Zadania CAA
KI
Zadanie 1. Oblicz całkę i sprawdz
poprawność wyniku.
1
a) 7 dx b) (-12)dx
+" +"
c) dx
+"
3
d) 2x dx e) (- 3) x2 dx x3
+" +"
f) dx
+"
4
3 4
g) (- x7)dx
+"
h) dx i) dx
+" +"
x x2
- 2 -1 1
j) dx k) dx l) dx
+" +" +"
x3 x4 2x7
3
4
m) 3 x dx n) 2 x dx
x
+" +"
o) dx
+"
3
3
x2
p) x x x dx q) x2 x x dx
+" +" r) dx
+"
3
x2
s) 7x dx t) 10x dx u) ex dx
+" +" +"
x x
1 3
1 1
ëÅ‚ öÅ‚
x) e-2x(- 2ex) dx
v) 2x ëÅ‚ öÅ‚ 21x dx w) 9-2 x 272x dx +"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"
8
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
y) (2x - 3)dx z) (3x3 + x2 - 2)dx aa) (- 4x5 + 2x3 +1)dx
+" +" +"
ëÅ‚2x - 2 1
ëÅ‚2 x + + 3x - xöÅ‚ dx
cc) + 2x2 + 2öÅ‚ dx dd)
bb) (3ex - 3x3 + 2x -1)dx ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"
+"
x2 x
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
x3 + 2x - 3 2x2 + 3x +1 x4 + 4x - 2
ee) dx ff) dx gg) dx
+" +" +"
x2 x3 x
5x + 2x 2
hh) dx ii) x(x - 2)(x + 2)dx jj) (x2 - 3) dx
+" +" +"
10x
kk) 2x(x2 + 3)dx ll) [- x2(x +1)]dx mm) [ x(x + 4)(x -1)]dx
+" +" +"
Zadanie 2. Oblicz całkę metodą przez części i sprawdz
poprawność wyniku.
a) xex dx b) x2ex dx c) x3ex dx
+" +" +"
d) (x +1)ex dx e) (2x2 + 3)ex dx f) (3x + 5)ex dx
+" +" +"
g) xln x dx h) x2 ln x dx i) x3 ln x dx
+" +" +"
Wskazówka. Przyjmij, \
e pochodną w przykładach a)  f) jest funkcja wykładnicza,
g)-i) potęgowa.
1/4
Zadanie 3. Oblicz całkę metodą przez podstawienie i sprawdz
poprawność wyniku.
1 2 - 3
a) dx b) dx c) dx
+" +" +"
x +1 3x + 4 5x -1
d) x +1 dx e) 3x + 2 dx f) 2 4x + 3 dx
+" +" +"
x+1 2x+1
g) e dx h) 2e dx i) 23-2x dx
+" +" +"
1
-x+2
1
- x
-x+3 l) 3 dx
3 +"
k) e dx
j) 3e dx
+"
+"
3
14
7 9
1
m) (x + 5) dx n) (2x +1) dx ëÅ‚
+" +"
o) x + 2öÅ‚ dx
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
7
íÅ‚ Å‚Å‚
Wskazówka. Nową zmienną podstaw za wyra\
enie znajdujące się w przykładach
a)-c) w mianowniku, d)-f) pod pierwiastkiem, g)-l) w wykładniku, m)-o) w podstawie potęgi.
Zadanie 4. Oblicz całkę oznaczoną.
3 1 4
2
a) (3x + 2) dx b) (- x3 - 3x2 + 2)dx c) (t3 - t + t)dt
+" +" +"
1 -1 0
e 1 1
d) x3 ln x dx e) x3ex dx f) (x +1)ex dx
+" +" +"
1 0 -1
0 2 3
2 1
g) dx h) 3x + 2 dx i) e-x+3 dx
+" +" +"
3x + 4 3
-1 0 2
Zadanie 5. W układzie współrzędnych zaznacz obszar ograniczony z góry wykresem funkcji
f (x)= x2 - 2x + 2 , z dołu prostą y = 0, z lewej i prawej odpowiednio prostymi x = -1, x = 2.
Oblicz pole tego obszaru.
Zadanie 6. W układzie współrzędnych zaznacz obszar poło\
ony między wykresem funkcji
1 3
f (x)= - x2 - x a prostÄ… y = 0 oraz z lewej i prawej ograniczony odpowiednio prostymi
2 3
x = -2, x = 1. Oblicz pole tego obszaru.
Zadanie 7. W układzie współrzędnych zaznacz obszar ograniczony z góry wykresem funkcji
f (x)= x , z dołu prostą y = 0, z lewej i prawej odpowiednio prostymi x = 9, x = 16. Oblicz
pole tego obszaru.
Zadanie 8. W układzie współrzędnych zaznacz obszar ograniczony z góry prostą y = 0,
1
z dołu wykresem funkcji f (x)= , z lewej i prawej odpowiednio prostymi x = - e2, x = - 1.
x
Oblicz pole tego obszaru.
2/4
Zadanie 9. W układzie współrzędnych zaznacz obszar ograniczony z góry wykresem funkcji
f (x)= 2x , z dołu prostą y = 0, z lewej i prawej odpowiednio prostymi x = - 2, x = - 1. Oblicz
pole tego obszaru.
Zadanie 10. W układzie współrzędnych zaznacz obszar ograniczony z góry wykresem
funkcji f (x) = ex , z dołu prostą y = 0, z lewej i prawej odpowiednio prostymi x = - 2, x = 2.
Oblicz pole tego obszaru.
Odp. zad. 1. W ka\
dym przykładzie stała c " R .
a) 7x + c b) -12x + c
1
c) x + c
3
1
d) x2 + c e) - x3 + c
f) x4 + c
16
1 4
h) 3ln x + c
g) - x8 + c i) - + c
8 x
1 1 1
j) + c k) + c l) - + c
x2 3x3 12x6
3 4
m) 2x x + c 3 4
n) x x + c o) x x + c
2 15
4 3 3
4 3
3
p) x2 Å" x3 + c q) x3 Å" x2 + c r) x2 Å" x + c
11 11 7
1 1
u) ex + c
s) Å"7x + c t) Å"10x + c
ln 7 ln10
1 1
x) - ex + c
v) Å"14x + c w) Å"3x + c
ln14 ln3
3 1 2 1
y) x2 - 3x + c
z) x4 + x3 - 2x + c aa) - x6 + x4 + x + c
4 3 3 2
3 1 2 4 1 1
bb) 3ex - x4 + x2 - x + c cc) Å" 2x + - 2x + c dd) x x + ln x + 3x - x2 + c
4 ln 2 x 3 ln3 2
1 3 3 1 1
ee) x2 + 2ln x + + c ff) 2ln x - - + c gg) x4 + 4x - 2ln x + c
2 x x 2x2 4
1 1 1 1
hh) - 2-x - 5-x + c ii) x3 - 2x2 + c jj) x5 - 2x3 + 9x + c
ln 2 ln5 4 5
1 1 1 1
kk) x4 + 3x2 + c ll) - x4 - x3 + c mm) x4 + x3 - 2x2 + c
4 4 3 4
Odp. zad 2.
a) xex - ex + c b) x2ex - 2xex + 2ex + c c) x3ex - 3x2ex + 6xex - 6ex + c
d) xex + c e) 2x2ex - 4xex + ex + c f) 3xex + 2ex + c
1 1 1 1 1 1
g) x2 ln x - x2 + c h) x3 ln x - x3 + c i) x4 ln x - x4 + c
2 4 3 9 4 16
3/4
Odp. zad. 3.
2 3
a) ln x +1 + c
b) ln 3x + 4 + c c) - ln 5x -1 + c
3 5
2 2 1
d) (x +1) x +1 + c e) (3x + 2) 3x + 2 + c f) (4x + 3) 4x + 3 + c
3 9 3
1
g) ex+ 1 + c h) e2 x+ 1 + c
i) - 22-2x + c
ln 2
1
1 1
- x
3
k) - e-x+ 3 + c l) - 3-x+ 2 + c
j) - 9e + c
3 ln3
15
1 1
8 10
7 1
ëÅ‚
m) (x + 5) + c n) (2x +1) + c
o) x + 2öÅ‚ + c
ìÅ‚ ÷Å‚
8 20
15 7
íÅ‚ Å‚Å‚
Odp. zad. 4.
a) 16 b) 2 c) 48
e)  2e + 6 f) e + 1/e
3 1
d) e4 +
16 16
4 1
28 2
g) ln 2 i) (e -1)
h)
3 3
9
1 1
Odp.: zad. 5) 6, zad. 6) 6,25, zad. 7) 24 2/3, zad. 8) 2, zad. 9) , zad. 10) e2 - .
4 ln 2 e2
Anna Rajfura
4/4