Egzamin poprawkowy z Rachunku Prawdopodobieństwa I,
7 września 2005.
Czas: 2h30m, każde zadanie piszemy na osobnej kartce, na której powinno
siÄ™ znalez
ć nazwisko i imię oraz numer indeksu zdającego.
1. Rzucamy nieskończenie wiele razy asymetryczną monetą, na której orzeł
1
wypada z prawdopodobieństwem . Niech An oznacza zdarzenie  tyle samo
4
orłów co reszek po n rzutach .
a) Wyznaczyć P (An), n =1, 2, . . .
b) Wykazać, że prawie na pewno zachodzi skończenie wiele spośród zdarzeń
An.
2. Zmienne losowe X, Y są niezależne i mają ten sam rozkład wykładniczy
z parametrem 1.
a) Wyznaczyć rozkład wektora losowego (X, X + Y ) (podać dystrybuantę
lub gęstość, jeśli istnieje).
b) Zbadać niezależność X i X + Y .
3. Zmienne losowe X, Y są niezależne, mają ten sam rozkład i przyjmują
wyłącznie wartości całkowite nieujemne. Suma X + Y ma rozkład Poissona z
parametrem 2. Co mozna powiedzieć o rozkładzie X (i Y )?
4. Zmienne losowe Xi, i = 1, 2, . . . są niezależne i mają wspólny rozkład:
1 3
P (Xi =1) = , P (Xi = -1) = . Zbadać zbieżność ciągu o wyrazach
4 4
Zn = X1 +. . . +Xn.
5. W celu oszacowania, jaki procent wyborców popiera kandydata X na
prezydenta, przeprowadza się ankietę wśród n losowo wybranych obywateli.
a) Jakie powinno być n, żeby z prawdopodobieństwem ą =0,95 błąd osza-
cowania nie przekroczyÅ‚ µ =0,01?
b) Wiadomo, że jeden z kandydatów nie ma szans na poparcie większe niż
20%. Czy można wykorzystać tę informację przy wyznaczaniu n? Zakładamy,
że Ä… i µ sÄ… takie, jak w poprzednim punkcie.
Ciekawostka. Oto niektóre wartości dystrybuanty standardowego rozkładu
normalnego: Åš(1, 96) = 0, 975, Åš(2) = 0, 977.
1