Najpopularniejszą strukturą hybrydowego układu re- liniowych (uzyskana w wyniku i przełączeń) opisana
gulacji jest struktura z przełączalnymi regulatorami układem równań stanu (3):
(rys. 3).
W takich układach hybrydowych, poszczególne, prze- (3)
łączane regulatory R1 ... Rn realizują różne, często wyklu-
czające się zadania, np. osiąganie dobrych wskaz
ników
jakościowych procesu regulacji i zapewnienie wysokiej gdzie Ai są macierzami stanu o ujemnych wartościach
odporności [6]. własnych.
13
Pomiary Automatyka Robotyka 9/2007
Dalej, niech P1 ... Pi oznaczają syme- a) b)
tryczne, dodatnio określone macierze,
spełniające równania Lapunowa (4):
T
�#
A1 P1 + P1A1 = -I
�#

Ź# (4)
ATPi + PiAi = -Pi-1�#
i �#
i = 2,& m
c) d)
wtedy, według [6] dla układu (3), ist-
nieje wspólna funkcja Lapunowa V(x)
określona następująco:
V (x) := xTPmx (5)
Przykład symulacyjny
Eksperymenty symulacyjne układu
MFC/IMC (klasycznego i nowego)
Rys. 4. Charakterystyki skokowe w klasycznym i hybrydowym układzie MFC/IMC:
a) kob = 1, Tp = 7 s, r = 1, d = 0; b) kob = 1, Tp = 7 s, r = 0, d = 1; c) kob = 2, Tp
zostały przeprowadzone w progra-
= 7 s, r = 1, d = 0; d) kob = 2, Tp = 7 s, r = 0, d = 1
mie MATLAB�/Simulink�. Oba układy
miały identyczne transmitancje:
procesu
a więc hybrydowy układ regulacji MFC/IMC jest stabilny
kob
P(s) =
dla przyjętych parametrów.
(2s +1)(2s +1)(Tps +1)
Przykładowe charakterystyki skokowe obu układów
(kob, Tp  zmieniane parametry procesu), regulatora przedstawiono na rys. 4.
procesu Do porównania jakości działania obu układów jako
1
R(s) = kryterium przyjęto całkę z wartości bezwzględnej sy-
7s
gnału błędu (dla skokowej zmiany wartości zadanej lub
i regulatora modelu zakłócenia). Uzyskane wartości całek kryterialnych  dla
różnych parametrów procesu P(s)  zostały zestawione
1
ś#
Rm(s) = 15�#1+ . w tabeli 1 i 2. Ponieważ z praktycznego punktu widze-
.ś# ź#
�# #
7s
nia ważne są generowane maksymalne wartości sygnału
W przypadku hybrydowego układu MFC/IMC zostały sterującego procesem, w tabeli 3 zestawiono wartości
przyjęte następujące modele procesu: całek w obecności występowania nasycenia na wyjściu
regulatora Rm(s).
1 1
M1(s) = ; M2(s) = ;
(s +1)3 (2s +1)3
1 1
Tabela 1
M3(s) = ; M4(s) =
(2s +1)2(3s +1) (2s +1)2(4s +1)
Dla klasycznego układu regulacji MFC/IMC model
procesu stanowiła transmitancja M3(s). Przyjęto czas
symulacji 150 s. Przykładowe przebiegi symulacyjne
przedstawiono na rys. 4.
Sprawdzenia stabilności hybrydowego układu regu-
lacji MFC/IMC (dla parametrów jak w tabelach 1 i 2)
przeprowadzono numerycznie wykorzystując wielo-
krotnie polecenie lyap1 (z MATLAB Control Toolbox)
do rozwiązania każdego z równań w zależności (4) dla
różnych macierzy stanu Ai, wyznaczonych na podstawie
transmitancji (1). Pozwoliło to określić wspólną funk-
cję Lapunowa V(x) według zależności (5). Wszystkie
warunki stabilności przedstawione powyżej w  Sta-
bilność układów hybrydowych zostały spełnione,
1)
lyap rozwiązuje ciągłe w czasie równanie Lapunowa o postaci,
jak poszczególne równania w zależności (4).
14
Pomiary Automatyka Robotyka 9/2007
Tabela 2 Bibliografia
1. �str�m K.J., H�gglund T., PID Controllers: Theory, De-
sign and Tuning, 2nd edition, Instrument Society of
America, 1995, pp. 343.
2. Brzózka J., Regulatory cyfrowe w automatyce, Wydaw-
nictwo MIKOM, Warszawa 2002, s. 258.
3. Brzózka J., Regulatory i układy automatyki, Wydaw-
nictwo MIKOM, Warszawa 2004, s. 344.
4. Deshpande A., Varaiya P., Viable Control of Hybrid
Systems, Hybrid Systems II, LNCS 999, Springer Verlag
1995, pp. 128 147.
5. de Lara M., Doyen L., Guilbaud T., Rochet M.J., Monoto-
nic Properties for the Viable Control of Discrete Time
Systems, Rapport de recherch� du CERMICS 2006-299,
Janvier 2006, pp. 14.
6. Liberzon P., Morse A.S., Basic Problems in Stability and
Design of Switched Systems, IEEE Control Systems Ma-
gazine 1999, vol. 19, pp. 59 70.
7. Piegat A., Modelowanie i sterowanie rozmyte, Wydaw-
nictwo EXIT, Warszawa 1998 (również Springer Verlag,
2001), s. 678.
8. Skoczowski S., Osypiuk R., Pietrusewicz K., Odporna
Tabela 3
regulacja PID o dwóch stopniach swobody, PWN-MI-
KOM, Warszawa 2006, s. 360.
9. %7ńefran M., Burdick J.W., Stabilization of Systems with
Changing Dynamics by Means of Switching, Internatio-
nal Conference on Robotics and Automation, Leuven,
Belgium 1998.
Wnioski
W artykule przedstawiono nową strukturę układu re-
gulacji typu MFC/IMC różniącego się od klasycznego
układu regulacji zastosowaniem przełączanych modeli
procesów. Parametry modeli wynikają z dopuszczalnych
lub przewidywanych zmian parametrów procesu. Zasto-
sowanie przełączania modeli powoduje, że powstaje nie-
liniowy układ hybrydowy i konieczna jest analiza jego
stabilności. W artykule wykorzystano metodę poszuki-
wania wspólnej funkcji Lapunowa dla wszystkich ukła-
dów uzyskanych w wyniku przełączeń. Stwierdzono, że
taka funkcja istnieje. Jak można też było się spodziewać,
działanie układu hybrydowego jest lepsze niż konwen-
cjonalnego układu MFC/IMC, co zostało potwierdzone
wyznaczeniem wartości całki z modułu sygnału błędu
przy skokowych zmianach wartości zadanej i zakłóceń
dla różnych wartości parametrów procesu.
15
Uwaga:
kursywą zaznaczono wartości większe w układzie hybrydowym niż
w klasycznym układzie MFC.