DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO W JEDNYM WYMIARZE

Wprowadzenie do fizyki
Mirosław Kozłowski
Mirosław Kozłowski
rok akad. 2002/2003
Część 1b
Dynamika punktu
materialnego w jednym
materialnego w jednym
wymiarze
Dynamika punktu materialnego
Koniec
w R1 cz. b
pokazu
Slajd podsumowania
1.8 Ruchy harmoniczne
1.9 Podsumowanie. Dynamika punktu
materialnego w jednym wymiarze
3
Linki do stron WWW
Hyper Physics
Astronomy Picture of the Day
Space Photos and Images
1.8 Ruchy harmoniczne
Piękna muzyka stanowi jedno
z najgłębszych doznań estetycznych
człowieka. Począwszy od Pitagorasa ludzie
starają się zrozumieć na czym polega
piękno słuchanych utworów.
piękno słuchanych utworów.
Na razie wystarczy, je\eli powiemy, \e
powstanie doznań muzycznych jest
zło\onym procesem psychofizycznym,
którego główna część przebiega w naszym
mózgu.
Ruchy w R1 5
Zajmiemy się teraz elementarnym
procesem drgań harmonicznych zródeł
dzwięku.
Szarpnięta struna drga zgodnie z
prawem Hooke a:
F = -kx,
F = -kx,
gdzie F jest siłą przyło\oną do struny,
a x wychyleniem struny z poło\enia
równowagi.
Ruchy w R1 6
Zgodnie z II zasadą dynamiki
2
d x
F = m = - kx ,
2
dt
k = moduł sprę\ystości; stały,
czyli
czyli
2
2
d x
d x
2
+ � x = 0,
2
dt
gdzie
k
2
� = .
m
Ruchy w R1 7
Wzór w ramce jest podstawowym wzorem
opisującym drgania harmoniczne.
Dlaczego drgania? Bo jak łatwo sprawdzić:
x(t ) = A sin � t
lub ogólnej
x(t) = A sin � t + B cos �t .
Ruchy w R1 8
A więc podsumowując, mamy:
2
d x
2
+ � x = 0,
2
dt
x = Asin � t + B cos � t.
x = Asin � t + B cos � t.
Wzór w ramce opisuje ruch szarpniętej struny
lub ogólniej ruch oscylatora harmonicznego
(który drga ze stałą częstością �).
Ruchy w R1 9
Je\eli struna jest stale szarpana z siłą F(t)
oraz drga w ośrodku (w powietrzu), które
stawia opór cdx/dt (c = stała) to równanie
drgań struny ma bardziej skomplikowaną
postać:
2
2
d x dx
d x dx
( )
m + kx + c = F (t ).
2
dt dt
Prawo
Opór Siła
Prawo
Newtona
ośrodka zewnętrzna
Hooke a
Ruchy w R1 10
Aby elegancko rozwiązać to równanie, tzn.
znalezć x(t) musimy poznać funkcję
eksponencjalną et oraz liczby zespolone.
Dodatek matematyczny
Dodatek matematyczny
Ile wynosi pochodna funkcji at, gdzie a jest
dowolną stałą?
Ruchy w R1 11
Pochodna funkcji eksponencjalnej
Rozwa\my funkcję:
t
y (t ) = a ,
ln y (t ) = t ln a ,
ln y (t ) = t ln a ,
d [ln y (t )] d ln y (t ) dy 1 dy
= = .
dt dy dt y dt
Ruchy w R1 12
Z drugiej strony
d ln [y (t )] d
= [t ln a ]= ln a .
dt dt
A więc
1 dy
1 dy
= ln a ,
y dt
dy
t
= y ln a = a ln a .
dt
Ruchy w R1 13
czyli
d
[ ]
at = at ln a.
dt
Funkcję eksponencjalną definiują podstawy
Funkcję eksponencjalną definiują podstawy
logarytmu naturalnego. Szukamy a, dla
którego
ln a = 1 e1 = a,
e = a.
Ruchy w R1 14
Dla funkcji eksponencjalnej
d
t t t
[ ]
e = e ln e = e
dt
oraz
oraz
n
d
[ ]
et = et
n
dt
dla dowolnego naturalnego n.
Co za wspaniała funkcja!
Ruchy w R1 15
Sherman K. Stein, Calculus and Analitic Geometry, McGraw-Hill 1987
Ruchy w R1 16
Rozwa\my ponownie równanie ruchu
oscylatora harmonicznego swobodnego,
dla dowolnej funkcji y(t):
2
d y (t )
2
+ � y (t ) = 0 .
(5)
2
dt
dt
Z następującymi warunkami początkowymi:
dy
= 0, y(t) = 2,
t=0
dt
t=0
Ruchy w R1 17
y = A sin �t + B cos �t,
y(0) = B = 2,
dy(t)
= A� cos � t - B� sin � t,
dt
dy(t)
dy(t)
= A� cos � t - 2� sin � t,
= A� cos � t - 2� sin � t,
dt
t = 0 A� = 0 A = 0.
( )
y t = 2 cos�t.
Ruchy w R1 18
Z drugiej strony rozwiązanie równania (5) mo\emy
n
d y(t)
= y(t)
przedstawić tak (pamiętamy ):
n
dt
Stąd:
2 2
ą + � = 0, ą = ąi� ,
ą + � = 0, ą = ąi� ,
gdzie = jednostka urojona
i = - 1
i ogólne rozwiązanie równania (5) ma postać:
y(t)= ei�t + e-i�t.
Ruchy w R1 19
Bo, sprawdzając otrzymujemy:
y(0)= 2,
dy(t)
= i�ei� t - i� e-i� t ,
dt
dt
( )
dy(t)
= 0.
dt
t =0
A więc zgodnie z warunkiem początkowym.
Ruchy w R1 20
Stąd wniosek:
(Leonard Euler w liście do Johna
Bernoulliego, October 18, 1740, Bazylea)
- i� t
2 cos � t = e + e ,
2 cos � t = ei� t + e ,
ei� t + e-i� t
cos � t = .
2
Ruchy w R1 21
Korzystając z równości
2
sin � t = 1 - cos � t
otrzymujemy:
- i� t
ei� t - e
sin � t = ,
2i
2i
- i� t
ei� t + e
cos � t =
2
(wa\ny i bardzo przydatny wzór),
Ruchy w R1 22
oraz
cos�t +isin�t =
ei�t +e-i�t +ei�t -e-i�t
= ei�t.
2
2
eąi� t = cos� t ą i sin� t.
Ruchy w R1 23
Strona z zeszytu nastoletniego R. Feynmana,
z ksią\ki J. Gleicka, Genius, wyd. Abacus, London, 1992
Teraz wracamy do ogólnego równania struny:
&& &
mx + kx + cx = F0ei(� t+� ).
Rozwiązania szukamy w postaci:
i (� t + � )
x = Ae ,
A nie zale\y od czasu.
Ruchy w R1 25
2
- mA� ei(� t+� ) + kAei(� t+� ) +
+ Aci� ei(� t+� ) = F0ei(� t+� ),
F0
2
- m� + k + ci� = ei(� t+�Ś).
A
Oznaczenie � - � = Ś .
Oznaczenie � - � = Ś .
F0
2
- m� + k + ic� = (cosŚ + isinŚ),
A
F0 F0
2
- m� + k = cosŚ, c� = sinŚ.
A A
Ruchy w R1 26
c�
� c
m
tgŚ = = ,
2
k
k - m�
2
-�
m
k
k
2
2
= � ,
= � ,
0
m
2ł �
tgŚ = .
2 2
�0 -�
Ruchy w R1 27
2 F02
2
2
(k - m� ) + (c�) = ,
A2
F02
A2(�)= =
2
2
2
(c�) +(k - m� )
F02 1
= ,
= ,
2
m2 �ł c� �ł2 �ł k
�ł
2
+ -�
�ł �ł �ł �ł
m m
�ł łł �ł łł
F02 1
A2(�)= .
2
2
2 2
m2
(2ł �) +(�0 -� )
Ruchy w R1 28
Amplituda drgań ma maksimum dla częstości
drgań siły wymuszającej:
2 2
� = � - 2ł .
r 0
(Proszę to sprawdzić!)
2 2
� = � - 2 ł
� = � - 2 ł
Wartość amplitudy dla
Wartość amplitudy dla
r 0
r 0
równa się:
F0
A(� = �r )= .
1
2 2
2
[
2mł �0 -ł ]
Ruchy w R1 29
ł `" 0 .
Na szczęście
W przeciwnym przypadku
A(� ) "!
Nieskończona amplituda drgań oznacza katastrofę
dla dowolnych układów drgających.
Wszystko uległoby zniszczeniu.
W związku z tym wróćmy na chwilę do wzoru
W związku z tym wróćmy na chwilę do wzoru
określającego amplitudę drgań:
F0 1
A(� ) = .
2
2
2 2
m
(2ł� ) + (� - � )
0
Ruchy w R1 30
Mo\emy go zapisać tak:
F0 1
A(�)=
2 2 2
m
[ -� )+i2ł� (� -�2)-2ił �
(�0 ][ ].
0
Mo\na, bez przesady powiedzieć, \e liczby
zespolone gwarantują stabilność układów
drgających, a więc gwarantują stabilność materii.
Ruchy w R1 31
Podstawowe składniki materii:
atomy, cząstki, jądra atomowe są
oscylatorami harmonicznymi.
Równanie ruchu, które opisuje te
układy, równanie Schr�dingera jest
układy, równanie Schr�dingera jest
równaniem dla zespolonej funkcji
r
� (r , t )
.
Ruchy w R1 32
Wzory do zapamiętania
Pochodna funkcji zło\onej:
dF (g (x )) dF dg
= .
dx dg dx
Pochodna iloczynu funkcji:
d [f (x)g (x)]
=
d x
df (x)
= g (x)+ f (x)dg (x).
d x dx
Ruchy w R1 33
Wzory do zapamiętania
Pochodna ilorazu funkcji:
�ł łł
�ł łł
( )
f (x)
( )
df (x) ( )
d
�ł
g(x)śł = dx g(x)- f (x)dg(x) .
�ł �ł
dx
2
dx
[g(x)]
Ruchy w R1 34
Ponadczasowe zasady zachowania
Zasada zachowania pędu:
d r r r
(p1 + p2 +L+ pN)=0.
dt
dt
Zasada zachowania energii dla sił potencjalnych:
d
(V(x)+T(x))= 0.
dt
Ruchy w R1 35
1.9. Podsumowanie
Dynamika punktu materialnego
w jednym wymiarze
a. Istnieją układy inercyjne.
W układach inercyjnych spełnione są
Zasady Dynamiki Newtona. Ziemia nie
Zasady Dynamiki Newtona. Ziemia nie
jest układem inercyjnym, jednak
odstępstwo od inercyjności jest niewielkie
i dlatego na Ziemi Zasady Dynamiki są
spełnione z dość dobrym przybli\eniem.
Ruchy w R1 36
b. Istnieją siły potencjalne, to znaczy siły
spełniające warunek:
dV (x),
F (x) = -
dx
V(x) jest energią potencjalną. Przykłady sił
V(x) jest energią potencjalną. Przykłady sił
potencjalnych:
F1 (x) = -k x, F2(x) = m g ,
2
k x
V1(x) = , V2(x) = -m g x.
2
Ruchy w R1 37
Zasada zachowania energii dla sił potencjalnych:
( ) ( )
T x + V x = E.
Zasada zachowania pędu w przypadku braku
sił zewnętrznych:
r r
p1 + p2 = stała .
Ruchy w R1 38
c. Oscylator harmoniczny:
d2x dx
m +c +kx= F0ei(�t+� ),
dt dt
dt2 dt
i = -1, i2 = -1, i3 = -i, i4 =1.
Ruchy w R1 39
To jest ostatni slajd części drugiej rozdziału Ruch
punktu materialnego w przestrzeni jednowymiarowej .
Mo\esz:
" przejść do Spisu treści i wybrać kolejny rozdział,
" wrócić do materiału tego rozdziału,
" zakończyć pokaz.
Spis treści
Koniec
pokazu
40

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Dynamika punktu materialnego w jednym wymiarze 1A
Dynamika punktu materialnego
Dynamika punktu materialnego

więcej podobnych podstron