Lista 1.
Zadanie 1.1
Zaznaczyó na prostej zbioryx, które speªniajÄ„ ponisze warunki:
tych punktów
a)x;x+1jx;<2 x+2j>1
j 1j =2 b) j = ;1 c) j 3j d) j
e)x;x+1j<5 x+3j>1:
j 3j ­ 2 f) j 2 g) j 2 ­ 2 h) j 2; 4xj
Zadanie 1.2
KorzystajĄc z geometrycznej interpretacji wartoąci bezwzglŚdnej, rozwiĄzaó nie-
równoąci:
a)x;<3 x+4jx;x+2jx;x+2j:
j 2j b) j 2 ­ 6 c) j 5j Ź j d) j 1j ­j
Zadanie 1.3
RozwiĄzaó równania i nierównoąci:
a)x;xjx;x;xjx+7x;x;:
j 2j +j = j 2 7j b) j 1j ; 2j + = 0 c) 3j 1j ;j 2 1j =1
1 jxj
d)<2 x+2jxj 1 f)>1.
e)
jxj jx; 2j
Zadanie 1.4
Napisaó wzór funkcji liniowej, której wykres:
(a)A(2 1) B(1 ;1),
przechodzi przez punkty
(b)A(1 0)OxkĄt 30 ,
przechodzi przez punkt i tworzy z osiĄ
(c)A(1 0)OykĄt 30 .
przechodzi przez punkt i tworzy z osiĄ
Zadanie 1.5
Narysowaó wykresy funkcji:
a)f(x)x f(x)xjf(x)xj
= 3; 2 b) = j 3; 2 c) = 3; 2j
d)f(x)x;x+2jf(x)x;f(x)x+1j ; 2j
= j 2j +j e) = 2 ; 3j 3j f) = j j 2
p p p
g)f(x)x2x+9 f(x)x;x2x+9.f(x)x;x2x+9.
= +6 h) =2 ; 6 i) = j 2j ; ; 6
Zadanie 1.6
Sprowadzió nastŚpujĄce wyraenia do prostszejx yprzyj-
postaci, zakªadajÄ„c, e
mujĄ wartoąci, dla których dane wyraenie jest okreąlone:
x;y1xx; 4
;
a) p b) p c) p
p
3
3
x;y1xx; 2
;
Zadanie 1.7
Wykonaó dziaªania:
p
8x3x2;x3 3
6
p + 1 ;
a) + ; b)x: p +1
x;x3x+3x2x)2 1+x2
9 (1 ; 3
1x
;
Zadanie 1.8
12
p
2
3
Znaleąó ten wyrazx+ ,x.
rozwiniŚcia dwumianu w którym nie wystŚpuje
x
1
 Zadanie 1.9
p p 24
5 7
Znaleąó wyrazy rozwiniŚcia dwumianu 3+ 2 , które sĄ liczbami natural-
nymi.
Zadanie 1.10
WykorzystujĄc wzór Newtona obliczyó:
nnnnn
a) + + + + +
0n;n
1 2 1
nnnn;1nn;2nn
b) 2 + 2 + 2 + + 2+
0 1n;n
2 1
nnnnnn
c) ; + ; + +(;1)
0n;n
1 2 1
nnnn;1nn;2nnn
d) 2 ; 2 + 2 ; +(;1)n;1:
2+(;1)
0 1 2n;n
1
Zadanie 1.11
Znaleąóy=ax2+bx+c, wiedzĄc, e do jego wykresu naley
trójmian kwadratowy
punktA(3 0)x= 1 przyjmuje on wartoąó maksymalnĄ równĄ 12.
i e dla
Zadanie 1.12
Dlamkade z równa«:
jakiej wartoÄ…ci parametru
(i)mx2x+m=0 ,
; 3
(ii)x2x+m; 1 =0 ,
(4m+1) ; (4m; 1)
(iii)x2mx;m2m; 2 = 0
+ ;
ma:
a) tylko jedno rozwiĄzanie,
b) dwa rozwiĄzania rónych znaków,
c) dwa rozwiĄzania dodatnie,
d) dwa rozwiĄzania, które sĄ sinusem i kosinusem tego samego kĄta?
Zadanie 1.13
OkreÄ…lió iloąó rozwiÄ„za« równaniam:
w zalenoÄ…ci od parametru
a)x2x;m x2x;m=0 x2x;m+1:
j ; 6j = b) j 3 ; 1j +2 c) j +2 3j =
Lista 2.
Zadanie 2.1
a) WyznaczyóaibwielomianuW(x)x4x3x2ax+b
wspóªczynniki = ; 3 + +
tak, aby przy dzieleniuQ(x)x2x+2 reszta byªa
go przez wielomian = ; 2
równa: 1 x.
0
b) Nie wykonujĄc dzielenia, wyznaczyó resztŚ z dzielenia:
(i)W(x)x2001x117x+2Q(x)x2
wielomianu = 2 ; 3 +5 przez wielomian = ; 1
(ii)W(x)x21x11x;2Q(x)x2x;2:
wielomianu = 2 ;32 ;8 przez wielomian = ;
2
 Zadanie 2.2
RozwiĄzaó równania i nierównoąci:
a)x4x3x2x;x4x2 +1 = 0
; 1 =0 b) ; 2 +2 1 =0 c) 9 ; 10
d)x4x2<0 x4x2x4<3x2 +3.
; 12 +32 e) ; 12 +36 ­ 0 f) j ; 1j
Zadanie 2.3
RozwiĄzaó równania i nierównoąci:
p p p
p
2 1
a)x+x+6=9 x+1x;x c) p =
10 b) 2 + 3=2
x+x2xx
;
p
p p
1
d)x< x;x­xe) 6; 10; 1 f) +
x
Zadanie 2.4
Naszkicowaó wykresy funkcji:
a)f(x)=2;f(x)f(x)f(x) =2; 3x;1 .
3x b) =2; 3jxj c) = j 2; 3xj d)
Zadanie 2.5
RozwiĄzaó równania i nierównoąci:
p
3 1 3 2
4 2
a)x;x;x;1x;2 x2x;2.
= b) = e) ­ f) Ź
8 4
Zadanie 2.6
RozwiĄzaó równania i nierównoąci:
q q
p p
a) 23x 7x;2 =4x+1 b) 8x +18x ; 2 27x =0 c) ( 2; 3)x +( 2+ 3)x =4.
2 1 1
;x;6
d)>15 <3x>1:
22x+4 ; 4x e) 0 Ź 1 f)
2x ; 1 1 ; 2x;
Zadanie 2.7
Obliczyó:
1 2 log 3
p2
a) log2p2 b) log9 tg c) log2 3 log3 4 log127 128 d) 2 .
8 3
Zadanie 2.8
Nie korzystajÄ„c z tablic logarytmów, uporzÄ„dkowaó wedªug wielkoÄ…ci podane liczby:
log3 log4 log3 5.
6 8
Zadanie 2.9
SporzĄdzió wykresy funkcji:
a)f(x)x;f(x)x;f(x)x; 3) ; 2j
= log ( 3) b) =2 ; log ( 3) c) = j log (
Zadanie 2.10
RozwiĄzaó równania i nierównoąci:
p p
a)x;x+3+1x)+log2x) = 2
log 5+log 2 = log 30 b) log4 (log2 (log4
c)x;<2 d)x2>0
log 1 j 1j log 1 (log4 ( ; 5))
2 5
3
Lista 3.
Zadanie 3.1
Wyznaczyó okres podstawowy funkcji:
x x 2x x
f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) x f(x) =
= sin = sin = cos = tg = sin
3 3 3
x
ctg:
3
Zadanie 3.2
Narysowaó wykresy i okreąlió zbiór wartoąci funkcji:
x
a)f(x)x+f(x)x f(x) =2 sin ; 1
= cos ( ) b) =sin 2 c)
3 2
d)f(x)xjf(x)x+cosxjf(x)xjxj
= sin j e) = j sin f) = j sin +j cos
g)f(x)x;jxj .
= sin sin
Zadanie 3.3
Obliczyó bez uycia tablic:
a) sin 12 cos 18 +sin 18 cos 12 b) (sin
15 +sin 75 )(cos 75 ; cos 15 )
Zadanie 3.4
Udowodnió tosamoąci:
a)x;x=xtgx x+sin2x=x
sin 2 tg cos 2 b) 4 sin4 2 4 sin2
cosx+ctgx1
c)x x:
=1 +sin d) = cos 2
ctgx1+tgxtgx
2
Zadanie 3.5
RozwiĄzaó równania:
p
a)x)x)+2 x)x) x)x
2 cos2( =3 cos( b) ctg3( =ctg( c) 2 3 sin2( =cos
p p p p
d)x)+x)x)+x)x);x) =2.
sin( 3 cos( = 3 e) sin( 3 cos( =0 f) 3sin( cos(
Zadanie 3.6
RozwiĄzaó nierównoąci:
p p
1
a)x;<0 x;<1 x;x>1
3tg 1 b) j cos j c) sin 3cos
2
p
2x1
tg2
d)xj> xjxj Ź .
j sin e) 1 ; ­ 0 f) sin sin
2 3 2
Zadanie 3.7
Obliczyó:
!
p p
1 3 3
5
a) arcsin ; b) arcsin c) arccos ; d) arccos sin
2 2 2 3
p
1
e) arc tg ; p f) arc tg ; 3 g) sin(arcsin 1) h) sin(arccos 1)
3
17
i) sin(arccos 0) j) arcsin sin k) arccos sin l) arc tg ctg .
3 3 3
4
 Zadanie 3.8
Okreąlió dziedziny naturalne i zbiory wartoąci podanych funkcji:
p
p
1
a)f(x)x g(x)h(x)x
= sin b) = c) = 1 + cos
1x
+ cos
x3 ; 1
d)f(x)q(x)xjq(x)x));1 .
= e) = ( log3 (1 + j )) f) = (log3(1 ;
x; 1
Lista 4.
Zadanie 4.1
Uzasadnió, e:
(i) Ä…rodki boków dowolnego czworokÄ„ta sÄ„ wierzchoªkami równolegoboku
(ii) ze ąrodkowych trójkĄta mona utworzyó trójkĄt.
Zadanie 4.2
Sprawdzió, e punkty A(-2,1) B(-1,-4) C(2,-1) D(1,4) sÄ„ wierzchoªkami równole-
gªoboku. Znaleąó wspóªrzÅšdne punktu przeciÅšcia przekÄ„tnych.
Zadanie 4.3
; ; ;
! ! !
; ! ; ;
! ! !
Wektorya b ;co dªugoÄ…cia+b+c= 0 . Obliczyó
1 speªniajÄ„ warunek
; ;
! !
; ; ; ;
! ! ! !
a b+b c+a c.
Zadanie 4.4
; ; ;
! ! !
; 2 ! ;
! !
Wektorya btworzĄ orazbjaja+cb
kÄ„t j = j 2; . Dla jakiej staªej c wektory
3
;
!
;
!
oraza;bs prostopadªe.
Zadanie 4.5
;
!
;
!
Wektorya bsÄ„ prostopadªe i majÄ„ dªugoąó 1. Znaleąó kÄ„t miÅšdzy wektorami
; ;
! !
; ! ! !
!
u=6;a+4bi;w=2;a+10b.
Zadanie 4.6
Znaleąó kĄt miŚdzy wektorami:
;
!
!
(i);a=[2 ;2]b=[3 3]
oraz
;
!
!
(ii);a=[;4 3]b=[1 3]
oraz
; ; ; ;
! ! ! !
! ! ! ;
!
(iii);c=4;a+borazd=:25;a+0:75b,a=[;4 2],b=[2 1].
;0 gdzie
Zadanie 4.7
;
!
; ;
! !
Danea= 3]b= 1].Znaleąóuprostopadªy do
sĄ wektory [1 oraz [;2 wektor
;
!
; ;
! !
aib u=7.
taki, e
5
 Zadanie* 4.8
Znaleąó rzut prostopadªy :
;
!
;
!
(i)a=[2 3]b=[4 3]
wektora na wektor
;
!
;
!
(ii)wektorabnaa.
wektor
Zadanie 4.9
p
;
!
;
!
Obliczyó pole równolegªoboku wyznaczonegoa=b=
przez wektory [ 3 1],
p
[; 1].
3
Zadanie* 4.10
Uzasadnió, e równanie prostej prostopadªejA2B2>0
do wektora [A ,B], gdzie +
maAx+By+c=0.
postaó
Zadanie* 4.11
Napisaó równanie symetralnej odcinka AB, gdzie A(1,2), B(-1,3)
oraz prostopadªej do tej symetralnej przechodzÄ„cej przez punkt M(4,1).
Zadanie* 4.12
Dla jakich wartoÄ…cia+2)x+(1y+a;x+
parametru a proste (3 ; 4a) 8 =0 i (5 2)
(a+4)y; 7 = 0 s
(i) równolegªe
(ii) prostopadªe.
Zadanie* 4.13
Wyznaczyó kĄt midzy prostymi
2x+5y;x+7y+8 = 0.
15 = 0 oraz ;3
Napisa równanie dwusiecznej kĄta miŚdzy prostymi.
Zadanie 4.14
Obliczyó odlegªoąóx;y+2:
punktu A(3,-5) od prostej 2 3 = 0
Zadanie* 4.15
Wyznaczyóx2x+y2y= 0 przechodzĄcej przez
równanie stycznej do okrŚgu ; 6 +8
punkt M(7,-1).
Zadanie* 4.16
p
OkrĄg o promieniu 2x;y=x+y= 5. Wy-
2 jest styczny do prostych 3 oraz
znaczyó wspóªrzÅšdne Ä…rodka tego okrÅšgu. Ile rozwiÄ„za« ma zadanie ?.
6
 Zadanie* 4.17
OkrÄ„g przechodzi przez punkt M(-3,1) i jest styczny do obu osi ukªadu wspóªrzÅšd-
nych. Znaleąó równanie okrŚgu.
Lista 5.
Zadanie 5.1
Obliczyó dªugoÄ…ci podanych wektorów:
; p p p
~
a) ;4 12) ; 2 2
~ =(3 b) b = 3 5
a
c)%cos' %sin' h),%­' h2 R
~ =( gdzie 0 oraz
c
~
d)%cos'cos %sin'cos %sin ),%­' 2 R.
d =( gdzie 0 oraz
Zadanie 5.2
~
Wektory ~ , b tworzĄ dwa sĄsiednie boki trójkĄta. Wyrazió ąrodkowe tego trójkĄta
a
~
przez wektory ~ , b .
a
Zadanie 5.3
Znaleąó wersor ~ , który:
u
a)xOyi zOx
ley w pªaszczyÄ…nie tworzy kÄ„t dodatniÄ„ czŚąciÄ„ osi
b) tworzyOx,Oy,Ozodpowiednio , ,
z dodatnimi czŚąciami osi kĄty
~
c) tworzy jednakowe 3 ;4), 6 0) i jest poªoony
kĄty z wektorami ~ =(0 b =(8
a
w pªaszczyÄ…nie wyznaczonej przez te wektory.
Zadanie 5.4
Obliczyó iloczyny skalarne podanych par wektorów:
a) ;2 5) ~ ;1 0)
~ =(1 b =(3
a
b) ~ = ;~ +3~ +7~
~ =3~ ; 2~ v i j k
u i k
c*) ~ = ~ +2~ ; ~ , ~ =3~ ; ~ +2~ , gdzie ~ ~ , ~ sÄ„ wersorami parami prostopadªymi.
x p q r y p q r p, q r
Zadanie 5.5
KorzystajĄc z iloczynu skalarnego obliczyó miary podanych kĄtów:
a) 0 4) ~ 1 ;2)
miÅšdzy wektorami ~ =(;3 b =(0
a
b) miŚdzy dwusiecznymi kĄtówOx,OyorazOy,Oz
utworzonych przez osie osie
ukªaduOxyz
c) miÅšdzy przekÄ„tnymi równolegªoÄ…cianu rozpiÅštego 2 3),
na wektorach ~ = (1
u
~ 0 2), 1 5):
v =(;1 w =(3
~
Zadanie 5.6
; p p p
Obliczyó dªugoąó rzutu prostokÄ„tnego 3 ; 5 na wektor
wektora ~ = 2
a
; p p
~
b 0 5 .
= ; 8
7
 Zadanie 5.7
Obliczyó iloczyny wektorowe podanych par wektorów:
~ ~
a) 2 0) ~ 5 ;2) ~ = i + j ; 4~
~ =(;3 b =(1 b) ~ =2~ ; 3~ v k
a u i k
c*) ~ = 2~ + ~ + ~ , ~ = ~ +3~ +4~ , gdzie ~ ~ , ~ sÄ„ parami prostopadªymi
x p q r y p q r p, q r
wersorami o orientacji zgodnej z orientacjÄ„ ukªadu wspóªrzÅšdnych.
Zadanie 5.8
Obliczyó pola podanych powierzchni:
~
a) równolegªobok rozpiÅšty 2 3), ;2 5)
na wektorach ~ =(1 b =(0
a
b)A=(1 ;1 3),B=(0 2 ;3),C=(2 2 1)
trójkÄ„t o wierzchoªkach
c) czworoÄ…cian rozpiÅšty na wektorach ~ , ~ , w .
u v ~
Zadanie 5.9
;! ;!
TrójkĄtABCrozpiŚtyAB=(1 5 ;3),AC=(;1 0 4):Obliczyó
jest na wektorach
wysokoąó tego trójkĄtaC:
opuszczonÄ„ z wierzchoªka
Zadanie 5.10
Obliczyó iloczyny mieszane podanych trójek wektorów:
a) 2 1) ~ 1 ;5) ~ 3 ;4)
~ =(;3 b =(0 c =(2
a
~ ~ ~
b) w:
~ = i + j ~ =2~ ; 3~ + k ~ = ;~ +2~ ; 5~
u v i j i j k
Zadanie 5.11
Obliczyó objŚtoąci podanych wieloącianów:
~
a) równolegªoÄ…cian rozpiÅšty 0 1), 2 3), ~ =
na wektorach ~ = (0 b = (;1 c
a
(2 5 ;1)
b) czworoÄ…cianA= 1 1),B= 2 3),C= 3 ;1),D=
o wierzchoªkach (1 (1 (2
(;1 3 5)
c*) równolegªoÄ…cian:
o przekĄtnych ~ , ~ , w
u v ~
Lista 6.
Zadanie 6.1
Sprawdzió, czy
a) 3 ;5) ~ ;1 1) ~ 0) sÄ„ wspóªpªaszczyznowe
wektory ~ =(;1 b =(1 c =(4 ;2
a
b)P= 0 0),Q= 2 3),R= 3 ;4),S= ;1 5) sÄ„ wspóª-
punkty (0 (;1 (2 (2
pªaszczyznowe.
Zadanie 6.2
Napisaó równania ogólne i parametryczne pªaszczyzn speªniajÄ„cych podane wa-
runki:
a) pªaszczyznaP= ;2 0) i jest prostopadªa do wek-
przechodzi przez punkt (1
tora ;3 2)
~ =(0
n
8
b) pªaszczyznaP1 0 0),P2 2 3),P3 =
przechodzi przez punkty = (0 = (1
(;1 ;3 5)
c) pªaszczyznaP1 ;3 4),P2 0 ;1) oraz jest
przechodzi przez punkty = (1 =(2
prostopadªaxOz
do pªaszczyzny
d) pªaszczyznaP= ;1 3) oraz jest równolegªa do
przechodzi przez punkt (1
~
wektorów 1 0), 1 1)
~ =(1 b =(0
a
e) pªaszczyznaP=(0 3 0) i jest równolegªa do pªaszczy-
przechodzi przez punkt
zny :x;y+2 = 0
3
f) pªaszczyznaP=(2 1 ;3) i jest prostopadªa do pªasz-
przechodzi przez punkt
czyzn 1x+y=0, 2y;z=0:
: :
Zadanie 6.3
Napisaó równania parametryczne i kierunkowe prostych speªniajÄ„cych podane wa-
runki:
a) prostaP= 5 2) i jest równolegªa do wektora
przechodzi przez punkt (;3
~ ;1 3)
v =(2
b) prostaP1 0 6),P2 2 4)
przechodzi przez punkty =(1 =(;2
c) prostaP=(0 ;2 3) i jest prostopadªa do pªaszczyzny
przechodzi przez punkt
:x;y+2z; 6 = 0
3
d)P= 2 0) i jest prostopadªa o wektorów ~ =
prosta przechodzi punkt (7 v
1
(2 0 ;3), 2 0)
~ =(;1
v
2
e) prosta jest dwusiecznĄ kĄta ostrego utworzonego przez proste
x+2y;zx+2y;z
4 4
l1l2 : = =
: = = ,
3 ;1 5 1 ;5 3
f*) prosta jest dwusiecznĄ kĄta ostrego utworzonego przez proste
x;y+1z;x+6y;z+29
1 2 1
l1 :l2:
= = , : = =
2 ;1 2 4 ;3 ;12
Zadanie 6.4
Zbadaó, czy
a)A=(1 2 3),B=(;1 ;2 0) naleĄ do prostej
punkty
8
+
< x=1t
+ 2
l:y=2t gdziet2
:z=3t R
;
2x+y;z+3 = 0
b)m: jest zawarta w pªaszczyÄ…nie
prosta
x;y+z; 5 = 0
2
:y;z+ 13 =0
5 3
c)A=(0 1 5),B=(1 2 3) naleÄ„ do pªaszczyzny
punkty
8
;1 +
< x=s+t
:y=2s;t gdzies t2
+ 3
:z=3s+2t R
;
9
3 1
x+1y;z+4xy;z; 2
d)l1 :l2 : = = majĄ punkt
proste = = ,
;2 1 ;8 1 1 2
wspólny
8
x=t
<
e)l:y=t gdziet2 jest równolegªa do pªaszczyzny
prosta 1 +2
:z=2t R
+ 3
:x+y;z+3:
= 0
Zadanie 6.5
Znaleąó punkty przeciŚcia:
x+2y;z+4 2x;y;z+8
= 0 2 = 0
a)l1l2 :
prostych :
y+z; x+2y+2z; 5 = 0
3 = 0
x;y+2z; 4
1
b)l: = = i pªaszczyzny
prostej
0 3 ;1
8
x=s+t
<
+
:y=1s+2t gdzies t2
:z=3s+4t R
+ 2
c) 1x+y+z+1 2x+2z+6 3y+2z=0:
pªaszczyzn : 3 = 0, : = 0, : 3
Zadanie 6.6
Zbadaó,P= ;2 2)Q= 4 3) leĄ po tej samej stronie
czy punkty (1 i (;2
podanych pªaszczyzn:
a) :x+3z; :x;y+3z+13:
2 7 =0 b) 2 = 0
Zadanie 6.7
Obliczyó odlegªoąó:
a)P=(1 ;2 3) :x+y;z+5 = 0
punktu od pªaszczyzny 3
b) 1x+y;z=0, 2x+y;z; 3 = 0
pªaszczyzn równolegªych : 2 2 : 2 2
c) 1x;y+2z+5 2x;y+6z; 3 = 0
pªaszczyzn : 2 = 0, : 3 6
xyz
d)P=(0 1 ;1)l: = =
punktu od prostej
2 ;1 3
x;y+1zxy;z; 3
1 1
e)l1l2 : = =
prostych równolegªych : = = ,
1 2 ;1 ;2 ;4 2
x=0 x=1
f)l1l2 :
prostych skoÄ…nych :
y=0 z=1
x;y;zxy+7z; 2
9 2
g)l1l2 : = =
prostych : = = ,
4 ;3 1 ;2 9 2
8
x=2t
+
<
h)l:y=t gdziet2 :x+y+4z=0:
prostej ;3 + R od pªaszczyzny 2
:z=2t 2
;
10
Lista 7.
Zadania
Zadanie 7.1
Obliczyó miarŚ kĄta miŚdzy:
x;y;z+2
3 1
a)l: = = :x;z=0
prostÄ„ i pªaszczyznÄ„
2 0 ;3
b) 1x;y+3z; 2x+y;z+3 = 0
pªaszczyznami : 2 5 = 0, : 2
8 8
; < ; 2
< x=1t x=3t
c)l1y=t gdziet2l2y=4t gdziet2:
prostymi : ;2 R, : ;
:z=3t + :z=1t R
+ 3
Zadanie 7.2
Znaleąó rzut prostokĄtny:
a)P=(;3 2 0) :x+y+z=0
punktu na pªaszczyznÅš
b)P=(;1 2 0)l:x=y=z
punktu na prostĄ
x;y;z+1
3 5
c)l: = = :x+3y;z;:
prostej na pªaszczyznÅš 2 6 =0
1 2 0
Zadanie 7.3
Znaleąó punktP=(2 3 ;1) wzglŚdem:
symetryczny do punktu
a)S=(1 ;1 2)
punktu
x+y=0
b)l:
prostej
y+z=0
c) :x;y+z;:
pªaszczyzny 2 6 = 0
Zadanie 7.4
Znaleąó rzut ukoąny 3 ;1):
w kierunku wektora ~ =(2
v
a)O=(0 0 0) :x;z+ 8 =0
punktu na pªaszczyznÅš 2
b)l:x;y+1z; :x;y+z;:
prostej 1 = = 2 na pªaszczyznÅš 1 = 0
Zadanie 7.5
Obliczyó objÅštoÄ…ci i pola powierzchni bryª ograniczonych podanymi pªaszczyznami:
a)x=1,y=z=3,x+y+z=5
;1,
b)x;y=1,x;y=5,x+2z=0,x+2z=3,z=z=4:
;1,
Zadanie 7.6
Obliczyó pole trójkĄta utworzonego przez proste:
8 8 8
;2 + 2 < < ;2
< x=t x=0 x=p
l1y=0 l2y=3s l3y=3p gdziet s p2 R:
: + 3 :
:z=4t : :z=z=0 ; 3
:
;4s
11
 Zadanie* 7.7
x;y;z; 3
1 4
NiechA=(1 ;1 3),B=(0 2 5):Nal: = = znaleąó
prostej
1 2 3
punktCtaki,ABCbÅšdzie najmniejsze.
e pole trójkĄta
Zadanie 7.8
TrzyS1S2S3 umieszczone sÄ„ w wierzchoªkach trójkÄ„ta
stacje radiolokacyjne , ,
prostokĄtnegol1l2 = 400 km (rysunek). Pomiary
o przyprostokĄtnych = 300 km,
odlegªoÄ…ciRod tych stacjid1d2 =
rakiety daªy nastÅšpujÄ„ce wyniki = 300 km,
400d3 = 400 km. Obliczyó,hleciaªa rakieta.
km, na jakiej wysokoÄ…ci
z
R
r
6
e
e
d2
h e
d1 d3 e
e -
r er
l2 y
r
;S3 r S2
l1
;
r
;1
S
;
;
x
Zadanie 7.9
W wierzchoªkacha= 10 umieszczone sÄ„ punkty materialne o
szeÄ…cianu o krawÅšdzi
masachm1m2m3m4m5m6m7 =7,
odpowiednio: =1, =2, =3, =4, =5, =6,
m8 = 8 (rysunek).
a) OkreÄ…lió poªoenie Ä…rodka masy tego ukªadu
b) Obliczyc moment bezwªadnoÄ…ci podanegoOz
ukªadu mas wzglÅšdem osi
c) Obliczyó moment bezwªadnoÄ…ci podanego ukªadu mas wzglÅšdem osi ªÄ„czÄ„cej
masym3m7
i
z
6
m r rm
5 8
; ;
; rm
m r ;7
6
C a
y
m
1 r r -
m
O 4
; ;
;
m r r
2 ;
m
3
;
x
d) Obliczyó siªÅš przyciÄ„ganiam8 przez ukªad pozostaªych
grawitacyjnego masy
siedmiu mas.
Zadanie 7.10
Nad Wrocªawiem przebiegajÄ„ dwa prostoliniowe korytarze powietrzne dla samolo-
tów. Pierwszy z nich przebiegah1 = 1000 m ze wschodu na
poziomo na wysokoÄ…ci
12
zachód. Natomiast drugi przebiega z poªudniowego-wschodu na póªnocny-zachód
i = 10 Samoloty poruszajĄce siŚ tym korytarzem prze-
wznosi siŚ pod kĄtem
latujĄ nadh2 = 3000 m:Obliczyó najmniejszĄ moliwĄ
Wrocªawiem na wysokoÄ…ci
odlegªoąó miÅšdzy samolotami lecÄ„cymi tymi korytarzami.
Lista 8.
Zadanie 8.1
a) Zaproponowaó opis, w formie macierzy zªoonej z liczb caªkowitych, poªoenia
gur w grze w szachy. W jaki sposób mona by sprawdzió, czy dana macierz
odzwierciedla pozycjŚ moliwĄ do uzyskania w czasie gry?
b) Zaproponowaó zapis, w postaci jednej macierzy, odlegªoÄ…ci drogowych i kolejo-
wych w km miŚdzy stolicami wszystkich województw w Polsce.
Zadanie 8.2
Obliczyó:
2 3 2 3
0 3 0 0
0 4 1 ;1
4 5 4 5
a) 2 ; b) 1 1 +4 0 2
5 ;1 3 ;2
1 0 1 1
2 3
2 ;3 5
1 5 3 cos ; sin ; sin
4 cos cos cos
5
c) ;1 4 ;2 d)
2 ;3 1 sin sin
3 ;1 1
2 3 2 3
1 0 5
6 7 6 7
0 1 4
6 7 6 7
1 3 5
6 7 6 7
e) 1 0 f):
1 2 3 4 5 3
6 7 6 7
2 4 6
4 5 4 5
0 1 2
1 0 1
Zadanie 8.3
UkªadajÄ„c odpowiednie ukªady równa« rozwiÄ„zaó podane równania macierzowe i
ukªad równa« macierzowych:
T
1
1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 2 1 2 2
a)X+X; b)X=
=
0 2 0 0 4 0 0 1 0 1 1 0 1 2
2
1 1 2 7 3 3 1 4 ;1
c)X= d)X=X
0 1 1 4 1 0 1 3 0
1 1 0 0 1 2
e)X2X2X=XT
= f) = g)
0 ;1 0 0 ;2 ;3
13
2 3
8
>
>X+Y= 2 0 0 8
> 1 ;1
4X+Y= 1 0
5
>
0 2 0
> >
> >
< <
0 0 2 ;1 3 0 1
h) 2 3 i)
> >
3 1
> >
>X;Y= 0 0 2 :
:
>
4 5 X+Y= 2 1
>
0 2 0 1 1 1 1
>
:
2 0 0
Zadanie 8.4
Obliczyó kilka poczĄtkowychA nastŚpnie wysunĄó hipotezŚ o po-
potÅšg macierzy
staciAn,n2 N i uzasadnió jĄ za pomocĄ indukcji matematycznej,
macierzy gdzie
jeeli:
1 1 2 ;1
a)A= b)A=
0 1 3 ;2
cos sin chxshx
c)A= 2A= gdziex2 R
, gdzie R d)
; sin cos sh
2 1 2axchx3
3
0 0 1 0
4 5 4 5, gdzie
e)A= 0 1 0A=a1a2 R
f*) 0
1 0 0 0a
0
g*)A=[aij],aiji­j,i j=1 2 ::: k:
gdzie = 0 dla
Zadanie 8.5
KorzystajÄ„c z wªasnoÄ…ci dziaªa« z macierzami oraz wªasnoÄ…ci operacji transpono-
wania macierzy uzasadnió podane tosamoąci:
a)ABC)TCTBTATA B CsĄ macierzami o wymiarach odpowiednio
( = , gdzie
n m,m k,k l
b)A B)2A2AB+B2,AiBsĄ przemiennymi macierzami kwadra-
( = 2 gdzie
towymi tych samych stopni.
Uwaga. Mówimy, e macierze A i B sÄ„ przemienne, gdy speªniajÄ„ warunek AB = BA:
nnnnn
c*)A+I)nAnAn;1An;2:::+A+I
( = + + +
0 1 2n;n
1
gdzieAiIsĄ macierzami kwadratowymi tychIjest
samych stopni, przy czym
macierzĄ jednostkowĄ.
Zadanie 8.6
Obliczyó podane wyznaczniki drugiego i trzeciego stopnia:
1i1i
1 1 1 +
;3 cos
2 sin
a) b) c)i1:
1 2 3 d) ; 0
8 ;5
sin cos
1i0 1
3 6 1 ;
Zadanie 8.7
StosujĄc rozwiniŚcie Laplace'a obliczyó podane wyznaczniki. Wyznaczniki rozwi-
nĄó wzglŚdem wiersza lub kolumny z najwiŚkszĄ liczbĄ zer.
14
3 2 0 0 0 2 7 ;1 3 2
3 ;2 0 5
0 0 1 0 1
;2 1 ;2 2 b) 0 3 2 0 0 c):
0 0 3 2 0 ;2 0 7 0 2
a)
0 ;2 5 0
0 0 0 3 2 ;3 ;2 4 5 3
5 0 3 4
2 0 0 0 3 1 0 0 0 1
Zadanie 8.8
Niechai bi ciiŹ:Uzasadnió równoąó:
2 R, gdzie 1 Ź 3
b1c1c1a1a1b1a1b1c1
+ + +
b2c2c2a2a2b2a2b2c2:
+ + + =2
b3c3c3a3a3b3a3b3c3
+ + +
Lista 9.
Zadanie 9.1
Obliczyó podane wyznaczniki wykorzystujĄc wystŚpujĄce w nich regularnoąci:
1 1 1 3 3 3
1 1 1 1 1
1 2 3 4 0 1 1 3 3 0
1 2 2 2 2
4 3 2 1 0 0 1 3 0 0
a) b) 1 2 3 3 3 c):
5 6 7 8 0 0 3 1 0 0
1 2 3 4 4
8 7 6 5 0 3 3 1 1 0
1 2 3 4 5
3 3 3 1 1 1
Zadanie* 9.2
Obliczyó podanen­ 2 wykorzystujÄ„c wystÅšpujÄ„ce w nich
wyznaczniki stopnia
regularnoÄ…ci:
4:::4:::n1:::1
4 4 1 2 3 1 1
1:::4:::n1:::2n;1
4 4 2 2 3 2 22
. . . .
. 3 3 3 3 32 n;1
. .:::n1:::3
. . .
a) b) c*):
.
. . . .
. . . . . . . .
. .
. . . . . . . . . .
. .
1:::4 4 . . . . . . . .
1
1:::1nnn:::n1nn2:::nn;1
1 4
Zadanie 9.3
StosujĄc operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych wyznaczni-
ków(powodujĄce obnienie ich stopni) obliczyó:
4 2 1 1
1 ;1 0 ;1 4 0
1 ;1 0 2
a) 2 3 5 b) 2 5 ;2 c)
3 0 1 3
;4 0 6 ;3 0 3
2 2 0 3
1 2 ;1 0 3 2 7 ;1 3 2
1 0 1 ;1
2 4 5 1 ;6 0 2 1 3 1
2 1 ;1 2
d) e) ;1 ;2 3 0 ;2:
f) ;2 4 7 2 2
;1 2 1 3
;2 ;2 1 ;1 1 ;3 ;2 4 5 3
3 ;1 4 0
2 4 ;2 0 3 1 2 0 1 1
15
 Zadanie 9.4
KorzystajĄc z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej znaleąó macierze odwrotne
do podanych:
2 3
2 7 3
3 ;
;5 cos sin
4 5
a) b) 2:
, gdzie R c) 3 9 4
6 cos
2 sin
1 5 3
Zadanie 9.5
KorzystajĄc z metody bezwyznacznikowej wyznaczyó macierze odwrotne do po-
danych:
2 3 2 3
2 3
1 0 0 1 1 2 3 4
1 2 2
6 7:
7
4 5 6 0 0 2 1 7 c) 6 2 3 1 2 7
a) 2 1 ;2 b)
4 5 6 5
4
0 1 1 1 1 1 1 ;1
2 ;2 1
2 1 1 2 1 0 ;2 ;6
Zadanie 9.6
RozwiĄzaó podane równania macierzowe:
;1 1 ;2 ;1 3 1 1 3 3 3
a)X = b)X =
3 ;4 3 4 2 1 1 2 2 2
;1
0 3 1 2 1 3 5 6
c)X=X+X:
+4 d) 3 =
5 ;2 3 4 ;2 1 7 8
Zadanie 9.7
Jakie sĄ moliwe wartoąci wyznacznikaAstopnian, jeeli:
macierzy rzeczywistej
a)A2A;1A3A=AT =4A;1 ?
=8 b) ; 0 c)
Zadanie* 9.8
Wyprowadzió wzory na podanen:
wyznaczniki stopnia
abb:::bbaa:::a
bab:::b;aba:::a
;
a)bba:::b a;ab:::a
b)
. . . . . . . .
. .
. . . . . . . . . .
. .
. . . . . . . .
bbb:::a;a;a;a:::b
1nn;:::3 2
1
a1ba2:::an
;
2n:::4 3
1
a1a2b:::an
;
3 2 1
c):::5 4 d)
. . .
.
. . . .
. . . . .
. .
. . .
. . . . . .
.
. . . . .
a1a2:::anb
;
nn;n;:::2 1
1 2
1a2a3:::ana1a2:::an;1an
1a2b2a3:::ana2a2:::an;1an
+
. . . .
1 + .
. . . . .
e)a2a3b3:::an f)
.
.:
. . .
. . . .
.
. . .aa:::aa
. .
.
. . . .
n;1 n;1 n;1 n
1a2a3:::anbnanan:::anan
+
16
 Zadanie 9.9
Dlap2 R podane ukªady równa« sÄ„
jakichwartoÄ…ci parametru
8px+pzukªadami Cramera:
2 4y; = 4
<
(p+1)x;py= 1
2
a) b)x+y+pz= 1
2x+p;y=p
( 1) 3
:p)x+y+pz= 3
(4 + 2 6
8
8px+y+pz=xyzt=px
; ; ;
>
>t=py
3 0
< ; ; ;
c)px+z= 3
; 2
:x+y+pz=p d) > ; ; ;
>xy+zt=pz?
2 :xyz+t=pt
; ; ;
Zadanie 9.10
KorzystajĄc ze wzoru Cramera
8x+znaleąó rozwiÄ„zania8podanych ukªadówrówna«:
2y+z=x+y+z= 14
3 1 2 3
< <
5x;y= 6
2
a)x+y+z=y;z=:
b) 2 3 3 c) 4x3 7
3x+y= 4 :x+y+z=x+
:
3 2y+z= 2
2 ;
Zadanie 9.11
StosujĄc wzór obliczyó niewiadomĄ
8x+yCramerayz podanych ukªadów równa«:
8
3 7 3 3 3
> >
>z+x+y+z+t= 1
>
2z=x+y+z+t= 1
+ 0 3 3 3
a) b)
> 4y1 > 3 3 3
>x+z=x+y+z+t= 1
>
:x+y+ :
5z=x+y+z+t= 1
3 + 2 0 3 3 3
c)x+2y;y+4z;z+6s=7s+8t=x+y+z+s+t;:
4 = 3 6 = 5 2 = 0
Lista 10.
Zadanie 10.1
RozwiÄ„zaó podane ukªady równa«
8stosujĄc metodĄ macierzy odwrotnej:
< x+y+z= 5
2x;y= 3
2 2
a) b)x+y+z= 3
3x+y= 2
:x+y+z= 1
3 2
8
8x+y+z=y+z+t= 4
>
>t=
< 4 ;1
2 3
c)x;y+z= ;5 d):
:x+y5 >
>x+y+t= 2
;z= 2
2 ;
:x+y+z=
;2
Zadanie 10.2
RozwiÄ„zaó podane ukªady równa« metodÄ„ eliminacji Gaussa:
17
8x+y= 1
<
2x+y= 1
3
a) b)x+y;z= ;3
2 3
3x+y= 0 :
2 4y+
8x+y+z=x+z= 1
8
< 3 ;1x+y+z= 1
< 2 3 2
c)x+z=x+z= 2
2 ;6 d) 3 4y2
:y+z=y+
:
3 2 0z= 3
4x+ 2 + 3
8
8x+y+z+t=x2y+s+t= 1
; 3
>
> >
>t=x3y+z+s+t= 3
>
2 ; 8 2
<
2 2 0
e) f) ; 3 ;
> 3 2 3 2 >y+s+t=:
>x+y+z+t=x2y+z+st= 1
>
:x+z+t= 3 > 3 5
>t= 0
6 4y+ 3 2 2
:x2y+s+ 8
; 5 ;1
Zadanie 10.3
StosujÄ„c ÿmetodÅš kolumn jednostkowych" rozwiÄ„zaó podane ukªady Cramera:
8
8x+y2z=5x2y+zt=
> ; ; ;4
>t= 1
< 5 2 ; 2 ; ;
a)x+y+z=1 b)
3 2
2 ;
:x+y+z=5 >
>x+y+zt= 5
2 3 2
:
;
8x+y+z+t=x+yz+t= 4
8
> 2 0 > 2 3 2 ;
> >
>y+z=x+y+zt= 3
>
> >
< 0x+y+z+s+t= 6
< 2 2 3
2 0 d) 3
c)x+y+z+s=x;z+s+t=:
>y+z+s+t=y+t= 3
>
>
> >
>t=x+y+z4s+ 1
>t= 8
:x+z+ 4 >
:s+ 5
0 2 ; 2
Zadanie 10.4
StosujĄc
8xmetodÅš eliminacji Gaussa rozwiÄ„zaó podane ukªady równa«:
8x+2y+z+t=7
; 2
>
>y+z= 4
a) b) 2 ; ;
2 ;
> :x+5y+2z+7t=1
>x3y+5z=10xyz+4t=2
:x6 5
5 ;
8x+2y+8z=19
>
>y+z+t=1 8xy+z2s+t= 0
2z+2t=2
;
c) d) 3 ;
> 3
>x+6y+10z+3t=3x+4yz+s+3t= 1
; ; ;1
:x+y+z+t=0 :x8y+5z9s+t=:
Zadanie 10.5
RozwiÄ„zaó podane ukªady równa« ÿmetodÄ„ kolumn jednostkowych":
18
8x+y+zt=x+y+z2st= 6
8
> 3 ; 0 > 2 3 ; ;
>t=y+z5s+t= 17
>
5y+z+ 2 ;4 4x+ 7 2 ;
;
a) b)
7 8 ; 6 6 5 3 ; ;
> >
>x+y+z7t=x+y+z2s9t= 1
>
: :
; 2 4 2 6 ; ;
8xy+z+t=x+y+z5s10t= 12
8
3 ; 1 ; ; ;5
> >
>x+y2t=x3y+z2s+t=
>
>x+y+zt=x6y4s+t=
> >
5 ; ; ; ;10
> >
>t= 5 > 2
>
;y; 2 ;5z+t= 0
2
c) d)
> 5 ; 0 > ;2 6 2 4s10
>x+y+z3t=x+y+z+:
>
>x3y+z+t=x+y+t=
>
> >
> ;7 ; ;4 > ;2 6 4z4s=
>t=x+y+z+
>
:y2z5 :s+ 10
4x+ ; ; 5 ;2 ; 3 + 2 = 5
Zadanie 10.6
Dla jakichppodane ukªady równa« majÄ„ dokªadnie jedno
wartoÄ…ci parametru
rozwiÄ„zanie, okreÄ…lió rozwiÄ„za« tych ukªadów w pozostaªych przypadkach:
8x+py;zliczby 8
=x+z=p
1 4y; 2 ;
< <
10 6 b) 3 5 3
a)x+y;z=p x+y;pz=:
:x;y+pz=px+py+z=p
:
2 0 3
Zadanie 10.7
Wykonanie pewnego pojemnika wymaga czterech czynnoÄ…ci: narysowania formy,
wyciÅšcia, zªoenia modelu i jego pomalowania. Liczby poszczególnych czynnoÄ…ci w
kolejnych dniach pracy pewnego pracownika podaje tabela:
rysowanie wycinanie skªadanie malowanie
poniedziaªek 30 20 10 5
wtorek 20 15 15 10
Ä…roda 40 25 20 20
czwartek 30 20 20 20
Obliczyó czas wykonywania poszczególnych czynnoąci, jeeli w kolejnych dniach
ªÄ„czny czas pracy wynosiª odpowiednio 2 h 10 min, 2 h 15 min, 3 h 55 min, 3 h
30 min.
Lista 11.
Zadanie 11.1
Wykonaó podane dziaªania:
;1 + p ;p
a)i)i) b)i
(1 ; 3 + (4 ; 5 2i; 3 ; 6
;p p ;p p
2i
+3
c)i i d)
7 ; 3 7 + 3
1i
+
z2z;wRez+iImw
e)z w, , ,z=5i,w=3 + 4i:
dla ; 2
wz+wz+w
Zadanie 11.2
Znaleąóx yspeªniajÄ„ce podane równania:
liczby rzeczywiste
19
a)x(2i)y(5i)i yi)x;i)i
+3 + ; 2 = ;8 + 7 b) (2 + ( 3 =7 ;
1yi x+yi9i
+ ; 2
c)i; 1 d) = .
=3
x;i x;yi9i
2 + 2
Zadanie 11.3
W zbiorze liczb zespolonych rozwiĄzaó podane równania:
1i2i
+ ; 3
a)z2 =4z b)z2 ; 4z+13 = 0
= c)
zz
d)z+2)2z+2)2 z+z=6i z3iz2z+8i=0
( =( e) 2 ; 5 f*) ; 6 ; 12
2i1i
+ ;
g)i)z+3(z;i) =:
(1 + 0 h) =
z;z+i
1 + 4i2
Zadanie 11.4
Zbadaó, dla jakicha b2z;iImz=a+bima
wartoąci parametrów R równanie
rozwiĄzanie.
Zadanie 11.5
Na pªaszczyÄ…nie zespolonejzspeªniajÄ„cych podane wa-
narysowaó zbiory liczb
runki:
a)iz+2)z2<0 z;i=z; 1
Re ( ­ 0 b) Im c)
4 1iz
+
d)z zz+(5i)z+(5i)z+1:
= e) + ; = 0 f) Im =1
z 1iz
;
Zadanie 11.6
z+4z
Niechu=v=z2:Naszkicowaó zbiór wszystkich liczb
, , gdzie C
z;iiz+4
2
zespolonychz dla których:
a)ujestujest czysto urojona
liczba rzeczywista b) liczba
c)vjestvjest czysto urojona.
liczba rzeczywista d) liczba
Zadanie 11.7
Punktyz1z2,z3 pªaszczyzny zespolonej sÄ„ wierzchoªkami trójkÄ„ta. Wyznaczyó
,
poªoenie punktu przeciÅšcia Ä…rodkowych tego trójkÄ„ta.
Wskazówka. Wykorzystaó fakt, e ąrodkowe trójkĄta przecinajĄ siŚ w jednym punkcie i
dzielÄ„ siÅš w stosunku 2 : 1 liczÄ„c od wierzchoªka.
Zadanie* 11.8
Uzasadnió, e pole trójkÄ„ta, którego jeden wierzchoªek jest w poczÄ„tku ukªadu, a
1
pozostaªez1z2 2 C,z1z2)j:
dwa sĄ w punktach , wyraa siŚ wzorem j Im (
2
Zadanie 11.9
Obliczyó moduªy podanych liczb zespolonych:
p p p
1i
+3
4 4
a)i i i itg , 2 e) .
; 3 b) 6 ; 8 c) 2 + 3 d) 1 + ;
2 2 3 ; 4i
20
 Zadanie 11.10
Podaó interpretacjÅš geometrycznÄ„ moduªu rónicy liczb zespolonych. KorzystajÄ„c
z tej interpretacji narysowaózspeªniajÄ„cych podane wa-
zbiory liczb zespolonych
runki:
z;i
2
a)z; 3 + 4ij =1 b)iz;<3
j =1 c) 2 Ź j 5j
z+1
z+i
d)z+1ijz;<4 jz+2ij>0
j ; 2 ­ 3 oraz j 3j e) ­ 1 f) sin ( )
z2 +1
g*)z+ijz2<5jz;ij:
3j Ź +1
Zadanie 11.11
KorzystajÄ„c z interpretacji geometrycznej moduªu liczby zespolonej obliczyó, dla
jakichzspeªniajÄ„cychzji;zj
liczb zespolonych warunek j Ź 1 wyraenie j 2 3 ;
jest najmniejsze, najwiÅšksze.
Lista 12
Zadania
Zadanie 12.1
Podane liczby zespolone zapisaó w postaci trygonometrycznej:
p p
a)i i c) ;5 +5 3i
7 +7 b) 3 ;
d) +icos +isin itg :
sin e) ; cos f) 1 +
Uwaga. W speªnia< <.
ówiczeniach d), e), f) kĄt nierównoąci 0
2
Zadanie 12.2
NarysowaózspeªniajÄ„cych podane warunki:
zbiory liczb zespolonych
5
a)z=arg b) ( c) arg (
6 3
; 4
3
d)z6 z)z;i):
arg = e) Ź arg (; Ź f*) arg ( 1 ; 2 =
3 2 2
Zadanie 12.3
Obliczyó wartoÄ…ci podanych wyrae« (wynik podaó w postaci algebraicznej):
;1 p ;2p
8 30
a)i)12 i i
(1 ; b) + 3 c) 3 ; 2
22
10 24
(1 +
d)isin e)icos:
cos ; f) sin +
;1i) 6 6
4ip3 6
4
;
Zadanie 12.4
KorzystajĄc ze wzoru de Moivre'a wyrazió:
a)xprzezx b)xix
sin 3 funkcjÅš sin cos 4xprzez funkcje sin cos
c*)xprzezx xprzezx:
tg 6 funkcjÅš tg d*) ctg 5 funkcjÅš ctg
21
 Zadanie 12.5
NarysowaózspeªniajÄ„cych podane warunki:
zbiory liczb zespolonych
hi)z
i
; ; ;
(1 +
a)z3<0 z4z2z)2:
Im b) Re ­ 0 c) Im ­ Re ( d) Im ­ 0
(1i)z
;
Zadanie* 12.6
WykorzystujĄc wzór na sumŚ wyrazów zespolonego ciĄgu geometrycznego obliczyó:
a)x+x+:::+nx x+cosx+:::+cosnx
sin sin 2 sin b) cos 2
1
c)x+cosx+:::+cosnx x+x+:::+sin(2n;x
+ cos 2 d) sin sin 3 1)
2
e)i)i)2:::+(1i)n
1 +(1 ; + (1 ; + ;
nnnnn
f):::+(;1)nm=E,n2 N:
; + ; , gdzie
0 2m2
4 2
Zadanie 12.7
StosujÄ„c postaó wykªadniczÄ„ liczby zespolonej rozwiÄ„zaó podane równania:
4
a)z7z z4)z2z2z)2z2 =
= b) ( = c) (
z2
3
d)zjiz3 z6z)6 z8z4:
j = e) =( f) =
Zadanie 12.8
StosujĄc wzory Eulera wyrazió podane funkcje w postaci sum sinusów i cosinusów
wielokrotnoÄ…cix:
kĄta
a)x x x x+cos4x:
sin3 b) cos2 c) sin5 d) sin4
Lista 13
Zadania
Zadanie 13.1
KorzystajĄc z de nicji obliczyó podane pierwiastki:
p p p p
3 4
a)i i i :
5 ; 12 b) ;11 + 60 c) d) 16
Zadanie 13.2
Obliczyó i narysowaó na pªaszczyÄ…nie zespolonej podane pierwiastki:
p
p p p p
3 4 6
a)i i c) ;4 d) ;64
;1 + 3 b) ;27
p p p p
5 3 4 3
e)i i i i:
32 f) ;1 + g*) h*) 2 +2
Zadanie 13.3
OdgadujÄ„c jeden z elementów podanych pierwiastków obliczyó ich pozostaªe ele-
menty:
p(5 ; 4i)4 b) p(;2 + 3 c) p(2 ; d) p(2 ; 2
4 3 3
a)i)4 i)6 i)9.
22
 Zadanie 13.4
Jednym z wierzchoªkówz1i. Wyznaczyó pozostaªe
kwadratu jest punkt = 4 ;
wierzchoªki tego kwadratu, jeeli jego Ä…rodkiem jest:
a) poczÄ„tek ukªaduu=1
wspóªrzÅšdnych b) punkt
p
c)u=3i d)u=7i:
punkt + punkt + 2
Zadanie 13.5
Znaleąó rozwiÄ„zania podanych równa«:
a)z4i)4 z;i;z)6 z3iz+1)3:
=(1 ; b) ( 1)6 =( c) =(
Zadanie 13.6
Punktyz1i,z3isÄ„ przeciwlegªymi wierzchoªkami kwadratu.
= 1 ; 3 = ;1 + 5
Wyznaczyó poªoenia pozostaªych wierzchoªków tego kwadratu.
Zadanie 13.7
Obliczyó iloczyny podanych par wielomianów rzeczywistych lub zespolonych:
a)P(x)x4x3x; Q(x)x2x+4
= ; 3 + 1 = ;
b)W(z)z3z2iz+3 V(z)i)z;:
= +5 ; =(1 + 2
Zadanie 13.8
Obliczyó ilorazy oraz resztyPprzezQ, jeeli:
z dziele« wielomianów wielomiany
a)P(x)x4x3x+6 Q(x)x2x+1
= 2 ; 3 +4x2 ; 5 = ; 3
b)P(x)x16 Q(x)x4 +2
= ; 16 =
c)P(z)z5z3 Q(z)z;i)3:
= ; +1 = (
Zadanie 13.9
Znaleąó wszystkie pierwiastki caªkowite podanych wielomianów:
a)x3x2 ;x3x2 +4x; 4
+ 4x; 4 b) 3 ; 7
c)x5x4x+6 x4x3x2x+99:
; 2 ; 4x3 +4x2 ; 5 d) +3 ; +17
Zadanie 13.10
Znaleąó wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów:
7 3 1
a)x3x2x;x2x; 1
; ; b) 4x4 +4x3 +3 ;
6 2 3
4 1 1
c)x;x5x3x2x;:
4x3 + 1 d) + ; +
3 3 3
Lista 14.
Zadanie 14.1
Znaleąó pierwiastki podanych równa« kwadratowych i dwukwadratowych:
a)z2z2i)z+(5i) =0
; 4z+13 = 0 b) ; (3 ; 2 ; 5
c)z4z2z4iz2 +4 = 0.
+8 +15 = 0 d) ; 3
23
 Zadanie 14.2
ZnajĄc niektóre pierwiastki podanych wielomianów rzeczywistych, znaleąó ich po-
zostaªe pierwiastki:
p p p
a)W(x)x3x2x;i
= ; 3 2 +7 3 2 x1 = 2 +
b)W(x)x4x3x2x; x1i
= ; 2 +7 +6 30 =1 ; 3
c)W(x)x4x3x2x+25 x1i
= ; 6 +18 ; 30 =2 +
p
d)W(x)x6x5x4x3x2i x2 = ; 2i
= ; 2 +5 ; 6 +8 ; 4x+4 x1 =
p
e)W(x)x6x5x4x3x2x+14 x1i x2 =2 ; 3i:
= ; 6 +18 ; 28 +31 ; 22 =1 ;
Zadanie 14.3
Nie wykonujÄ„c dziele« znaleąó resztyPprzez wielomiany
z dziele« wielomianów
Q, jeeli:
a)P(x)x8x3x Q(x)x2x; 2
= ; 3 +5 = ;
p
b)P(x)x14x2x Q(x)x2 +2
= ; 4x10 + + 2 =
c)P(x)x30x14 Q(x)x3 +1
= +3 +2 =
d)P(x)x100x51x2 Q(x)x2 ; 1
= +2 ; 3 +1 =
e)P(x)x5x; Q(x)x2x+5
= + 2 = ; 2
f)P(x)x6x; Q(x)x3 +8.
= + 50 =
Zadanie* 14.4
Liczbyz z2 z3 sÄ„ pierwiastkami wielomianu stopnia 3 o wspóªczynni-
zespolone
kach rzeczywistych. Wyznaczyó wszystkiez:
moliwe wartoÄ…ci liczby
Zadanie 14.5
Podaó przykªady wielomianów zespolonych najniszego stopnia, które speªniajÄ„
podane warunki:
a) 1isĄ pierwiastkami ;3+isĄ pierwiast-
liczby 0 ; 5 pojedynczymi, a liczby ;1
kami podwójnymi tego wielomianu
b) liczba ;4ijest pierwiastkiem ;5 pierwiastkami potrój-
podwójnym, a liczby 3
nymi tego wielomianu.
Zadanie 14.6
Podaó przykªady wielomianów rzeczywistych najniszego stopnia, które speªniajÄ„
podane warunki:
p
a) ;5 ;isĄ pierwiastkami pojedynczymi tego wielomianu
liczby 1 2 oraz 1 ; 3
b)ijest pierwiastkiemioraz 3 sĄ pierwiastkami
liczba 1 + pojedynczym, liczby ;
podwójnymi,ijest pierwiastkiem potrójnym tego wielomianu.
a liczba ;4 + 3
Zadanie 14.7
Podane wielomiany zespolone przedstawió w postaci iloczynu dwumianów:
a)z2iz;z4z2z3z; 9.
; 2 10 b) +5 +6 c) ; 6
24
 Zadanie 14.8
Podane funkcje wymierne (rzeczywiste lub zespolone) rozªoyó na sumy wielomia-
nów oraz funkcji wymiernych wªaÄ…ciwych:
z5z2zx5x4x3x2 +4x+5
; 3 + +3 +2 +3
a) b) c):
z3x5x3x2x+4
+4z2 +1 +4 +2 +3
Zadanie 14.9
Zaproponowaó rozkªady podanych zespolonych funkcji wymiernych wªaÄ…ciwych na
zespolone uªamki proste (nie obliczaó nieznanych wspóªczynników):
z3iz2z+5iz+7
+ +
a) b) c):
z2z;i)3z+1)(z+i)2z;i)]3z4 ; 4)2
( 2 ( [ (1 + (
Zadanie 14.10
Zaproponowaó rozkªady podanych rzeczywistych funkcji wymiernych wªaÄ…ciwych
na rzeczywiste uªamki proste (nie obliczaó nieznanych wspóªczynników):
x2x;x3x;x4x3
+2 7 ; 8 4 +
a) b) c):
x3(x;x+5)2 (x+3)2x2 4x+5)2
1)(x2x2x+3)3 ( ( ;
+4) ( +
Zadanie 14.11
Podane zespolone funkcje wymierne wªaÄ…ciwe rozªoyó na zespolone uªamki proste:
z2z16iz2z
+2
a) b) c):
d)
(z;z+2)(z+3)z2z4 +4
1)(
(z2z+2)2
; 1)2 ( +2
Zadanie 14.12
Podane rzeczywiste funkcje wymierne wªaÄ…ciwe rozªoyó na rzeczywiste uªamki
proste:
12x2
a) b)
(x;x;x;x;x4 ; 1
1)( 2)( 3)( 4)
4xx2x
+2
c) d):
(x+1)x2x2x+2)2
( +1)2 ( +2
25