Wprowadzenie do fizyki
Mirosław Kozłowski
Mirosław Kozłowski
rok akad. 2002/2003
Część 1a
Dynamika punktu
materialnego w jednym
materialnego w jednym
wymiarze
Dynamika punktu
materialnego w R1 cz. a
Slajd podsumowania
Koniec
pokazu
1.1 Prędkość i przyśpieszenie w R1
1.2 Pochodna funkcji f(t)
1.3 Obliczanie pochodnych funkcji f(t)
1.3 Obliczanie pochodnych funkcji f(t)
1.4 Antypochodna = całka nieoznaczona
1.5 Pochodna funkcji zło\
onej
1.6 Zasada zachowania energii
1.7 Zasada zachowania pędu
Ruchy w R1 3
Linki do stron WWW
Hyper Physics
Astronomy Picture of the Day
Space Photos and Images
4
Czas
Chronos  czas obiektywny,
niezale\
ny od nas, znany ze swej
równomierności. Czas mierzony
przez zegarki, czas eksperymentu
przez zegarki, czas eksperymentu
fizycznego.
Ruchy w R1 5
Od 13 paz
dziernika 1967 roku, jego wzorzec,
sekunda jest zdefiniowana następująco:
Jedna sekunda to trwanie
9 192 631 770 okresów fali
elektromagnetycznej emitowanej lub
absorbowanej przez atom cezu o
absorbowanej przez atom cezu o
liczbie masowej 133.
Tempus  czas odczuwany subiektywnie,
czas psychologiczny, ten, którego pomiar
odbywa się w naszym mózgu.
Ruchy w R1 6
1 attosekunda
Ultrakrótkie impulsy laserowe  kilka attosekund
1 femtosekunda (procesy biologiczne, chemia)
Czas oddziaływania światła z siatkówką oka
człowieka ~200 fs.
1 pikosekunda
Najszybsze tranzystory pracujÄ… w zakresie
Najszybsze tranzystory pracujÄ… w zakresie
pikosekund.
1 nanosekunda
Mikroprocesor wewnątrz współczesnego
komputera w ciÄ…gu kilku nanosekund wykonuje
podstawowe operacje np. dodawania dwóch liczb.
Ruchy w R1 7
1 sekunda
Czas trwania jednego uderzenia serca człowieka,
oraz 1 sekunda = czas trwania 9 192 631 770
okresów promieniowania elektromagnetycznego
emitowanego przez atom cezu.
1 minuta
Światło przebiega odległość Słońce  Ziemia
Światło przebiega odległość Słońce  Ziemia
w ciÄ…gu 8. minut.
1 godzina
Światło z Plutona (ostatniej planety w naszym
układzie słonecznym) dociera do Ziemi w ciągu
5 godzin 20 minut.
Ruchy w R1 8
1 dzień
1 obrót Ziemi trwa: 23 h 56 41 .
Ziemia zwalnia ze względu na grawitacyjne
oddziaływanie Księ\
yca.
1 rok
Ziemia wykonuje 1 okres obiegu wokół Słońca
i obraca się wokół osi 365,25 razy.
~1010 lat
Wiek naszego Wszechświata
Ruchy w R1 9
1.1 Prędkość i przyśpieszenie w R1
Rozwa\
my funkcjÄ™
s(t)= f (t)= d + bt + ht + pt ,
s(t)= f (t)= d + bt + ht2 + pt3,
gdzie t jest czasem mierzonym przez
zegarki. Jest to czas eksperymentu
fizycznego (chronos).
Jak zmieni się funkcja f(t) po upływie
czasu " t?
Ruchy w R1 10
s(t + "t)= f (t + "t)=
2 3
= d + b(t + "t)+ h(t + "t) + p(t + "t) .
A zatem:
"s s(t + "t)- s(t)
= =
= =
"t "t
"t "t
2
d - d + b(t + "t - t) h(t2 + 2t"t + ("t) - t2)+
= +
"t "t
2 3
p(t3 + 3t2"t + 3t("t) + ("t) - t3).
+
"t
Ruchy w R1 11
Definiujemy nowe pojęcie 
prędkość średnia vśr:
( )- s t
s t + "t ( )
vśr = =
"t
"t
( )
= b + h(2t + "t)+
2
( .
+ p 3t2 + 3t"t + ("t) )
Ruchy w R1 12
s(t + "t)- s(t).
vśr =
"t
Gdy " t0
vśr = b + 2th+3t2 p.
śr
W granicy " t0, vśrv, gdzie v
oznacza prędkość.
v = b + 2th+3t2 p.
Ruchy w R1 13
Definiujemy nowe pojęcie 
przyśpieszenie średnie aśr:
aśr =
v(t + "t)- v(t)
= =
"t
2
2
b + 2(t + "t)h + 3 p(t + "t) b + 2ht + 3t p
b + 2(t + "t)h + 3 p(t + "t) b + 2ht + 3t p
= - =
= - =
"t "t
2
2 2
b - b + 2h(t + "t - t)+ 3 p(t + 2t"t + ("t) - t ),
=
"t
aśr = 2h + 3 p(2t + "t).
Ruchy w R1 14
"t 0, aśr a,
W granicy
gdzie a z definicji jest przyśpieszeniem:
a = 2 h + 6 pt .
Ruchy w R1 15
a. Ruch ze stałym przyśpieszeniem
Rozwa\
my ruchy odbywajÄ…ce siÄ™ ze
stałym przyśpieszeniem a = stałe a" g,
a = g = 2 h + 6 pt ,
a więc p musi równać się zero, p = 0, stąd
a więc p musi równać się zero, p = 0, stąd
a = g = 2 h ,
v = b + 2 ht ,
v = b + gt .
Ruchy w R1 16
Wybieramy chwilÄ™ poczÄ…tkowÄ… ruchu t = 0,
v(t = 0) = b = v0 ,
StÄ…d:
v = v0 + gt,
v = v0 + gt,
2
gt
s = d + v0t + ,
2
g = stałe.
Ruchy w R1 17
W chwili t = 0
s(t = 0)= s0 = d.
g = stałe,
v = v0 + gt,
(1)
gt2
s = s0 + v0t + .
2
Ruchy w R1 18
Zastosowanie wzoru (1)
1. Spadek w polu grawitacyjnym:
Ziemi gZ=9.81 m s-2,
Marsa gM=3.7 m s-2.
2. Ruch w stałym polu elektrycznym o natę\
eniu E:
gEl=qE/m,
q = ładunek ciała,
m = masa ciała.
Ruchy w R1 19
Panorama Marsa. W prawym dolnym rogu widoczna jest część
lÄ…downika (Mars Lander 2).
http://pds.jpl.nasa.gov/planets/
http://pds.jpl.nasa.gov/planets/
Czy podkarpackie pole nie jest podobne do powierzchni Marsa?
fot. M. Kozłowski
21
Albo bałtycka pla\
a?
Fot. R. Gauer, Wyd. Kamera
22
http://pds.jpl.nasa.gov/planets/
http://pds.jpl.nasa.gov/planets/
W centralnej części Marsa widoczna jest  rana o
ci Marsa widoczna jest  rana o
całkowitej długości około 5000 km i gł
ci około 5000 km i głębokości 7 km.
23
1.2 Pochodna funkcji f(t)
s = f (t),
"f (t) "s f (t + "t)- f (t),
= =
"t "t "t
"t "t "t
W granicy "t 0
ds (t) df (t)
= a" pochodna
dt dt
funkcji f (t).
Ruchy w R1 24
s(t) = trajektoria ruchu ciała o masie m.
Definicja prędkości:
ds (t ).
v(t ) =
dt
Ogólnie
r
r d s (t ).
v (t ) =
dt
dt
Definicja przyśpieszenia:
r
r dv (t). (2)
a(t) =
dt
Ruchy w R1 25
1.3 Obliczanie pochodnych
funkcji f(t)
Wykazaliśmy ju\
, \
e:
v = v + gt ,
v = vo + gt ,
(3)
a = g .
Ruchy w R1 26
Teraz, znajÄ…c definicjÄ™ pochodnej
sprawdzimy wzór (3).
dv v(t + "t )- v(t )
a = = lim0 =
"t
dt "t
v0 + g (t + "t )- (v0 + gt )
= lim0 =
"t
"t 0
"t
"t
g"t
= lim0 = g .
"t
"t
Wszystko w porzÄ…dku!
Ruchy w R1 27
Niech teraz f(t) ma następującą postać:
f (t)= sint,
df (t) sin(t + "t)-sint
= lim =
"t0
dt "t
sint cos"t + cost sin"t -sint
= lim .
= lim .
"t0
"t0
"t
"t
d sin t sin t + (cost)"t - sin t
= lim = cost,
"t0
dt "t
d sin t
a więc = cost.
dt
Ruchy w R1 28
1.4 Antypochodna = całka
nieoznaczona
df (t )
= g (t ),
dt
g (t) a" pochodna funkcji f(t)
g (t) a" pochodna funkcji f(t)
względem zmiennej niezale\
nej t
F (t ) = g (t )dt
a" całka
+"
nieoznaczona
funkcji g(t).
Ruchy w R1 29
Tabela 1
Po\
yteczne wzory
(do sprawdzenia)
Funkcja Pochodna
sin t cos t
cos t -sin t
tn n t n-1
Stała, niezale\
na od t
0
f(t) = b
Ruchy w R1 30
Tabela 2
Całki
Funkcja g(t) Całka f (t)
f (t ) = adt = at
+"
a = stała
a = stała
df (t )
df (t )
bo = a = g
dt
f (t ) = sin t = - cos t
+"
d cos t
bo - = -(- sin t ) =
sin t
dt
= sin t = g (t )
Ruchy w R1 31
1.5 Pochodna funkcji zło\
onej
Niech f(t) ma postać:
2
f (t ) = sin (t )= sin [g (t )],
2
( )
g (t ) = t .
Ruchy w R1 32
df (t)
=
dt
2
sin[(t + "t) ]- sin(t2)=
= lim
"t0
"t
2
sin[t2 + 2t"t + ("t) ]- sin(t2)=
= lim
"t0
"t0
"t
"t
sin(t2)cos(2t"t)+ cos(t2)sin(2t"t)- sin(t2)=
= lim
"t0
"t
cos(t2)sin(2t"t)
= lim = 2t cos(t2).
"t0
"t
Ruchy w R1 33
2
f (t ) = sin [g (t )]= sin (t ),
df (t ) df [g (t )]
2
= = cos (t )Å" 2t.
dt dt
Wa\
ny wzór (do zapamiętania!)
Wa\
ny wzór (do zapamiętania!)
df [g(t)] df dg(t). (4)
=
dt dg dt
Ruchy w R1 34
Tabela 3
Sprawdzamy nasze umiejętności
funkcja pochodna
sin (t2) 2t cos(t2)
sin (t2) 2t cos(t2)
cos(t2) -2t sin(t2)
sin at a cos at
Ruchy w R1 35
1.6 Zasada zachowania energii
Fizycy szukajÄ… wa\
nych zasad, których
przestrzeganie ułatwia zrozumienie otaczającego
świata.
Dla przypomnienia:
df (x )
df (x )
( )
= g (x ),
dx
f (x ) = g (x )dx .
+"
Funkcja pierwotna
Ruchy w R1 36
Druga zasada dynamiki (R1)
( ) ( )
F x = ma x ,
Korzystamy ze wzoru (4).
dv (x ) dv dx
a (x ) = = =
a (x ) = = =
dt dx dt
dt dx dt
2
dv 1 dv (x ),
= v =
dx 2 dx
2
dv (x ) dv (x ),
= 2 v
dx dx
Ruchy w R1 37
1 d
F(x)= m [ ,
v2(x)]
2 dx
m = stałe,
2
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
d mv (x)÷Å‚dx.
d mv (x)÷Å‚dx.
ìÅ‚
ìÅ‚
F(x)dx =
F(x)dx =
ìÅ‚ ÷Å‚
dx 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Praca elementarna na
drodze dx
Ruchy w R1 38
2
ëÅ‚ öÅ‚
d mv (x)÷Å‚dx .
ìÅ‚
F (x)dx =
+" +"
ìÅ‚ ÷Å‚
dx 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Suma prac elementarnych
F(x)
F(x)
a b
x
Ruchy w R1 39
Obliczamy sumę (całkę) prac elementarnych.
Niech F(x) = c = stała.
F(x)
c
c
c
a b-a b x
b
b
a
+"cdx = c[x] = c(b - a)=
a
= pole prostokÄ…ta o bokach c i b-a.
Ruchy w R1 40
A teraz niech F(x) = x.
F(x)
F(b)=b
F(a)=a
b
a
a
a b
x
b
b
îÅ‚ Å‚Å‚
x2 b2 a2
xdx = = - =
ïÅ‚ śł
+"
2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚a
a
1
= (b - a)(b + a)= pole trapezu.
2
Ruchy w R1 41
Wniosek
b
b
F(x)dx = [G(x)] = pole  pod krzywÄ… F(x).
a
+"
a
F(x)
F(x)
F(x)
b
[G (x )]
a
b
a x
Ruchy w R1 42
A więc
b b
2
ëÅ‚ öÅ‚
d mv (x )÷Å‚ dx ,
ìÅ‚
F (x )dx =
+" +"
ìÅ‚ ÷Å‚
dx 2
íÅ‚ Å‚Å‚
a a
b
2 2
mv (b) mv (a ).
mv (b) mv (a ).
F (x)dx = -
F (x)dx = -
+"
+"
2 2
a
Jest to prawo zachowania energii w R1.
Ruchy w R1 43
Siły potencjalne
Przypuśćmy, \
e istnieje taka funkcja
V(x), \
e spełniony jest wzór:
( )
( ).
dV x
dV x
F (x) = -
dx
Ruchy w R1 44
Mamy więc:
b
dV (x )
- dx = T (b )- T (a ),
kin kin
+"
dx
a
- [V (b )- V (a )]= T (b )- T (a ),
kin kin
czyli
T (b )+ V (b ) = T (a )+ V (a ).
kin kin
Ruchy w R1 45
F(x)
x
a b
a b
Praca siły potencjalnej na odcinku
drogi (a, b) równa się zmianie
energii kinetycznej na tym odcinku.
Ruchy w R1 46
V (x)+ Tkin (x) = E ,
gdzie E = suma energii potencjalnej
i kinetycznej jest stała.
Ruchy w R1 47
1.7 Zasada zachowania pędu
r r
d r r
(m1v1 + m2v2)= F424
+ F21 = 0,
12
1 3
dt
III Zasada dynamiki
r r
r r
m v + m v = stała.
m1v1 + m2v2 = stała.
A więc:
Suma pędów jest wielkością stałą (niezale\
nÄ…
od czasu), gdy działają tylko siły wewnętrzne.
Ruchy w R1 48
To jest ostatni slajd pierwszej części rozdziału  Ruch
punktu materialnego w przestrzeni jednowymiarowej .
Mo\
esz:
" przejść do  Spisu treści i wybrać kolejny rozdział,
" wrócić do materiału tego rozdziału,
" zakończyć pokaz.
Spis treści
Spis treści
Koniec
pokazu
49