Centralna Komisja Egzaminacyjna
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu.
WPISUJE ZDAJCY Miejsce
na naklejkę
KOD PESEL
z kodem
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY MAJ 2011
1. Sprawdz, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 20 stron
(zadania 1 33). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
zespołu nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to
przeznaczonym.
3. Odpowiedzi do zadań zamkniętych (1 23) przenieś
na kartę odpowiedzi, zaznaczając je w części karty
przeznaczonej dla zdającego. Zamaluj pola do tego
przeznaczone. Błędne zaznaczenie otocz kółkiem
i zaznacz właściwe.
4. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych
Czas pracy:
obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego (24 33) może
170 minut
spowodować, że za to rozwiązanie nie będziesz mógł
dostać pełnej liczby punktów.
5. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra
z czarnym tuszem lub atramentem.
6. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraznie przekreśl.
7. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane.
8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
9. Na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej
naklejkę z kodem.
Liczba punktów
10. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla
do uzyskania: 50
egzaminatora.
MMA-P1_1P-112
Układ graficzny CKE 2010
2 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNITE
W zadaniach od 1. do 23. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedz.
Zadanie 1. (1 pkt)
Wskaż nierówność, którą spełnia liczba Ą .
2 1
A. x +1 > 5 B. x -1 < 2 C. x + d" 4 D. x - e" 3
3 3
Zadanie 2. (1 pkt)
Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189 zł. Rower kosztuje
A. 1701 zł. B. 2100 zł. C. 1890 zł. D. 2091 zł.
Zadanie 3. (1 pkt)
Wyrażenie 5a2 -10ab +15a jest równe iloczynowi
A. 5a2(1-10b + 3) B. 5a(a - 2b + 3) C. 5a(a -10b +15) D. 5(a - 2b + 3)
Zadanie 4. (1 pkt)
4x + 2y = 10
ż#
Układ równań
#6x + ay = 15 ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli
#
A. a =-1 B. a = 0 C. a = 2 D. a = 3
Zadanie 5. (1 pkt)
Rozwiązanie równania x(x + 3)- 49 = x(x - 4) należy do przedziału
A. B. 10,+ " C. (- 5,-1) D. (2,+ ")
(- ",3
) ( )
Zadanie 6. (1 pkt)
3 x 5x
Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności + < jest
8 6 12
A. 1 B. 2 C. -1 D. - 2
Zadanie 7. (1 pkt)
Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających
jednocześnie następujące nierówności: 3 x -1 x - 5 d" 0 i x > 1.
( )( )
x x
A. B.
3 6
-1 1
x x
C. D.
5 5
1 1
Egzamin maturalny z matematyki 3
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
4 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
Zadanie 8. (1 pkt)
Wyrażenie log4(2x -1) jest określone dla wszystkich liczb x spełniających warunek
1 1
A. x d" B. x > C. x d" 0 D. x > 0
2 2
Zadanie 9. (1 pkt)
Dane są funkcje liniowe f (x) = x - 2 oraz g(x) = x + 4 określone dla wszystkich liczb
rzeczywistych x . Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji
h(x) = f (x)" g(x).
y
y y y
x x x x
4
-4 2 -4 2 -2 -2
4
A. B. C. D.
Zadanie 10 (1 pkt)
Funkcja liniowa określona jest wzorem f (x) = - 2x + 4 . Miejscem zerowym tej funkcji jest
liczba
2 2
A. - 2 2 B. C. - D. 2 2
2 2
Zadanie 11. (1 pkt)
2
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), w którym a3 = 1 i a4 = . Wtedy
3
2 4 3 9
A. a1 = B. a1 = C. a1 = D. a1 =
3 9 2 4
Zadanie 12. (1 pkt)
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an) o wyrazach dodatnich. Wtedy
A. a4 + a7 = a10 B. a4 + a6 = a3 + a8 C. a2 + a9 = a3 + a8 D. a5 + a7 = 2a8
Zadanie 13. (1 pkt)
5
Kąt ą jest ostry i cosą = . Wtedy
13
12 12 12 5
A. siną = oraz tgą = B. siną = oraz tgą =
13 5 13 12
12 12 5 12
C. siną = oraz tgą = D. siną = oraz tgą =
5 13 12 13
Egzamin maturalny z matematyki 5
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
6 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
Zadanie 14. (1 pkt)
sin2 38+ cos2 38-1
Wartość wyrażenia jest równa
sin2 52+ cos2 52+1
1 1
A. B. 0 C. - D. 1
2 2
Zadanie 15. (1 pkt)
W prostopadłościanie ABCDEFGH mamy: AB = 5 , AD = 4 , AE = 3. Który z odcinków
AB, BG, GE, EB jest najdłuższy?
H G
E
F
C
D
A B
A. AB B. BG C. GE D. EB
Zadanie 16. (1 pkt)
Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany ą ma miarę
B
ą
A
160
C
O
A. 80 B. 100 C. 110 D. 120
Zadanie 17. (1 pkt)
Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 jest równa
A. 3 3 B. 3 C. 6 3 D. 6
Zadanie 18. (1 pkt)
Prosta k ma równanie y = 2x - 3 . Wskaż równanie prostej l równoległej do prostej k
i przechodzącej przez punkt D o współrzędnych .
(-2,1
)
A. y =-2x + 3 B. y = 2x +1 C. y = 2x + 5 D. y =-x +1
Egzamin maturalny z matematyki 7
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
8 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
Zadanie 19. (1 pkt)
2
Styczną do okręgu x -1 + y2 - 4 = 0 jest prosta o równaniu
( )
A. x =1 B. x = 3 C. y = 0 D. y = 4
Zadanie 20. (1 pkt)
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest
równa
A. 6 B. 3 C. 9 D. 3 3
Zadanie 21. (1 pkt)
Objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa
A. 124Ą B. 96Ą C. 64Ą D. 32Ą
Zadanie 22. (1 pkt)
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania
sumy oczek równej trzy wynosi
1 1 1 1
A. B. C. D.
6 9 12 18
Zadanie 23. (1 pkt)
Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedz na pytanie: Ile osób liczy twoja
rodzina? Wyniki przedstawiono w tabeli:
Liczba osób liczba
w rodzinie uczniów
3 6
4 12
x 2
Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
Egzamin maturalny z matematyki 9
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
10 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań o numerach od 24. do 33. należy zapisać w wyznaczonych miejscach
pod treścią zadania.
Zadanie 24. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność 3x2 -10x + 3 d" 0 .
Odpowiedz: ................................................................................................................................ .
Zadanie 25. (2 pkt)
Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a2 + b2 = 7 , to a4 + b4 = 31.
Egzamin maturalny z matematyki 11
Poziom podstawowy
Zadanie 26. (2 pkt)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.
y
4
3
2
1
9
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
1
2
3
Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) zbiór wartości funkcji f,
b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca.
Odpowiedz: ................................................................................................................................ .
Nr zadania 24. 25. 26.
Wypełnia
Maks. liczba pkt 2 2 2
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
12 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
Zadanie 27. (2 pkt)
Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x + y = 8 .
Oblicz x i y.
Odpowiedz: ................................................................................................................................ .
Zadanie 28. (2 pkt)
siną cosą
Kąt ą jest ostry i + = 2 . Oblicz wartość wyrażenia siną " cosą .
cosą siną
Odpowiedz: ................................................................................................................................ .
Egzamin maturalny z matematyki 13
Poziom podstawowy
Zadanie 29. (2 pkt)
Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB || CD . Na boku BC wybrano taki punkt E,
że EC = CD i EB = BA . Wykaż, że kąt AED jest prosty.
Odpowiedz: ................................................................................................................................ .
Nr zadania 27. 28. 29.
Wypełnia
Maks. liczba pkt 2 2 2
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
14 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
Zadanie 30. (2 pkt)
Ze zbioru liczb {1, 2, 3,..., 7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.
Odpowiedz: ................................................................................................................................ .
Egzamin maturalny z matematyki 15
Poziom podstawowy
Zadanie 31. (4 pkt)
Okrąg o środku w punkcie S = (3,7) jest styczny do prostej o równaniu y = 2x - 3. Oblicz
współrzędne punktu styczności.
Odpowiedz: ................................................................................................................................ .
Nr zadania 30. 31.
Wypełnia
Maks. liczba pkt 2 4
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
16 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
Zadanie 32. (5 pkt)
Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów.
Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby
przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.
Egzamin maturalny z matematyki 17
Poziom podstawowy
Odpowiedz: ................................................................................................................................ .
Nr zadania 32.
Wypełnia
Maks. liczba pkt 5
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
18 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
Zadanie 33. (4 pkt)
Punkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi
długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.
L
H
G
E
F
M
C
D
K
A B
Egzamin maturalny z matematyki 19
Poziom podstawowy
Odpowiedz: ................................................................................................................................ .
Nr zadania 33.
Wypełnia
Maks. liczba pkt 4
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
20 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
KOD EGZAMINATORA
Czytelny podpis egzaminatora
KOD ZDAJĄCEGO
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie
EGZAMIN MATURALNY 2011
MATEMATYKA
POZIOM PODSTAWOWY
Kryteria oceniania odpowiedzi
MAJ 2011
2 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Zadanie 1. (0 1)
Poprawna
Obszar standardów Opis wymagań odpowiedz
(1 p.)
Wykorzystanie i tworzenie Wykorzystanie pojęcia wartości
C
informacji bezwzględnej
Zadanie 2. (0 1)
Wykorzystanie Wykonanie obliczeń procentowych
B
i interpretowanie reprezentacji
Zadanie 3. (0 1)
Wykorzystanie i tworzenie Rozłożenie wielomianu na czynniki
informacji z zastosowaniem wyłączenia wspólnego B
czynnika poza nawias
Zadanie 4. (0 1)
Modelowanie matematyczne Rozwiązanie układu równań D
Zadanie 5. (0 1)
Wykorzystanie Rozwiązanie równania liniowego
i interpretowanie reprezentacji i sprawdzenie czy rozwiązanie należy D
do danego przedziału
Zadanie 6. (0 1)
Wykorzystanie Sprawdzenie, które z podanych liczb
i interpretowanie reprezentacji spełniają nierówność i wybranie z nich B
najmniejszej
Zadanie 7. (0 1)
Wykorzystanie Zinterpretowanie rozwiązania
i interpretowanie reprezentacji nierówności kwadratowej i liniowej na osi C
liczbowej
Zadanie 8. (0 1)
Wykorzystanie Wykorzystanie definicji logarytmu
B
i interpretowanie reprezentacji
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 3
Kryteria oceniania odpowiedzi
Zadanie 9. (0 1)
Wykorzystanie Określenie funkcji za pomocą wzoru
i interpretowanie reprezentacji i interpretowanie wykresów funkcji A
kwadratowych
Zadanie 10. (0 1)
Wykorzystanie Obliczenie miejsca zerowego funkcji
D
i interpretowanie reprezentacji liniowej
Zadanie 11. (0 1)
Wykorzystanie Zastosowanie wzory na n-ty wyraz ciągu
D
i interpretowanie reprezentacji geometrycznego
Zadanie 12. (0 1)
Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu
C
arytmetycznego
Zadanie 13. (0 1)
Wykorzystanie Wyznaczenie wartości pozostałych
i interpretowanie reprezentacji funkcji tego samego kąta ostrego, gdy A
dana jest wartość jednej z nich
Zadanie 14. (0 1)
Wykorzystanie Zastosowanie prostych związków między
i interpretowanie reprezentacji funkcjami trygonometrycznymi kąta B
ostrego
Zadanie 15. (0 1)
Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych
C
w przestrzeni
Zadanie 16. (0 1)
Wykorzystanie Skorzystanie ze związków między kątem
B
i interpretowanie reprezentacji środkowym i kątem wpisanym
Zadanie 17. (0 1)
Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych
A
w figurach płaskich
4 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Zadanie 18. (0 1)
Wykorzystanie Zbadanie równoległości i prostopadłości
i interpretowanie reprezentacji prostych na podstawie ich równań C
kierunkowych
Zadanie 19. (0 1)
Wykorzystanie Posłużenie się równaniem okręgu
2 2
2
i interpretowanie reprezentacji
(x - a) + (y - b) = r i sprawdzanie B
czy dana prosta jest styczną
Zadanie 20. (0 1)
Wykorzystanie Wyznaczenie związków miarowych
D
i interpretowanie reprezentacji w sześcianie
Zadanie 21. (0 1)
Wykorzystanie Wyznaczenie związków miarowych
B
i interpretowanie reprezentacji w bryłach obrotowych
Zadanie 22. (0 1)
Modelowanie matematyczne Zastosowanie twierdzenia znanego jako
klasyczna definicja prawdopodobieństwa
D
do obliczenia prawdopodobieństwa
zdarzenia
Zadanie 23. (0 1)
Wykorzystanie Obliczenie średniej arytmetycznej
D
i interpretowanie reprezentacji
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 5
Kryteria oceniania odpowiedzi
Zadanie 24. (0 2)
Wykorzystanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej
i interpretowanie reprezentacji
Rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap może być realizowany na 2 sposoby:
I sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego 3x2 -10x + 3
" obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
10 -8 1 10 + 8
"= 100 - 4"3"3 = 64 i stąd x1 = = oraz x2 = = 3
6 3 6
albo
" stosujemy wzory ViŁte a:
10 1
x1 + x2 = oraz x1 " x2 = 1 i stąd x1 = oraz x2 = 3
3 3
albo
" podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową
trójmianu, lub zaznaczając na wykresie
1 1
ś#
x1 = , x2 = 3 lub 3# x - ( - 3
x
)
ś# ź#
3 3
# #
lub
y
6
5
4
3
2
1
1
3
0
x
4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
1
2
3
II sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)
Wyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego 3x2 -10x + 3 i zapisujemy
nierówność w postaci, np.
2 2
Ą#
10 64 10 64ń#
ś# ś#
3# x - - d" 0 , stąd 3ó## x - - d" 0
ś# ź# ś# ź#Ą#
6 12
# #
ó#Ś#
Ł## 6 # 36Ą#
a następnie
6 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
" przekształcamy nierówność, tak by jej lewa strona była zapisana w postaci
iloczynowej
10 8 10 8
ś# #ś#
3# x - - x - + d" 0
ś#ź#"ś#ź#
6 6 6 6
# # # #
1 ś#
3 x - 3 "# x - d" 0
( )
ś# ź#
3
# #
albo
" przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości
bezwzględnej
2
10 64 10 8
# ś#
x - d" x - d"
ś# ź#
6 36 6 6
# #
Drugi etap rozwiązania:
1 1 1
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: d" x d" 3 lub , 3 lub x " , 3
.
3 3 3
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy:
" zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
1
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x = , x = 3 i na tym
3
poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f x = 3x2 -10x + 3 i na tym
( )
poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
1
ś#
o rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. 3# x - " x - 3 i na
( )
ś# ź#
3
# #
tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność
10 8
o zapisze nierówność x - d" i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze
6 6
zbiór rozwiązań nierówności
albo
" realizując pierwszy etap, popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)
i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np.
o popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków
trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże
nierówność
10
o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów ViŁte a, np.: x1 + x2 = -
3
10
i x1 " x2 = 1 lub x1 + x2 = i x1 " x2 =-1 i konsekwentnie do popełnionego
3
błędu rozwiąże nierówność
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 7
Kryteria oceniania odpowiedzi
10 8
o błędnie zapisze nierówność, np. x + d" i konsekwentnie do popełnionego
6 6
błędu rozwiąże nierówność.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy:
1 1 1
" poda zbiór rozwiązań nierówności: , 3 lub x " , 3 lub d" x d" 3 ,
3 3 3
albo
" sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań
1
nierówności w postaci: x e" , x d" 3
3
albo
" poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
3 x
1
3
Uwaga
1
Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x1 = i x2 = 3 i zapisze np.
3
1
x " - , 3 , popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za
3
takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.
Zadania 25. (0 2)
Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie zależności arytmetycznej z zastosowaniem
wzorów skróconego mnożenia
I sposób rozwiązania
2
Ponieważ a + b = 1, więc a + b = 1, czyli
( )
a2 + 2ab + b2 =1.
2
Ponieważ a2 + b2 = 7 , więc 2ab + 7 = 1. Stąd mamy, że ab = -3 i a2b2 = ab = 9 .
( )
Stosując wzory skróconego mnożenia, zapisujemy wyrażenie a4 + b4 = 31 w postaci:
2
a2 + b2 - 2a2b2 = 31 czyli 72 - 2"9 = 31 co należało uzasadnić.
( )
II sposób rozwiązania
Przekształcamy tezę w sposób równoważny:
a4 + b4 = 31
2
a2 + b2 - 2a2b2 = 31
( )
49 - 2a2b2 = 31
a2b2 = 9 .
8 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Korzystając z założeń a2 + b2 = 7 i a + b = 1, otrzymujemy 2ab + 7 = 1.
Stąd ab =-3. Zatem a2b2 = 9 , co kończy dowód.
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy:
" korzystając z założeń obliczy, że ab = -3 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia
błędy
albo
" przekształci tezę w sposób równoważny do postaci a2b2 = 9 i na tym poprzestanie lub
dalej popełnia błędy
Zdający otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
III sposób rozwiązania
Tak jak w sposobie I obliczamy, że ab = -3.
Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona:
4 2
a + b = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = a4 + 4ab a2 + b2 + 6 ab + b4 =
( ) ( )
( )
2
= a4 + b4 + 4 "7 + 6" = a4 + b4 - 84 + 54 = a4 + b4 - 30
(-3
) (-3
)
Stąd a4 + b4 = 31.
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy
" poda lub obliczy wartość wyrażenia ab = -3 i na tym poprzestanie lub dalej popełni
błędy
albo
" wykorzysta wzór dwumianowy Newtona i zapisze np.
42
a + b = a4 + 4ab a2 + b2 + 6 ab + b4 .
( ) ( )
( )
Zdający otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
IV sposób rozwiązania
Rozwiązujemy układ równań, wyznaczając a i b :
ż#
a2 + b2 = 7
stąd:
#
a + b = 1
#
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 9
Kryteria oceniania odpowiedzi
ż# ż#
1- 13 1+ 13
#a = #a =
# #
2 2
lub
# #
#b = 1+ 13 #b = 1- 13
# #
# 2 # 2
ż#
a2 + b2 = 7
Układ równań
#
a + b = 1
#
możemy rozwiązać jednym z podanych sposobów.
I sposób
Podstawiamy b = 1- a do równania a2 + b2 = 7 , stąd otrzymujemy równanie
2
a2 + 1- a = 7 , które jest równoważne równaniu 2a2 - 2a - 6 = 0 , czyli
( )
a2 - a - 3 = 0 .
Obliczamy "= 13 oraz
ż# ż#
1- 13 1+ 13
#a = #a =
# #
2 2
lub
# #
#b = 1+ 13 #b = 1- 13
# #
# 2 # 2
II sposób
1 1
Oznaczamy: a = + x , b = - x .
2 2
1 13 13 13 13
Wtedy a2 + b2 = + 2x2 = 7 , stąd 2x2 = , czyli x2 = , więc x = , x =- .
2 2 4 2 2
Stąd otrzymujemy:
ż# ż#
1- 13 1+ 13
#a = #a =
# #
2 2
lub
# #
#b = 1+ 13 #b = 1- 13
# #
# 2 # 2
III sposób
Obliczamy ab =-3 tak jak w I sposobie rozwiązania. Mamy zatem układ równań:
a + b =1
ż#
#ab =-3
#
Stąd otrzymujemy:
ż# ż#
1- 13 1+ 13
#a = #a =
# #
2 2
lub
# #
#b = 1+ 13 #b = 1- 13
# #
# 2 # 2
10 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
44
2 4
Obliczamy a4 + b4 , korzystając ze wzoru c + d + c - d = 2c4 +12c2d + 2d :
( ) ( )
44
#1+ 13 ś# #1- 13 ś#
a4 + b4 = + =
ś#ź# ś#ź#
22
# # # #
44
#ś# #ś#
1 13 1 13
= + + - =
ś#ź# ś#ź#
2 2 2 2
# # # #
24
42
# ś# # ś#
11 13 13
= 2"# ś# +12"# ś# "ś# ź# + 2"ś# ź# =
ś# ź# ś# ź#
22 2 2
# # # ## # # #
1 13 169 248
= + 3" + = = 31
8 4 8 8
Uwaga
Zdający może także obliczyć:
2
4 2 2 2
##1+ 13 ś#2 ś#
#1+ 13 ś# #1+ 2 13 +13 ś# #14 + 2 13 ś# # ś#
7 + 13
ś#ś# ź#
a4 == = =ź# ś# ź#
= =
ś#ź# ź# ś# ź# ś#
ś#ź# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź#
2 ś#ś# 2 ź# 4 4 2
# # # # # # # # #
## #
4
#1- 13 ś#
49 +14 13 +13 62 +14 13 31+ 7 13 31- 7 13
== = albo a4 = =
ś#ź#
ś#ź#2
44 2 2
# #
oraz
2
4 2 2 2
##1- 13 ś#2 ś#
#1- 13 ś# #1- 2 13 +13 ś# #14 - 2 13 ś# # ś#
7 - 13
ś#ś# ź#
b4 == = =ź# ś# ź#
= =
ś#ź# ź# ś# ź# ś#
ś#ź# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź#
2 ś#ś# 2 ź# 4 4 2
# # # # # # # # #
## #
4
#1+ 13 ś#
49 -14 13 +13 62 -14 13 31- 7 13 31+ 7 13
== = albo b4 = =
ś#ź#
ś#ź#2
44 2 2
# #
31+ 7 13 31- 7 13
Zatem a4 + b4 =+= 31.
22
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
1- 13 1+ 13 1+ 13 1- 13
gdy obliczy jedną z wartości a1 = lub a2 = lub b1 = lub b2 =
2 2 2 2
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy
Zdający otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Uwaga
1- 13 1+ 13 1+ 13
Jeżeli zdający obliczy jedną z wartości a1 = lub a2 = , lub b1 = ,
2 2 2
1- 13
lub b2 = i uzasadni tezę tylko dla tej jednej wartości, to otrzymuje 2 punkty.
2
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 11
Kryteria oceniania odpowiedzi
Zadanie 26. (0 2)
Wykorzystanie i tworzenie Odczytanie z wykresu funkcji: zbioru wartości oraz
informacji maksymalnego przedziału, w którym funkcja maleje
Rozwiązanie
Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji: -2, 3 .
Zapisujemy przedział maksymalnej długości, w którym funkcja jest malejąca: -2, 2 .
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje............................................................................................................. 1 pkt
gdy:
" zapisze zbiór wartości funkcji f : -2, 3 i na tym poprzestanie
albo
" zapisze zbiór wartości funkcji f : -2, 3 i błędnie zapisze przedział maksymalnej
długości, w którym ta funkcja jest malejąca
albo
" zapisze przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca: -2, 2
i na tym poprzestanie
albo
" zapisze przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca, np.:
-2, 2 i błędnie zapisze zbiór wartości funkcji f .
Zdający otrzymuje............................................................................................................. 2 pkt
gdy zapisze zbiór wartości funkcji f : -2, 3 oraz przedział maksymalnej długości,
w którym funkcja f jest malejąca: -2, 2 .
Uwagi
1. Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca,
w postaci -2 d" x d" 2 lub x " -2, 2 , lub x " -2,2 , lub x "
(-2,2
)
) (-2,2 , lub x " .
2. Zdający może zapisać zbiór wartości funkcji f, w postaci -2 d" y d" 3 lub x " -2,3 .
3. Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca,
w postaci -2,0 *" 0,2 .
4. Nie akceptujemy, jeżeli zdający zapisze przedział maksymalnej długości, w którym
funkcja f jest malejąca, w postaci .
{-2,2
}
12 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Zadania 27. (0 2)
Modelowanie matematyczne Zastosowanie wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
lub wykorzystanie własności trzech kolejnych wyrazów
tego ciągu
I sposób rozwiązania
Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, stąd 2 y = x +19 .
Zapisujemy więc układ równań
2y = x +19
ż#
#x + y = 8
#
którego rozwiązaniem jest x =-1 i y = 9 .
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy wykorzysta własności ciągu arytmetycznego i zapisze równanie np. 2 y = x +19 i na tym
poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy obliczy: x = -1 i y = 9 .
Uwaga
Zdający może jako rozwiązanie podać ciąg 9, 19 i wtedy również otrzymuje 2 punkty.
(-1,
)
II sposób rozwiązania
Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Niech r będzie różnicą tego
ciągu i x = a1, y = a2 = a1 + r , 19 = a3 = a1 + 2r .
Otrzymujemy układ równań
a1 + a1 + r = 8
ż#
#
+ 2r = 19
#a1
Rozwiązaniem tego układu jest a1 =-1, r = 10 . Stąd: x = a1 =-1, y = a2 = 9 .
Uwaga
Możemy również otrzymać następujące układy równań:
y = x + r
ż#
2a1 + r = 8
ż#
# #
lub = x + 2r
#a1 +19 #19
= a1 + r
# #x + y = 8
# 2
#
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy wprowadzi oznaczenia x = a1, y = a2 = a1 + r i zapisze równanie a1 + 2r = 19 i na tym
poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy obliczy: x = -1 i y = 9 .
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 13
Kryteria oceniania odpowiedzi
III sposób rozwiązania
Wprowadzamy oznaczenia x = a1, y = a2 , 19 = a3 .
Obliczamy:
S3 = x + y +19 = 8 +19 = 27 .
Korzystając ze wzoru na sumę trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,
a1 +19
otrzymujemy "3 = 27 .
2
Stąd a1 =-1, zatem x =-1, y = 9 .
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje............................................................................................................. 1 pkt
a1 + a3
gdy wprowadzi oznaczenia x = a1, y = a2 , 19 = a3 i zapisze równanie "3 = 27 i na tym
2
poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje............................................................................................................. 2 pkt
gdy obliczy: x = -1 i y = 9 .
Uwaga
Jeżeli zdający zapisze x = -1 i y = 9 bez obliczeń i nie uzasadni, że jest to jedyne
rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.
Zadanie 28. (0 2)
Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie prostych związków między funkcjami
trygonometrycznymi kąta ostrego
I sposób rozwiązania
siną cosą
Sprowadzamy wyrażenie + = 2 do wspólnego mianownika i otrzymujemy
cosą siną
sin2 ą + cos2 ą
= 2 . Korzystając z tożsamości sin2 ą + cos2 ą =1, otrzymujemy
siną cosą
1 1
= 2 , a stąd siną cosą = .
siną cosą 2
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy:
siną cosą
" sprowadzi wyrażenie + = 2 do wspólnego mianownika i na tym
cosą siną
poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
albo
siną cosą
" doprowadzi wyrażenie + = 2 do postaci sin2 ą + cos2 ą = 2siną cosą
cosą siną
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
1
gdy obliczy, że siną cosą = .
2
14 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
II sposób rozwiązania
Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz
a b
zaznaczamy kąt ostry ą taki, że siną = lub cosą = .
c c
c
a
b
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość przeciwprostokątnej: c2 = a2 + b2 .
siną cosą a b a2 + b2 c2
Ponieważ + = 2 , więc + = 2 , czyli = 2 . Stąd = 2 .
cosą siną b a a "b a "b
a "b 1
Ponieważ siną cosą = , to siną cosą = .
c2 2
III sposób rozwiązania
Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz
a b
zaznaczamy kąt ostry ą taki, że siną = lub cosą = .
c c
c
a
b
siną cosą
Ponieważ + = 2 , więc otrzymujemy kolejno:
cosą siną
a b a2 + b2
+ = 2 , = 2 , a2 + b2 = 2ab ,
b a ab
2 Ą
stąd a - b = 0 , więc a = b . Zatem ą = 45 = .
( )
4
2 2
Wtedy siną = sin 45 = i cosą = cos 45 = .
2 2
2 2 1
Obliczamy siną cosą = " = .
2 2 2
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 15
Kryteria oceniania odpowiedzi
Schemat oceniania II i III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b, zaznaczy w tym trójkącie
kąt ą i zapisze:
a b a2 + b2
" siną = , cosą = i = 2 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy
c c a "b
albo
a b
" siną = , cosą = i a2 + b2 = 2a "b i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
c c
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
1
gdy obliczy, że siną cosą = .
2
Uwaga
Zdający może także odczytać z tablic przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych
i obliczyć: sin 45" cos45 H"0,7071"0,7071 H" 0,4999 H" 0,5 .
Nie akceptujemy innych przybliżeń.
IV sposób rozwiązania
siną cosą 1
Wyrażenie + = 2 zapisujemy w postaci tgą + = 2 .
cosą siną tgą
Stąd tg2ą - 2tgą +1 = 0 .
2 2 1
Zatem tgą = 1 i stąd ą = 45. Obliczamy wartość wyrażenia, sin 45"cos 45 = " = .
2 2 2
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
1
gdy zapisze równanie tgą + = 2 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
tgą
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
1
gdy obliczy siną cosą = .
2
V sposób rozwiązania
Zauważamy, że suma liczby i jej odwrotności jest równa 2 wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba
siną 2 2 1
jest równa 1. Zatem tgą = = 1 i stąd ą = 45, a więc sin 45"cos 45 = " = .
cosą 2 2 2
16 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Schemat oceniania V sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy zapisze, że suma liczby i jej odwrotności jest równa 2 wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba
siną
jest równa 1, zapisze tgą = 1 lub = 1 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
cosą
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
1
gdy obliczy siną cosą = .
2
Uwaga
Jeżeli zdający w V sposobie rozwiązania zapisze bez uzasadnienia:
siną
" tgą = 1 lub = 1 lub ą = 45 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy,
cosą
to otrzymuje 0 punktów.
siną 1
" tgą = 1 lub = 1 lub ą = 45 i poprawnie obliczy siną cosą = , to otrzymuje
cosą 2
1 punkt.
Zadania 29. (0 2)
Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie, że wskazany kąt jest prosty
I sposób rozwiązania
Niech CED = ą . Ponieważ trójkąt DCE jest równoramienny i EC = CD ,
to EDC = CED = ą . Zatem DCE = 180 - 2ą .
Podobnie, ponieważ trójkąt ABE jest równoramienny i AEB = EAB = ,
to ABE = 180 - 2 .
Kąty ABE i DCE są kątami wewnętrznymi trapezu ABCD i DCE + ABE = 180 .
Stąd 180- 2ą +180- 2 = 180, czyli
2ą + 2 = 180
ą + = 90 .
Zatem AED = 180 - CED - AEB = 180 -ą - = 180 -(ą + = 90.
)
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy napisze zależności między miarami kątów w trójkątach równoramiennych ABE i DCE,
np. DCE = 180 - 2ą i ABE = 180 - 2 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90 .
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 17
Kryteria oceniania odpowiedzi
II sposób rozwiązania
D C
ą
ą
ą
E
F
A
B
Niech CED = ą i AEB =
Trójkąty DCE i ABE są równoramienne. Zatem EDC = CED = ą oraz
AEB = EAB = .
Dorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD.
Kąty naprzemianległe CDE i DEF mają równe miary, zatem EDC = DEF = ą .
Analogicznie EAB = AEF = .
Zatem BEC = 180 = 2ą + 2 , więc ą + = 90 .
Stąd AED = 90 , co kończy dowód.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy napisze, że trójkąty DCE i ABE są równoramienne, dorysuje odcinek EF równoległy
do podstaw trapezu ABCD i zapisze, że EDC = DEF = ą i EAB = AEF = .
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90 (uzasadnienie równości kątów może być
przedstawione na rysunku).
18 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
III sposób rozwiązania
D C
ą
180-ą
2
ą
ą 2
2
F E
ą
90-
2
ą
90-
2
ą
90-
ą
2
A
B
Niech ABC = ą , stąd BCD = 180 -ą .
Ponieważ CE = CD i EB = BA , więc trójkąty DCE i ABE są równoramienne.
180-ą ą ą
Zatem AEB = EAB = = 90 - oraz EDC = CED = .
22 2
Dorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD, więc
ą ą
zachodzi równość: EDC = CED = DEF = i AEB = EAB = AEF = 90 -
2 2
ą ą
Stąd otrzymujemy AED = AEF + DEF = 90 - + = 90 .
2 2
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy napisze, że trójkąty DCE i ABE są równoramienne i przyjmie, że ABC = ą ,
dorysuje odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD i zapisze,
180-ą ą
że AEB = EAB = AEF = i EDC = CED = DEF = .
2 2
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90 (uzasadnienie równości kątów może być
przedstawione na rysunku).
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 19
Kryteria oceniania odpowiedzi
IV sposób rozwiązania
D C
ą
ą
E
A
B
Niech CED = ą . Ponieważ trójkąt DCE jest równoramienny i EC = CD ,
to EDC = CED = ą . Podobnie, ponieważ trójkąt ABE jest równoramienny,
to AEB = EAB =
Kąty ADC i BAD są kątami wewnętrznymi trapezu ABCD i ADC + BAD = 180 .
Stąd ADE + EAD = 180 - (ą + .
)
Zatem w trójkącie DAE mamy: AED = 180- Ą# (ą )Ś#
.
Ł#180- + ń# = ą +
Stąd BEC = 180 = DEC + AED + AEB = 2ą + 2 , czyli ą + = 90 .
Zatem AED = 90 .
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy zapisze zależności między miarami kątów w trójkątach równoramiennych ABE i DCE,
np. EDC = CED = ą oraz AEB = EAB = i zapisze, że ADC + BAD = 180 .
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90 .
Uwaga
Jeżeli zdający przyjmie dodatkowe założenia o trapezie ABCD, przez co rozważa tylko
szczególny przypadek, np. ABC = 90 lub DEC = 45 , to za całe rozwiązanie otrzymuje
0 punktów.
20 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Zadanie 30. (0 2)
Użycie i tworzenie strategii Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia
I sposób rozwiązania (metoda klasyczna)
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary a ,b liczb z podanego zbioru. Jest to model
( )
klasyczny. Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: = 72 .
Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A polegającym na
otrzymaniu liczb, których suma jest podzielna przez 3, np. wypisując je i zliczając:
A = 1,2 , 1,5 , 2,1 , 2,4 , 2,7 , 3,3 , 3,6 , 4,2 , 4,5 5,1 , 5,4 , 5,7 , 6,3 , 6,6 , 7,2 , 7,5 ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
czyli A = 16
16
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = .
49
II sposób rozwiązania (metoda tabeli)
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary a ,b liczb z podanego zbioru. Jest to model
( )
klasyczny. Tworzymy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu
1 2 3 4 5 6 7
1 X X
2 X X X
3 X X
4 X X
5 X X X
6 X X
7 X X
Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: = 72 .
Zliczamy oznaczone krzyżykami zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: A = 16 .
16
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = .
49
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy
" obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: = 72 = 49
albo
" obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A : A = 16
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
16
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = .
49
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 21
Kryteria oceniania odpowiedzi
III sposób rozwiązania (metoda drzewa)
Rysujemy drzewo, uwzględniając tylko istotne gałęzie. Prawdopodobieństwo na każdym
1
odcinku tego drzewa jest równe .
7
1
1
7
1 1
1 1
7 1
7 7
7 7
7
3 4 5
7
2
6
1
1
1
7
7
2 5
3 6
1 4 7
1 4 7 2 5
3 6
2 5
1 1 16
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = 16" " = .
7 7 49
IV sposób rozwiązania (metoda drzewa)
Rysujemy drzewo, uwzględniając tylko istotne gałęzie i zapisujemy na nich
prawdopodobieństwo.
2
2
3
7
7
7
2,5
{ }
3,6 1, 4,7
{ } { }
2 2 3
7 7 7
3,6 1, 4,7
{ } { }
2,5
{ }
2 2 3 2 2 3 16
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P A = " + " + " =
( )
7 7 7 7 7 7 47
22 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Schemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy:
" narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo
albo
" narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
16
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = .
49
Uwagi
1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P(A) > 1, to otrzymuje za całe
rozwiązanie 0 punktów.
2. Jeżeli zdający opuści przez nieuwagę w rozwiązaniu niektóre gałęzie i konsekwentnie
obliczy prawdopodobieństwo, to za całe rozwiązanie otrzymuje 1 punkt.
3. Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, np.
16 4
P(A) = = , to otrzymuje 2 punkty.
49 7
Zadanie 31. (0 4)
Użycie i tworzenie strategii Wyznaczenie współrzędnych punktu styczności prostej
z okręgiem
I sposób rozwiązania
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy m prostej prostopadłej do prostej o równaniu
1
y = 2x - 3 : m =- .
2
Zapisujemy równanie prostej prostopadłej do stycznej i przechodzącej przez punkt S = 3,7 :
( )
1 17
y = - x + .
2 2
Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań:
y = 2x
ż# - 3
#
# 1 17
#y =- x + 2
# 2
1 17
- x + = 2x - 3
2 2
23
x =
5
31
Stąd y = .
5
23 31
ś#
Zatem punkt styczności ma współrzędne: # , .
ś# ź#
5 5
# #
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 23
Kryteria oceniania odpowiedzi
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt
Zapisanie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do prostej o równaniu
1
y = 2x - 3 , np. m =- .
2
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt
y = 2x
ż# - 3
#
Zapisanie układ równań
# 1 17
#y =- x + 2
# 2
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt
Przekształcenie układu równań do równania z jedną niewiadomą, np.
1 17 1 3 17
- x + = 2x - 3 lub y =- y - + .
2 2 4 4 2
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt
23 31
ś#
Obliczenie współrzędnych punktu styczności: # , .
ś# ź#
5 5
# #
Uwaga
Jeśli zdający zapisał układ równań liniowych i odgadł jego rozwiązanie, to otrzymuje
4 punkty
II sposób rozwiązania
Obliczamy odległość d środka okręgu S = (3,7) od prostej y = 2x - 3 :
6 - 7 - 3
4
d == .
4 +1 5
Punkt P = (x, 2x - 3) jest punktem styczności okręgu o środku w punkcie S = (3,7)
i prostej y = 2x - 3 . Zatem PS = d oraz PS = (x - 3)2 + (2x -10)2 .
4 16
Przekształcamy równanie (x - 3)2 + (2x -10)2 = do postaci 5x2 - 46x +109 - = 0
5
5
4 23
Rozwiązujemy równanie 5x2 - 46x +105 = 0 , stąd x = .
5 5
23 31
# ś#
Zatem punkt styczności ma współrzędne: P = , .
ś# ź#
5 5
# #
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt
6 - 7 - 3
4
" obliczenie odległości punktu S od danej prostej d ==
4 +1 5
albo
" zapisanie długości odcinka PS : PS = (x - 3)2 + (2x -10)2 .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt
y = 2x
ż# - 3
#
Zapisanie układ równań, np.
# 2
(x - 3)2 + y - 7 =
( )4
#
5
#
24 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt
4
Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. 5x2 - 46x +105 = 0
5
4
albo (x - 3)2 + (2x -10)2 = .
5
Rozwiązanie pełne..............................................................................................................4 pkt
23 31
ś#
Obliczenie współrzędnych punktu P styczności: # , .
ś# ź#
5 5
# #
III sposób rozwiązania
Punkt P = x, y jest punktem styczności okręgu o środku S = (3,7) i prostej y = 2x - 3 .
( )
ż# - 3)2 + (y - 7)2 = r2
(x
Zapisujemy układ równań:
#
#y = 2x - 3
Przekształcamy układ równań do równania kwadratowego z niewiadomą x:
(x - 3)2 + (2x -10)2 = r2
5x2 - 46x +109 - r2 = 0 .
Zapisujemy warunek "= 0 , dla którego okrąg ma jeden punkt wspólny z prostą y = 2x - 3
i obliczamy r2 :
64 16
"=-64 + 20r2 , 20r2 - 64 = 0 , 20r2 = 64 , r2 = = .
20 5
Rozwiązujemy równanie:
16
5x2 - 46x +109 - = 0
5
4
5x2 - 46x +105 = 0
5
23
x = .
5
23 31
# ś#
Zatem punkt styczności ma współrzędne: P = , .
ś# ź#
5 5
# #
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania...........................................................................................................1 pkt
Zapisanie układu równań i warunku pozwalającego wyznaczyć promień okręgu:
ż# - 3)2 + (y - 7)2 = r2
(x
#
#y = 2x - 3
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp......................................................................2 pkt
Przekształcenie układu do równania z jedną niewiadomą 5x2 - 46x +109 - r2 = 0 , zapisanie
16
warunku "= 0 i obliczenie r2 : r2 = .
5
Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt
4
Zapisanie równania kwadratowego, np. 5x2 - 46x +105 = 0 .
5
Rozwiązanie pełne..............................................................................................................4 pkt
23 31
# ś#
Obliczenie współrzędnych punktu styczności: P = , .
ś# ź#
5 5
# #
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 25
Kryteria oceniania odpowiedzi
Uwaga
Jeśli zdający popełnił błąd rachunkowy, przekształcając układ równań do równania
kwadratowego, rozwiązał to równanie i otrzymał dwa punkty styczności, to za całe
rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.
Zadanie 32. (0 5)
Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania umieszczonego w kontekście
praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego
z jedną niewiadomą
I sposób rozwiązania
Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez
turystę. Drogę przebytą przez turystę opisujemy równaniem x" y =112 .
Turysta może przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc każdego dnia o 12 km mniej,
wówczas zapisujemy równanie: x + 3 " y -12 = 112 .
( ) ( )
ż#
#x " y =112
Zapisujemy układ równań, np.
#
x + 3 " y
( ) ( -12 =112
)
#
#
Z pierwszego równania wyznaczamy
112 112
y = x =
x y
podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy
#ś#
112
x + 3
( )#112 -12ś# = 112
+ 3ź# y -12 =112
( )
ś#ź#
ś#
x
y
# #
# #
Przekształcamy to równanie do równania
Przekształcamy to równanie do równania
kwadratowego, np. x2 + 3x - 28 = 0.
kwadratowego, np. y2 -12y - 448 = 0
"= 9 +112 = 121 = 112
"= 144 +1792 = 1936 = 442
-3-11
12 - 44
x1 == -7 sprzeczne z zał. x > 0
y1 = =-16 sprzeczne z zał. y > 0
2
2
-3+11
12 + 44
x2 == 4
y2 = = 28
2
2
112
Odp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.
Obliczamy y: y = = 28
4
Odp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.
II sposób rozwiązania
Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez
turystę. Drogę przebytą przez turystę opisujemy równaniem x" y =112 .
Turysta może przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc każdego dnia o 12 km mniej,
wówczas zapisujemy równanie: x + 3 " y -12 = 112 .
( ) ( )
ż#
#x " y =112
Zapisujemy układ równań, np.
#
x + 3 " y
( ) ( -12 =112
)
#
#
x " y = 112
ż#
Stąd otrzymujemy kolejno
#x " y -12x + 3y - 36 = 112
#
26 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
x " y = 112
ż#
#112 -12x + 3y - 36 = 112
#
x " y = 112
ż#
#
#-12x + 3y - 36 = 0
W równaniu -12x + 3y - 36 = 0 obie strony dzielimy przez .
(-3
)
Otrzymujemy 4x - y +12 = 0 , stąd wyznaczamy
y = 4x +12 1
x = y - 3
4
podstawiamy do równania pierwszego i rozwiązujemy
x " 4x +12 = 112 1
( ) #
y - 3ś# " y = 112
ś# ź#
4
# #
4x2 +12x -112 = 0
1
x2 + 3x - 28 = 0
y2 - 3y -112 = 0
4
"= 9 +112 = 121 = 112
y2 -12y - 448 = 0
-3-11
x1 == -7 sprzeczne z zał. x > 0
2 "= 144 +1792 = 1936 = 442
-3+11 12 - 44
x2 == 4 y1 = =-16 sprzeczne z zał. y > 0
2 2
Obliczamy y: y = 4"4 +12 = 28 12 + 44
y2 = = 28
2
Odp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.
Odp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania ......................................................................................................... 1 pkt
Zapisanie zależności między przebytą drogą, liczbą dni wędrówki oraz liczbą kilometrów
przebytych każdego dnia przez turystę, np.:
" x + 3 " y -12 = 112
( ) ( )
albo
" x " y =112 .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .................................................................... 2 pkt
Zapisanie układu równań z niewiadomymi x i y odpowiednio: liczbą dni wędrówki i liczbą
ż#
#x " y =112
kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, np.
#
x + 3 " y
( ) ( -12 =112
)
#
#
Pokonanie zasadniczych trudności zadania ................................................................... 3 pkt
Zapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np:
#ś#
112
x + 3
( )#112 -12ś# =112 lub + 3ź# y -12 =112, lub x " 4x +12 = 112 ,
( ) ( )
ś#ź# ś#
x y
# #
# #
1
#
lub y - 3ś#" y = 112
ś# ź#
4
# #
Uwaga
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 27
Kryteria oceniania odpowiedzi
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ...................................................... 4 pkt
" rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie i nie obliczenie liczby kilometrów
przebytych każdego dnia przez turystę
albo
" rozwiązanie równania z niewiadomą x lub y z błędem rachunkowym i konsekwentne
obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę.
Rozwiązanie pełne ........................................................................................................... 5 pkt
Obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę: 28 km.
III sposób rozwiązania
Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez
turystę. Liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę opisujemy równaniem
112
y = .
x
Turysta może przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc każdego dnia o 12 km mniej,
112 112
wówczas zapisujemy równanie: = +12 .
x x + 3
Przekształcamy to równanie do postaci x2 + 3x - 28 = 0.
-3-11
Rozwiązaniem równania są: x1 = =-7 sprzeczne z założeniem x > 0
2
-3+11
i x2 == 4
2
112
Obliczamy y: y = = 28
4
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania ........................................................................................................ 1 pkt
Przyjęcie oznaczeń: x - liczba dni wędrówki, y liczba kilometrów przebytych każdego dnia
przez turystę i zapisanie zależności, np.
112
" y =
x
albo
112
" y = +12 .
x + 3
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................. 3 pkt
112 112
Zapisanie równania z jedną niewiadomą: = +12 .
x x + 3
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ...................................................... 4 pkt
" rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie i nie obliczenie liczby kilometrów
przebytych każdego dnia przez turystę
albo
" rozwiązanie równania z niewiadomą x błędem rachunkowym i konsekwentne
obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, przy czym
obliczona liczba kilometrów musi być większa od 12.
28 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................ 5 pkt
Obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę: 28 km.
Uwagi
1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów.
2. Jeżeli zdający odgadnie liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę i nie
uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.
Zadanie 33. (0 4)
Użycie i tworzenie strategii Wyznaczenie związków miarowych w sześcianie
Rozwiązanie
L
H
G
E
F
M
C
D
K
A B
2
2 1 2 5
# ś#
Trójkąt ABK jest trójkątem prostokątnym, zatem AK = +1. Stąd AK = .
ś# ź#
2 4
# #
2
2 2 2 1 5 3
# ś#
Trójkąt MAK jest trójkątem prostokątnym, zatem MK = MA + AK = + = .
ś# ź#
2 4 2
# #
Analogicznie dla trójkątów MEL i LGK obliczamy kwadraty długości boków ML i KL:
2 2 3
ML = KL = .
2
2 2 2
Ponieważ ML = KL = MK , więc trójkąt KLM jest równoboczny.
3
2
" 3
MK 3
3
2
Zatem jego pole wyraża się wzorem P = , stąd P = = 3 .
4 4 8
Uwaga
Zdający nie musi obliczać kwadratów długości boków ML i KL. Wystarczy, że korzystając
z przystawania trójkątów MAK , MEL , LGK uzasadni równość boków: ML = KL = MK .
Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 29
Kryteria oceniania odpowiedzi
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt
2 5
Obliczenie kwadratu długości odcinka AK : AK = .
4
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt
" obliczenie kwadratów długości lub długości boków trójkąta KLM:
2 2 2 3 6
ML = KL = MK = lub ML = KL = MK = i na tym poprzestanie lub
2 2
dalej popełni błędy
albo
" zauważenie, że trójkąt KLM jest równoboczny i obliczenie kwadratu długości jednego
2 3
z boków tego trójkąta, np. MK = .
2
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt
3
Obliczenie pola trójkąta KLM : P = 3 .
8
Uwaga
Akceptujemy rozwiązanie, w którym zdający przyjmuje, że długość krawędzi sześcianu jest
oznaczona literą l.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
matematyka egazmin próbny podstawowy 1matematyka egazmin CKE rozszerzonyzadania matematyka krotkie CKEwięcej podobnych podstron