KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
dr inż. Mirosław Jan Nowakowski
Projekt kolejowego Å‚uku poziomego
Ostatnie zmiany: 17 listopada 2013 r. godz. 13:11
Wszelkie prawa zastrzeżone
Spis treści
1. Wprowadzenie teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Wykorzystywane przepisy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Zjawiska fizyczne przy przejez
dzie przez Å‚uk poziomy . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Kształt geometryczny krzywej przejściowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Długość łuku krzywej przejściowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Geometria łuku kołowego z symetrycznymi krzywymi przejściowymi . . . . . 8
1.6. Stosowany układ współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7. Współrzędne punktów głównych łuku z krzywymi przejściowymi . . . . . . . 11
1.8. Minimalna długość krzywej przejściowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9. Korekta skrajni budowli na Å‚uku linii dwutorowej . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10. Przekrój poprzeczny normalny nawierzchni i podtorza . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Algorytm rozwiÄ…zania zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1. Obliczanie przechyłki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Obliczanie długości krzywej przejściowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Sprawdzenie długości części kołowej łuku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Wyznaczenie charakterystyk kątowych i liniowych układu . . . . . . . . . . . 23
2.5. Obliczenie współrzędnych punktów głównych układu . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6. Wyznaczenie kilometrażu początków i końców krzywych przejściowych . . . 24
3. Przykłady obliczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Przykład 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Przykład 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Przykład 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Przykład 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Przykład 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Przykład 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Przykład 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Przykład 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1. Wprowadzenie teoretyczne
1.1. Wykorzystywane przepisy
Przy realizacji zadania za podstawę prawną należy przyjąć:
1
Pomoce dydaktyczne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
Rozporzadzenie Ministra Transportu i Gospodarki Morskiej w sprawie warun-
ków technicznych, jakim powinny odpowiadać budowle kolejowe i ich usytu-
owanie (Dziennik Ustaw 1998 nr 151 poz. 987), oznaczane dalej w treści tego
dokumentu jako Dz.U. 1998 nr 151 poz. 987.
Warunki techniczne utrzymania nawierzchni na liniach kolejowych Id-1 (D-1)
oznaczane dalej jako Warunki Id-1.
 Standardy Techniczne  szczegółowe warunki techniczne dla modernizacji
lub budowy linii kolejowych do prędkości Vmax 200 km/h (dla taboru
konwencjonalnego) / 250 km/h (dla taboru z wychylnym pudłem) z 2009 r.
Tom 2 Skrajnia budowlana linii kolejowych oznaczane dalej jako Standardy
2009.
1.2. Zjawiska fizyczne przy przejez
dzie przez Å‚uk poziomy
Przy analizie i projektowaniu układu geometrycznego toru kolejowego w planie
ruch pociągu rozpatruje się jako ruch punktu materialnego skupionego w środku
ciężkosci przekroju poprzecznego pojazdu, poruszającego się ze stałą prędkością
po trajektorii określonej osią toru kolejowego, nie uwzględniając oporów ruchu.
Z 1-go prawa dynamiki Newtona wynika, że przy v = const, podczas ruchu
po torze prostym jedyną siłą działającą na pojazd o masie m jest siła grawitacji.
Natomiast podczas ruchu po Å‚uku poziomym o promieniu R pojawia siÄ™ dodatkowa
siła działająca w płaszczyz
nie poziomej  siła odśrodkowa F wyrażana wzorem
v2
F = m · (1)
R
Podczas przejazdu przez układ geometryczny zbudowany z dwóch prostych
ułozonych na płaszczyz
nie poziomej, skierowanych w różne strony i połączonych
łukiem poziomym (rys. 1) występują zmiany:
promienia (na prostej r = ", na Å‚uku r = R), albo inaczej  krzywizny toru
(na prostej k = 0, na Å‚uku k = 1/R);
zwiazane z tym zmiany sił i przyspieszeń działających w płaszczyz
nie poziomej
prostopadle do osi toru (na prostej F = 0 i a = 0, natomiast na Å‚uku F = m·v2/R
i a = v2/R).
Na styku prostej z łukiem kołowym występuje nagła, skokowa zmiana przyspie-
szenia odsrodkowego. Jest to niekorzystne dla spokojności jazdy, komfortu pasaże-
rów i bezpieczeństwa ruchu. Dlatego w torach głównych na szlakach i stacjach nie
P K
k = 0 a = 0 k = 1/R a = v 2/R k = 0 a = 0
Rys. 1. Wykres zmian krzywizny toru i przyspieszeń w płaszczyz
nie poziomej podczas
ruchu pojazdu po Å‚uku poziomym
2
Pomoćę yda1tycznę
R
R
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
F
F
W G
G
W G
Hz Hw
P
P s P Pz s Pw
P
(a) (b) (c)
Rys. 2. Rozkład sił i reakcji nawierzchni kolejowej podczas ruchu po torze: a) prostym,
b) położonym w łuku bez przechyłki, c) położonym w łuku z przechyłką teoretycz-
na. G  grawitacja, F  siła odśrodkowa, W  siła wypadkowa, P, Pz, Hz, Pw,
Hw  reakcje nawierzchni, h  przechyłka, s  rozstaw szyn (mierzony między
ich osiami).
łączy się bezpośrednio prostej z łukiem, lecz na ich styku wykonuje się dodatko-
wy element geometryczny  k r z y w ą p r z e j ś c i o w ą. Zapewnia ona ciągłą
i monotoniczną zmianę krzywizny toru od wartości k = 0 na prostej do wartości
k = 1/R na styku z łukiem kołowym o promieniu R, co w konsekwencji umożliwia
płynną zmianę przyspieszenia niezrównoważonego an od wartości 0 na prostej do
v2/R na łuku kołowym.
Krzywa przejściowa likwiduje skokową zmianę przyspieszenia, nie wpływa
jednak na wartość przyspieszenia odśrodkowego działającego na pojazd podczas
ruchu po łuku poziomym. Wartość tego przyspieszenia nie jest obojętna dla
komfortu jazdy, bezpieczeństwa ruchu i trwałości nawierzchni kolejowej. Z rys. 2b
wynika, ze podczas jazdy po łuku występuje przeciążenie zewnętrznego toku
szynowego. Prowadzi to do jego szybszego zużycia. Ponadto zwiększenie siły F
do wartosci, przy której kierunek siły wypadkowej W wypadnie powyżej punktu
podparcia koła na zewnętrznym toku szynowym może doprowadzić do wykolejenia
pociagu.
Wpływ siły odśrodkowej można zneutralizować wykonując w łuku tzw. p r z e -
c h y ł k ę,  układając zewnętrzny tok szynowy wyżej od toku wewnętrznego. Na
rys. 2c przedstawiono sytuację, gdy przechyłka o wartości h całkowicie niweluje
wpływ siły odśrodkowej występującej podczas ruchu po łuku poziomym  wy-
padkowa W siły grawitacji i siły odśrodkowej celuje wzdłuż pionowej osi symetrii
pojazdu, prostopadle do podłogi wagonu, dokładnie w oś toru. Istotny dla naszej
analizy kat między prostopadłą do podłogi wagonu a pionem kąt ą można wyrazić
w postaci zależności
F m · f f
tg Ä… = = = ,
G m · g g
3
h
P%Ełm%Ełć
dydÄ…ktyczne
s
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
gdzie:
f przyspieszenie dośrodkowe;
g przyspieszenie ziemskie.
W związku z powyższym badając zachowanie pojazdu szynowego na torze po-
łozonym w łuku poziomym posługujemy się analizą przyspieszenia dośrodkowego
v2
f = . (2)
R
Przechyłka przedstawiona na rysunku 2c nosi miano p r z e c h y ł k i t e o -
r e t y c z n e j (h = h0). Nazwa ta ma uzasadnienie. Dla danego promienia R
i danej prędkości v0 istnieje jedna przechyłka teoretyczna h0 = h(R, v0). W praktyce
na liniach kolejowych prowadzony jest przeważnie ruch mieszany, czyli ruch
pociągów o różnych masach i prędkościach (nieliczne wyjątki to metro i niektóre
linie specjalnego przeznaczenia). Jeżeli po takim łuku pociąg będzie się poruszał
z predkością v > v0, to pojawi się w nim przyspieszenie niezrównoważone
skierowane na zewnątrz łuku i przeciążony będzie zewnętrzny tok szynowy. Jeżeli
natomiast pociąg będzie się poruszał z prędkością v < v0, to przyspieszenie
niezrównowazone będzie skierowane do środka łuku (rys. 3). W praktyce ustala
się graniczne wartości przyspieszeń skierowanych na zewnątrz i do wewnątrz
łuku, i przy projektowaniu przechyłki na liniach o ruchu mieszanym uwzględnia
się zarówno maksymalną prędkość pociągów pasażerskich vp, jak i minimalną
prędkosć pociągów towarowych vt.
f
f
C 0
C 0
Ä…
Ä…
g
g
a
A B
A B
K
K M
Ä… M
Ä…
N
N
(a) (b)
Rys. 3. Możliwe kierunki działania przyspieszenia niezrównoważonego: a)  w ruchu
pociągów pasażerskich; b)  w ruchu pociągów towarowych. g  przyspieszenie
ziemskie, f  przyspieszenie odśrodkowe, a  przyspieszenie niezrównoważone.
4
h
h
Pomoce dżąktycżne
a
s
s
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
Wartosć przyspieszenia niezrównoważonego skierowanego na zewnątrz łuku,
występującą w ruchu pociągów pasażerskich, wyznaczamy z rys. 3a. Z widocznego
na nim trójkąta K M N wynika, że:
h
sin Ä… = ,
s
natomiast z trójkąta ABO otrzymujemy zależność
f - a
tg Ä… = .
g
Poniewaz kÄ…t Ä… jest bardzo maÅ‚y (w praktyce hmax H" 0,1 · s), można przyjąć, że
sin Ä… H" tg Ä… ,
skÄ…d otrzymujemy:
h f - a
= ,
s g
v2
p
- a
h
R
= ,
s g
v2 · h
g
p
a = - .
R s
Przyspieszenie to nie może przekraczać wartości dopuszczalnej w ruchu pocią-
gów pasazerskich, czyli
v2 · h
g
p
a = - ap . (3)
R s
Podobne rozumowanie prowadzi do wyznaczenia przyspieszenia niezrówno-
wazonego skierowanego do środka łuku, gdy w ruchu najwolniejszych pociągów
towarowych na łuku wystąpi nadmiar przechyłki. Z rys. 3b mamy:
h f + a
sin Ä… = H" tg Ä… = ,
s g
2
vt
+ a
h
R
= ,
s g
2
g · h vt
a = - ,
s R
skąd ostatecznie, wprowadzając dopuszczalną wartość przyspieszenia niezrówno-
wazonego w ruchu pociągów towarowych at, otrzymujemy:
2
g · h vt
a = - at . (4)
s R
Wzory (3) oraz (4) majÄ… podstawowe znaczenie przy analizie granicznych
wartosci promienia, przechyłki i prędkości na łuku poziomym.
5
ToAoc
ydaktŹczné
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
łuk kołowy
krzywa przejS
ciowa
kkp
prosta
x
pkp
rampa przechyłkowa
x
L
Rys. 4. Typowe wzajemne położenie krzywej przejściowej i rampy przechyłkowej
Jest oczywiste, że przechyłka powinna występować wyłącznie na łuku. W torze
prostym oba toki szynowe muszą być ułożone na tej samej wysokości. Na styku pro-
stej z Å‚ukiem powstaje zatem problem analogiczny jak przy zmianie przyspieszenia
niezrównoważonego  należy umożliwić ciągłą i monotoniczną zmianę przechyłki
toru od wartości 0 na prostej do wartości h w punkcie jej połączenia z łukiem koło-
wym (przy założeniu, że przechyłka na łuku występuje). Odcinek toru, na którym
jest to realizowane nosi nazwÄ™ r a m p y p r z e c h y Å‚ k o w e j.
Współzależność zjawisk powodujących konieczność wykonania krzywej przej-
ściowej oraz rampy przechyłkowej ma skutek praktyczny: krzywa przejściowa po-
winna być wykonana w tym samym miejscu co rampa przechyłkowa i mieć taką
samą długość (rys. 4).
1.3. Kształt geometryczny krzywej przejściowej
W Polsce  podobnie jak w wielu innych krajach  powszechnie stosowanÄ…
krzywą przejściową jest parabola trzeciego stopnia (rys. 5) o równaniu:
x3
y = , (5)
6 · R · L
gdzie:
R promień łuku kołowego [m];
L długość krzywej przejściowej [m];
x, y współrzędne prostokątne [m] w układzie jak na rys. 5.
Krzywa ta charakteryzuje się liniowym wzrostem krzywizny między jej począt-
kiem i koncem. Odpowiada jej zatem rampa przechyłkowa o takim samym (tzn.
liniowym) wzroście przechyłki na jej długości.
Podstawowe charakterystyki kątowe i liniowe krzywej przejściowej, to:
kÄ…t nachylenia stycznej do krzywej ¾ w koÅ„cu krzywej przejÅ›ciowej kkp,
obliczany ze wzoru
d x3 x2 L
tg ¾ = = = ; (6)
dx 6 · R · L 2 · R · L 2 · R
x=L
x=L
odcięta srodka łuku kołowego obliczana ze wzoru
xs = L - R · sin ¾ ; (7)
6
h
Tomóce dydaktyczne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
S
y
łuk kołowy
kkp
T
K
Å‚uk paraboli
pkp
P M kkp' x
xs
L
Rys. 5. Krzywa przejściowa w postaci paraboli trzeciego stopnia
rzędna końca krzywej przejściowej obliczana ze wzoru
x3 L2
yk = = ; (8)
6 · R · L 6 · R
x=L
przesunięcie łuku do wewnątrz wyrażane wzorem
n = yk - R · (1 - cos ¾) ; (9)
długość stycznej do krzywej w jej początku, tzn. w pkp, obliczana ze wzoru
L2
yk L 2
6 · R
Tpkp = P M = L - = L - = L - = · L ; (10)
L
tg ¾ 3 3
2 · R
długosć stycznej do krzywej w jej końcu, tzn. w kkp, obliczana ze wzoru
L
Tkkp = M K = . (11)
3 cos ¾
W praktyce funkcjonują przybliżone wzory na obliczanie niektórych z podanych
wyzej wartości:
L L2
xs H" , n H" .
2 24 · R
W czasach powszechnego dostępu do elektronicznej techniki obliczeniowej oraz
systemów precyzyjnej geodezji satelitarnej ich stosowanie jest nieuzasadnione,
a wręcz utrudnia korzystanie z komputerowego wspomagania w procesie projekto-
wania linii kolejowych.
7
R
k
y
n
PoAóce dydaktyczne
R
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
1.4. Długosć łuku krzywej przejściowej
W niektórych przypadkach (np. przy obliczaniu kilometrażu linii czy obliczaniu
zmian długosci toru przy jego regulacji) niezbędna jest znajomość długości krzywej
przejsciowej mierzonej po krzywiz
nie, to znaczy Lk = l(PK).
Długość łuku krzywej przejściowej Lk określa całka
L
Lk = 1 + f (x)2 dx . (12)
0
Po podstawieniu do tego wyrażenia pierwszej pochodnej funkcji (5) otrzymuje-
my
L
x4
Lk = 1 + dx .
4R2L2
0
Całki tej nie można wyrazić za pomocą funkcji elementarnych, konieczne jest
zatem rozwinięcie wyrażenia podcałkowego w szereg i całkowanie jego kolejnych
wyrazów. W konsekwencji otrzymujemy wzór
L2 L4 L6
Lk = L 1 + - + - . . . .
40 · R2 1152 · R4 13312 · R6
Proste oszacowanie błędu w szeregu przemiennym zbieżnym pozwala zalecić
do praktycznego stosowania wzór ograniczony do trzech pierwszych wyrazów
rozwinięcia:
L2 L4
Lk = L 1 + - . (13)
40 · R2 1152 · R4
1.5. Geometria łuku kołowego z symetrycznymi krzywymi przejściowymi
W praktyce przy trasowaniu linii kolejowej najczęściej występuje sytuacja, gdy
odcinki proste są połączone z łukami kołowymi za pomocą krzywych przejściowych
o jednakowej długości. Mamy wtedy do czynienia z układem symetrycznym
względem dwusiecznej kąta wierzchołkowego (rys. 6).
8
Pomoce dydaktycz
Å„é
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
W
Å‚
W 1
Ä…
B
¾ ¾
kkp1 kkp2
M1
M2
pkp1
pkp2
Å‚/2
Å‚
Ä…
¾ ¾
S
Rys. 6. Układ geometryczny łuku kołowego z symetrycznymi krzywymi przejściowymi
Przy rozwiązywaniu takiego układu dane są:
promień łuku kołowego R [m];
długość krzywej przejściowej L [m];
kąt zwrotu trasy ł [ć%], [g], [RAD].
Majac te dane należy w pierwszej kolejności obliczyć charakterystyki krzywej
przejÅ›ciowej (¾, xS, yk, n, Tpkp, Tkkp), po czym można przystÄ…pić do wyznaczenia
wartości pozostałych charakterystyk kątowych i liniowych całego układu: kąta
ą, na którym oparta jest część kołowa łuku zawarta między końcami krzywych
przejsciowych, strzałki łuku Z oraz długości stycznych Ts, T0 i Tk:
Ä… = Å‚ - 2¾ , (14)
Å‚
Z = (R + n) sec - 1 + n , (15)
2
Å‚
Ts = (R + n) · tg , (16)
2
T0 = xs + Ts , (17)
Ä…
Tk = R · tg . (18)
2
Długosć części kołowej łuku  w zależności od jednostek, w jakich podany jest
kąt ą  należy wyznaczyć z jednego z poniższych wzorów:
9
Z
Tomoćę dydaktyczne
S
T
0
T
k
T
T
k
k
p
T
p
k
p
S
x
n
R
R
R
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
R · Ä„ · Ä…g R · Ä„ · Ä…ć%
k = R · Ä…RAD = = (19)
200g 180ć%
1.6. Stosowany układ współrzędnych
Finalnym efektem każdego projektu trasy komunikacyjnej jest jej wytyczenie w te-
renie. W tym celu konieczne jest posłużenie się pewnym przyjętym układem współ-
rzędnych, w którym można w sposób jednoznaczny określić położenie każdego
punktu trasy.
W geodezji ogólnej, w której powierzchnią odniesienia jest płaszczyzna, jednym
ze stosowanych układów współrzędnych jest kartezjański płaski układ współrzęd-
nych prostokątnych (rys. 7). Tworzą go dwie prostopadłe do siebie osie x i y, przy
czym:
dodatni kierunek osi x wskazuje na północ (N),
dodatni kierunek osi y wskazuje na wschód (E),
kierunek orientuje się przez określenie jego azymutu, który definiujemy jako kąt
poziomy pomiędzy dodatnim kierunkiem osi x a danym kierunkiem, mierzony
zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Z przedstawionej definicji azymutu wynika, że dla odcinka łączącego dwa różne
punkty A i B możemy określić dwa azymuty, przy czym  w zależności od użytych
jednostek kÄ…towych:
g

Az- = Azć% + 180ć% = Azg + 200
- -

AB
BA BA
Do określenia współrzędnych dowolnego punktu wystarczy (rys. 8):
znajomość współrzędnych punktu odniesienia A,
znajomość odległości d od punktu odniesienia A do punktu o szukanych
współrzednych B,

znajomość azymutu Az - od punktu odniesienia A do punktu o szukanych
AB
współrzędnych B.
Mając powyższe dane możemy zapisać:
1-sza ćwiartka
4-ta ćwiartka
2-ga ćwiartka
3-cia ćwiartka
Rys. 7. Układ współrzędnych prostokątnych płaskich. xA, yA  współrzędne punktu A; Az
 azymut od punktu 0 do punktu A.
10
PomocÄ™ dydaktyczne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
Rys. 8. Wyznaczanie współrzędnych punktów na płaszczyz
nie w geodezyjnym układzie
współrzędnych prostokątnych

xB = xA + d · cos(Az- ) ,
AB
(20)

yB = yA + d · sin(Az- ) .
AB
Jest to zarazem związek między prostokątnym układem współrzędnych, a ukła-
dem biegunowym, w którym położenie punktu na płaszczyz
nie określone jest przez
element kątowy (azymut) oraz liniowy (odległość).
1.7. Współrzędne punktów głównych łuku z krzywymi przejściowymi
Punkty główne łuku z krzywymi przejściowymi to punkty W , pkp1, M1, kkp1,
pkp2, M2, kkp2 oraz W 1 na rys. 6. Ich współrzędne możemy wyznaczyć, znając:
wartości jego charakterystyk liniowych i kątowych;
połozenie dowolnego punktu w terenie, do którego można dowiązać projekto-
wany układ  w naszych rozważaniach będą to zawsze współrzędne wierzchoł-
ka głównego układu W (xW , yW );
azymuty stycznej wejściowej Az1 (podany w stronę d o w i e r z c h o ł k a) oraz
stycznej wyjściowej Az2 (podany w stronę o d w i e r z c h o ł k a).
Azymuty stycznej początkowej (wejściowej) oraz końcowej (wyjściowej) poda-
wane są zgodnie z rosnącym kilometrażem linii. To wystarcza do obliczenia kąta
zwrotu trasy ł oraz zorientowania układu, tzn. określenia, czy jest to łuk skręcający
w prawo (prawostronny), czy skręcający w lewo (lewostronny). Ilustruje to rys. 9.
Generalnie kÄ…t zwrotu trasy wyznacza siÄ™ odejmujÄ…c azymut stycznej poczÄ…t-
kowej od azymutu stycznej końcowej. Wówczas wartość bezwzględna działania
oznacza wartość kąta, tzn:
Å‚ = |Az2 - Az1|
Znak działania (z pominięciem wartości bezwzględnej) oznacza kierunek za-
kretu:
i f (Az2 - Az1) < 0 then zakręt w lewo.
i f (Az2 - Az1) > 0 then zakręt w prawo.
11
P%EÅ‚moce ydaktyczne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
W
Å‚
(x , y )
2 2
Az2
(x , y )
1 1
Az1
Rys. 9. Interpretacja danych do wyznaczania kąta ł i kierunku zakrętu
Wyjątek stanowi sytuacja, gdy jeden z azymutów leży w 4-tej ćwiartce układu
współrzędnych, a drugi  w 1-szej lub 2-giej. Wówczas azymut leżący w ćwiartce
4-tej należy zredukować, odejmując od niego wartość 360ć%. Ilustruje to przykład 3
ze str. 25.
Znajac kierunek, w którym skręca trasa, ustalamy wartość dodatkowego para-
metru µ, który pozwoli na uproszczenie dalszych wzorów. Wartość ta wynosi:
1 dla układu prawostronnego (skręcającego w prawo)
µ =
-1 dla układu lewostronnego (skręcającego w lewo)
Współrzędne punktów głównych układu  przy założeniu, że wszystkie kąty są
podane w [ć%]  obliczamy za pomocą poniższych wzorów.
Współrzędne początku krzywej przejściowej na stycznej początkowej obliczamy
ze wzorów:
xpkp1 = xW + T0 · cos(Az1 + 180ć%) , (21)
ypkp1 = yW + T0 · sin(Az1 + 180ć%) . (22)
Do obliczenia współrzędnych początku krzywej przejściowej na stycznej końco-
wej stosujemy wzory:
xpkp2 = xW + T0 · cos Az2 , (23)
ypkp2 = yW + T0 · sin Az2 . (24)
Współrzędne punktu M1 na stycznej początkowej obliczamy  w zależności od
przyjętego punktu początkowego  posługując się wzorami:
xM1 = xpkp1 + Tpkp · cos Az1 , (25)
yM1 = ypkp1 + Tpkp · sin Az1 , (26)
lub
xM1 = xW + (T0 - Tpkp) · cos(Az1 + 180ć%) , (27)
yM1 = yW + (T0 - Tpkp) · sin(Az1 + 180ć%) . (28)
12
Pomoce dydÄ…ktyczne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
Analogicznie dla punktu M2 na stycznej końcowej stosujemy wzory:
xM2 = xpkp2 + Tpkp · cos(Az2 + 180ć%) , (29)
yM2 = ypkp2 + Tpkp · sin(Az2 + 180ć%) , (30)
lub
xM2 = xW + (T0 - Tpkp) · cos Az2 , (31)
yM2 = yW + (T0 - Tpkp) · sin Az2 . (32)
Współrzędne końca pierwszej krzywej przejściowej kkp1 obliczamy, przyjmując
za punkt poczÄ…tkowy punkt M1 na stycznej poczÄ…tkowej. Mamy wtedy:
xkkp1 = xM1 + Tkkp · cos(Az1 + µ · ¾) , (33)
ykkp1 = yM1 + Tkkp · sin(Az1 + µ · ¾) . (34)
Współrzędne końca drugiej krzywej przejściowej kkp2 obliczamy, wychodząc
od współrzednych punktu M2 na stycznej końcowej:
xkkp2 = xM2 + Tkkp · cos(Az2 + 180ć% - µ · ¾) , (35)
ykkp2 = yM2 + Tkkp · sin(Az2 + 180ć% - µ · ¾) . (36)
Ostatni punkt, którego współrzędne powinniśmy obliczyć, to wierzchołek W 1
części kołowej łuku. Jego współrzędne możemy wyznaczyć w dwojaki sposób
(co pozwala na sprawdzenie poprawności obliczeń). Wychodząc od punktu kkp1
otrzymujemy zależność:
xW 1 = xkkp1 + Tk · cos(Az1 + µ · ¾) , (37)
yW 1 = ykkp1 + Tk · sin(Az1 + µ · ¾) . (38)
Takie same wyniki powinniśmy otrzymać wychodząc od współrzędnych punktu
kkp2 i korzystając ze wzorów:
xW 1 = xkkp2 + Tk · cos(Az2 + 180ć% - µ · ¾) , (39)
yW 1 = ykkp2 + Tk · sin(Az2 + 180ć% - µ · ¾) . (40)
W zadaniu styczne wejściowa jest zdefiniowana za pomocą punktu o współ-
rzednych (x1, y1) przez który przechodzi, oraz azymutu Az1. Styczną wyjściową
definiuje punkt (x2, y2) oraz azymut Az2. Mając dany punkt i azymut można ułożyć
równanie kierunkowe prostej. Rozwiązując tak uzyskany układ równań1
( y - y1) = tg(Az1) · (x - x1)
( y - y2) = tg(Az2) · (x - x2)
otrzymamy współrzędne wierzchołka głównego układu W (xW , yW ). Na linii dwu-
torowej przyjmujemy, że wierzchołek ten leży na przecięciu stycznej wejściowej
i stycznej wyjsciowej rozumianych jako osie międzytorza na prostej (rys. 10). Punkt
1
Przedstawiono tu jedynie przypadek ogólny. Istnieją jeszcze przypadki szczególne równania
kierunkowego, gdy prosta jest równoległa do jednej z osi układu współrzędnych.
13
Póm%Ełce dydąktyczne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
ten jest niezbędny do obliczeń związanych z kilometrażem punktów charaktery-
stycznych linii. Jednak do obliczeń współrzędnych punktów głównych położonych
w torze zewnętrznym i wewnętrznym konieczne jest obliczenie współrzędnych
wierzchołków Wzw w torze zewnętrznym oraz Www w torze wewnętrznym.
Wzw
Å‚
___
180 -
Az1 -
2
W Å‚
Å‚
_
2
Www
Å‚
___
180 -
Az2 +
2
Rys. 10. Wyznaczanie współrzędnych wierzchołków głównych układu w torze zewnętrz-
nym i wewnętrznym na linii dwutorowej
Azymuty, jakimi od wierzchołka W dochodzi się do wierzchołków Wzw oraz
Www są podane na rysunku. Długość z odcinków W W oraz W W wyznaczamy
zw ww
z zaznaczonego czerwonym kolorem trójkąta:
d
z = W W = W W = (41)
zw ww
Å‚
2 · cos
2
Uwzględniając możliwe kierunki zakrętu, wzory na współrzędne wierzchołków
głównych w torze zewnętrznym i wewnętrznym można przedstawić w postaci
ogólnej:
180ć% - ł
xW ww = xW + z · cos Az2 + µ · (42)
2
180ć% - ł
yW ww = yW + z · sin Az2 + µ · (43)
2
oraz
180ć% - ł
xW zw = xW + z · cos Az1 - µ · (44)
2
180ć% - ł
yW zw = yW + z · sin Az1 - µ · (45)
2
14
Pomoce dydaktyczne
Az2
Az1
_
d
2
_
d
2
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
1.8. Minimalna długość krzywej przejściowej
W praktyce inżynierskiej przy projektowaniu nowego łuku kołowego mamy dane
kąt zwrotu trasy ł oraz promień łuku kołowego R. Z porównania z listą przed-
stawioną w punkcie 1.5 wynika, że brakuje wartości trzeciego parametru geome-
trycznego niezbędnego do rozwiązania układu  długości krzywej przejściowej L.
Zamiast niej projektant otrzymuje jako dane zestaw parametrów kinematycznych:
maksymalną szybkość pociągów pasażerskich Vp [km/h];
szybkosć pociągów towarowych Vt [km/h];
dopuszczalne przyspieszenie niezrównoważone w ruchu pociągów pasażerskich
ap [m/s2] lub dopuszczalny niedomiar przechyłki "hp;
dopuszczalne przyspieszenie niezrównoważone w ruchu pociągów towarowych
at [m/s2] lub dopuszczalny nadmiar przechyłki "ht;
dopuszczalnÄ… szybkość przyrostu przyspieszenia na krzywej przejÅ›ciowej Èdop
[m/s3];
dopuszczalną szybkość podnoszenia się koła na rampie przechyłkowej fdop
[mm/s] lub określający tą szybkość parametr m;
promien Å‚uku poziomego R [m];
współrzędne wierzchołka głównego układu W (xw, yw) [m];
azymut stycznej wejściowej (początkowej) układu Az1 [ć%];
azymut stycznej wyjściowej (końcowej) układu Az2 [ć%].
Często niektóre z tych wartości nie są podane w sposób bezpośredni, lecz wy-
nikają pośrednio z innych danych oraz z obowiązujących w Polsce przepisów. Tak
jest np. z dopuszczalnym przyspieszeniem niezrównoważonym w ruchu pociągów
pasazerskich, którego wartość  przy projektowaniu pojedynczych łuków  zależy
obecnie na PKP od prędkości Vp, i wynosi:
0, 80 m/s2 dla Vp < 160 km/h,
ap =
0, 60 m/s2 dla Vp 160 km/h.
Alternatywnie, operując niedomiarem przechyłki, przyjmuje się:
122 mm dla Vp < 160 km/h,
"hp =
92 mm dla Vp 160 km/h.
Pierwszym parametrem geometrycznym, jaki należy obliczyć, jest przechyłka
h, która należy wykonać w łuku kołowym. Wyznacza się ją według następujących
zasad:
na liniach z ruchem mieszanym  z warunków na dopuszczalne przyspieszenia
w ruchu pociągów pasażerskich i towarowych;
na liniach z ruchem jednorodnym  z warunku na dopuszczalne przyspieszenia
w ruchu pociągów pasażerskich.
Przechyłke minimalną hmin z uwagi na ruch pociągów pasażerskich wyznacza
się przekształcając wzór (3) za względu na h przy a = ap. Otrzymuje się wtedy
v2 v2
s s s
p p
hmin = · - ap = · - · ap .
g R g R g
15
P%EÅ‚m%EÅ‚ce dŹdáktyćzne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
PodstawiajÄ…c do tego wzoru g = 9, 81 m/s2, s = 1500 mm oraz Vp w [km/h]
i R w [m] otrzymuje siÄ™:
2
1500 · V
1500
p
hmin = - · ap [mm] ,
9,81 · 3,62 · R 9, 81
skąd dochodzi się do ostatecznej postaci wzoru na przechyłkę hmin:
2
11,8 · V
p
hmin = - 153 · ap [mm]. (46)
R
Interpretacja obliczonej wartości jest następująca:
Jeżeli na łuku o promieniu R i przechyłce nie mniejszej niż hmin pojawi
się pociąg poruszający się z największą przewidzianą prędkością (tzn. Vp), to
rzeczywiste przyspieszenie niezrównoważone skierowane na zewnątrz łuku nie
przekroczy wartości dopuszczalnej ap.
Występującą we wzorze wartość ap można także wyrazić się za pomocą
dopuszczalnego n i e d o m i a r u p r z e c h y Å‚ k i "hp [mm], przyjmowanego ze
wzgledu na najszybsze pociągi pasażerskie:
9,81 · "hp "hp
g
ap = "hp · = = .
s 1500 153
Stąd coraz częściej można spotkać wzór (46) zapisany w postaci
2
11,8 · V
p
hmin = - "hp [mm]. (47)
R
Przechyłkę maksymalną hmax z uwagi na ruch pociągów towarowych wyznacza
siÄ™ na podstawie analogicznego rozumowania. Na podstawie wzoru (4) otrzymuje
siÄ™
2 2
s vt s vt s
hmax = · + at = · + · at .
g R g R g
Stosując podstawienie jak wyżej, tzn. g = 9,81 m/s2, s = 1500 mm, Vt w [km/h]
oraz R w [m] otrzymuje siÄ™:
11,8 · Vt2
hmax = + 153 · at . (48)
R
Interpretacja obliczonej wartości jest następująca:
Jezeli na łuku o promieniu R i przechyłce nie większej niż hmax pojawi się
pociąg towarowy poruszający się z prędkością Vt, to rzeczywiste przyspieszenie
niezrównoważone skierowane do środka łuku nie przekroczy wartości dopusz-
czalnej at.
Parametr at można wyrazić w funkcji dopuszczalnego n a d m i a r u p r z e -
c h y ł k i "ht [mm], przyjmowanego ze względu na ruch pociągów towarowych:
g 9,81 · "ht "ht
at = "ht · = =
s 1500 153
16
PoAoce dydÄ…ktyczne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
skad wynika, że wzór (48) można zapisać w postaci
11,8 · Vt2
hmax = + "ht . (49)
R
Na liniach z ruchem mieszanym przechyłka zastosowana w łuku powinna
spełniac oba powyższe warunki, czyli:
hmin h hmax [mm],
natomiast na liniach, na których nie występuje ruch pociągów towarowych,
przechyłka wynika bezpośrednio z wzoru (46) lub (47).
Dodatkowo  ze względów eksploatacyjnych i utrzymaniowych  na PKP
obowiązują następujące ograniczenia:
nie wykonuje się przechyłki mniejszej niż 20 mm;
nie wykonuje się przechyłki większej niż 150 mm (nowe przepisy z 2010 r.
w wyjątkowych przypadkach dopuszczają 160 mm lub 180 mm  w zależności
od typu linii; inne zasady obowiązują też w łukach o promieniu R < 290 m);
na długosci peronów nie wykonuje się przechyłki większej niż 110 mm;
jeżeli z obliczeń wynika hmin 0 mm, to przyjmuje się hmin = 0 mm;
jeżeli z obliczeń wynika 0 < hmin < 20 mm, to przyjmuje się hmin = 20 mm;
jezeli z obliczeń wynika hmax < 20 mm, to przyjmuje się hmax = 0 mm;
przechyłkę stopniuje się co 5 mm.
Z przedstawionych ograniczeń wynika, że w praktyce:
obliczoną ze wzoru (46) lub (47) wartość hmin należy z a o k r ą g l i ć w g ó -
r ę do najbliższej wielokrotności 5 mm;
obliczoną ze wzoru (48) lub (49) wartość hmax należy z a o k r ą g l i ć w d ó ł
do najblizszej wielokrotności 5 mm.
przechyłka może osiągnąć wartości ze zbioru
h " )#0, 20, 25, 30, . . . , 140, 145, 150*# [mm];
(z ewentualną zmianą górnej granicy zbioru w wyjątkowych sytuacjach).
Mając obliczoną przechyłkę przystępujemy do obliczenia długości krzywej
przejsciowej. Wynika ona z trzech warunków:
dopuszczalnej szybkości podnoszenia się koła na rampie przechyłkowej (czasem
zastepowanej przez tożsamy z nim warunek dopuszczalnego pochylenia rampy
przechyłkowej);
dopuszczalnej szybkość przyrostu przyspieszenia na długości krzywej przejścio-
wej;
minimalnej wartości przesunięcia łuku do wewnątrz stanowiącej kryterium
mozliwej do osiągnięcia dokładności tyczenia.
Minimalna długość krzywej przejściowej ze względu na szybkość podnoszenia
f
sie koła na rampie przechyłkowej Lmin wyraża się wzorem:
Vp · h
f
Lmin = , (50)
m
gdzie:
17
P%EÅ‚A%Ełće yáktycz
nÄ™
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
h przechyłka zastosowana na łuku kołowym [mm];
m parametr zależny od przyjętej dopuszczalnej szybkości podnoszenia się
koła na rampie przechyłkowej fdop [mm/s] (dla fdop = 28 mm/s m =
100, a dla fdop = 35 mm/s m = 125).
Sposób obliczania minimalnej długości krzywej przejściowej ze względu na
È
szybkosć przyrostu przyspieszenia Lmin zależy od tego, czy na łuku kołowym
występuje przechyłka, czy też nie. Jeżeli przechyłka występuje, tzn. h > 0, to
minimalna długość krzywej przejściowej wyraża się wzorem:
ap · Vp
È
Lmin = . (51)
3,6 · Èdop
Jezeli natomiast na łuku kołowym przechyłka nie występuje, tzn. h = 0, mini-
malną długość krzywej przejściowej ze względu na szybkość przyrostu przyspiesze-
È
nia Lmin należy obliczać za pomocą wzoru:
3
V
p
È
Lmin = 0,0214 · . (52)
R · Èdop
Minimalna długość krzywej przejściowej ze względu na dokładność tyczenia
Ln wyraza siÄ™ wzorem:
min
Ln = 0,7 · R . (53)
min
Projektowana krzywa przejściowa musi spełniać wszystkie przedstawione wyżej
warunki, zatem jej długość powinna wynosić:
w przypadku łuku z przechyłką:
f È
Lmin = sup Lmin, Lmin, Ln [m]; (54)
min
w przypadku łuku bez przechyłki:
È
Lmin = sup Lmin, Ln [m]. (55)
min
W praktyce wartość uzyskaną z warunku (54) lub (55) zaokrągla się w górę do
najblizszej wielokrotności 5 m.
1.9. Korekta skrajni budowli na Å‚uku linii dwutorowej
Przy projektowaniu długości krzywych przejściowych oraz przekroju poprzecznego
nawierzchni i podtorza na łuku linii dwutorowej o promieniu R 4000 m należy
uwzględnic:
zwiększenie rozstawu torów na łuku o wartość ar 2 z uwagi na promień łuku
i przechyłkę toru;
jednostronne poszerzenie skrajni do wewnątrz toru aw z uwagi na promień łuku
i przechyłkę toru;
2
Na zajęciach audytoryjnych parametr ten był oznaczany symbolem p. W niniejszych materia-
łach przyjęto oznaczenie zgodne ze stosowanym w najnowszych przepisach.
18
Po?o%0Å‚e dyakkycz
ne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
jednostronne poszerzenie skrajni na zewnątrz toru az z uwagi na promień łuku
i przechyłkę toru.
Sposób uwzględnienia tych wartości w projekcie przekroju poprzecznego po-
kazano na dolnym rys. 1 w zał. 1 do Warunków Id-1 oraz na rys. 3.2 b w Dz.U.
1998 nr 151 poz. 987. Z powodu niekonsekwencji w oznaczeniach tych wartości
zarówno w Warunkach Id-1 jak i w najnowszych Standardach 2009, sposób ich
wyznaczania  mimo że stabelaryzowany  wymaga wyjaśnienia.
1. Parametr oznaczony na rys. 3.2 b w Dz.U. 1998 nr 151 poz. 987 jako ar
(zwiększenie rozstawu torów) należy wyznaczać z tab. 3 Standardów 2009.
Jezeli wartość analizowanego promienia nie występuje w tabeli, parametr
ar należy przyjąć taki, jak dla istniejącego w tabeli promienia bezpośrednio
mniejszego. Jeżeli przechyłkę w obu torach projektuje się o takiej samej
wartości, należy stosować wartości z kolumn oznaczonych jako  W pozostałych
przypadkach .
2. Parametr oznaczony na rys. 3.2 b w Dz.U. 1998 nr 151 poz. 987 jako aw należy
wyznaczac ze wzoru
aw = "br + "bh (56)
gdzie:
"br należy przyjmować z tab. 1 Standardów 2009 (jeżeli analizowany pro-
mień nie występuje w tabeli należy postępować tak, jak przy wyznaczaniu
wartości ar);
"bh należy przyjmować z tab. 2 Standardów 2009 przyjmując wartość
odpowiadajÄ…cÄ… H = 4850 mm.
3. Parametr oznaczony na rys. 3.2 b w Dz.U. 1998 nr 151 poz. 987 jako az należy
wyznaczać według tab. 1 Standardów 2009 przyjmując
az = "br (57)
Należy zauważyć (wynika to z rys. 3.2 b w Dz.U. 1998 nr 151 poz. 987), że
parametr ar ma bezpośredni wpływ na zwiększenie szerokości torowiska na łuku,
natomiast parametry aw oraz az  jedynie na lokalizację słupów trakcyjnych.
W praktyce zwiększenie rozstawu torów o wartość ar uzyskuje się przez za-
stosowanie w torze wewnętrznym większej długości krzywej przejściowej (dają-
cej większe przesunięcie łuku do wewnątrz n). Ponieważ  jak wyżej wspomnia-
no  zwiekszenie rozstawu torów jest stosowane tylko w łukach o promieniach
R 4000 m, należy postępować w niżej przedstawiony sposób.
Na linii dwutorowej, jeżeli promień łuku R > 4000 m, przyjmujemy:
Rzw = R + d ,
Rww = R ,
Lzw = Lmin ,
Lww = Lmin ,
gdzie:
d rozstaw torów na prostej [m];
R dany promień łuku kołowego [m];
19
Pom%Ełce dyda1tŹczne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
Lmin długość krzywej przejściowej obliczona z zależności (54) lub (55) [m];
Rzw promień łuku w torze zewnętrznym [m];
Rww promień łuku w torze wewnętrznym [m];
Lzw długość krzywej przejściowej w torze zewnętrznym [m];
Lww długość krzywej przejściowej w torze wewnętrznym [m].
Jezeli promień łuku R 4000 m, to należy zwiększyć rozstaw torów na
łuku o wartość ar (w projekcie mamy do czynienia z sytuacją, gdy w obu
łukach jest stosowana taka sama przechyłka). Odczytaną wartość wykorzystujemy
do obliczenia promieni łuków i długości krzywych przejściowych w obu torach
w następujący sposób:
ar
Rzw = R + d + ,
2
ar
Rww = R - ,
2
Lzw = Lmin ,
Rww
Lww = · L2 + 24 · Rww · ar ,
Rzw zw
przy czym obliczoną wartość Lww zaokrągla się w górę do najbliższej wielokrotności
5 m.
1.10. Przekrój poprzeczny normalny nawierzchni i podtorza
Przekroje poprzeczne linii kolejowej projektuje się zgodnie z zasadami określonymi
w Dz.U. 1998 nr 151 poz. 987. W rozporzÄ…dzeniu zamieszczone sÄ… rysunki prze-
krojów normalnych toru dla linii kolejowych wszystkich kategorii jedno i dwutoro-
wych, na prostej i na łuku poziomym. Przekroje przedstawiają wielkości i wzajemne
usytuowanie podtorza i ułożonej na nim nawierzchni kolejowej.
Górna powierzchnia podtorza  torowisko  ma poprzeczne spadki umożli-
wiajace szybkie odprowadzenie wody opadowej z nawierzchni. Na liniach dwutoro-
wych torowisko ma pochylenia symetryczne, a dla linii jednotorowych  niesyme-
tryczne. W obu przypadkach jednolicie pochylona powierzchnia torowiska znajduje
siÄ™ pod torem kolejowym.
Na rysunkach zamieszczonych w przepisach wszystkie skarpy (nasypów, prze-
kopów, rowów i skarp pryzmy podsypki) mają standardowe pochylenia równe
1:1,5. W niestandardowych warunkach gruntowych skarpy nasypów i przekopów
moga mieć inne wartości pochyleń. Pochylenie skarp pryzmy podsypki zawsze wy-
nosi 1:1,5.
Rysunki przekrojów normalnych pokazują jednocześnie dwie sytuacje: na lewo
od osi torowiska skarpę nasypu, a na prawo od osi torowiska  rów boczny i skarpę
przekopu3. Torowisko i położona na nim nawierzchnia pozostają niezmienne
w każdej sytuacji.
W Dz.U. 1998 nr 151 poz. 987 podano wymiary torowiska jedynie dla kilku
szerokosci międzytorza (np. dla linii magistralnych i pierwszorzędnych tylko dla
wartosci 4,00 m i 4,50 m). Przy innych szerokościach międzytorza szerokość
3
Na linii jednotorowej  na lewo lub prawo od osi toru.
20
Tóm%Ełcę dydaktycżne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
torowiska należy przyjmować tak, żeby zachować identyczny związek między tymi
wartosciami, jak przy międzytorzach 4,00 i 4,50 m (przykładowo dla międzytorza
4,25 m szerokość torowiska powinna wynosić 11,25 m).
Podana na rysunkach szerokość ławy torowiska c nie jest jednoznacznie okre-
ślona, sprecyzowana jest jedynie jej wartość minimalna. W rzeczywistości war-
tosć c zależy od nominalnej grubości warstwy podsypki (oznaczonej na rysunkach
w Dz.U. 1998 nr 151 poz. 987 symbolem d), która wynika z kategorii linii, klasy
technicznej toru i wybranego standardu konstrukcyjnego nawierzchni, a na Å‚uku
 dodatkowo od wartości przechyłki i ewentualnego zwiększenia rozstawu torów
o wartość ar.
W przypadku linii dwutorowej szerokość torowiska na łuku należy przyjąć
początkowo jako równą szerokości na prostej powiększonej o wartość potrzebnego
poszerzenia międzytorza, symetrycznie na lewo i prawo od osi torowiska o wartość
0,5 · ar. Ewentualne dodatkowe zwiÄ™kszenie szerokoÅ›ci wykonuje siÄ™ tylko wtedy,
gdy wymaga tego zachowanie minimalnej szerokości ławy torowiska c. Może to być
wynikiem zwiększenia szerokości podstawy pryzmy podsypki na skutek wykonania
przechyłki toru. To poszerzenie wykonuje się jedynie po zewnętrznej stronie łuku.
Elementem przekroju poprzecznego podtorza sÄ… rowy boczne odbierajÄ…ce
wode spływającą z torowiska i skarp. Na przekrojach normalnych rów rysuje się
wyłącznie między torowiskiem a skarpą przekopu.
Szczegółowy instruktaż wykonania przekroju normalnego nawierzchni i podto-
rza na Å‚uku linii dwutorowej zostanie przedstawiony w osobnej prezentacji.
2. Algorytm rozwiÄ…zania zadania
2.1. Obliczanie przechyłki
W pierwszym etapie obliczamy dopuszczalne wartości przechyłki toru w łuku,
zgodnie z zasadami przedstawionymi w punkcie 1.8.
Dla linii, na których nie występuje ruch pociągów towarowych, przechyłkę
mamy okreslonÄ… jednoznacznie. Inaczej jest w przypadku linii o ruchu mieszanym
 z obliczeń otrzymujemy przedział, z którego możemy wybrać przechyłkę:
h " hmin; hmax
Aby zapewnić w przyszłości możliwość dostosowania linii do większych pręd-
kosci, do dalszych obliczeń przyjmujemy przechyłkę o wartości
h = hmax .
2.2. Obliczanie długości krzywej przejściowej
W drugim etapie etapie obliczamy minimalną długość krzywej przejściowej, zgod-
nie z zasadami przedstawionymi w punkcie 1.8 niniejszego opracowania.
W przypadku wykonywania projektu na linii dwutorowej dodatkowo wyzna-
czamy promienie łuków i długości krzywych przejściowych według zasad przedsta-
wionych w punkcie 1.9.
21
Pomócé dydÄ…ktycz
Å„e
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
2.3. Sprawdzenie długości części kołowej łuku
W kolejnym etapie sprawdzamy, czy przy obliczonej długości krzywej przejściowej
układ jest poprawny geometrycznie, tzn. zachowany jest warunek minimalnej
długosci części kołowej łuku, zawartej między końcami krzywych przejściowych
(punktami pkp1 i pkp2 na rys. 6).
Minimalną długość części kołowej łuku wyznaczamy ze wzoru:
Vp
kmin = sup ; 30 [m].
2,5
Rzeczywistą długość części kołowej łuku obliczamy ze wzoru (19). Na linii
dwutorowej sprawdzenie to wykonujemy w torze wewnętrznym. Uzyskany wynik
porównujemy z wartością kmin.
Jezeli kww kmin uznajemy, że mamy obliczoną długość krzywej przejściowej
i przystępujemy do kolejnego etapu rozwiązywania zadania.
Jeżeli kww < kmin podejmujemy próbę wydłużenia części kołowej łuku. Jest to
możliwe dzięki początkowemu przyjęciu do obliczeń w punkcie (2.2) przechyłki
h = hmax. Wobec tego  zmniejszając przyjmowaną do obliczeń przechyłkę 
powtarzamy iteracyjnie obliczenia z punktów (2.2)  (2.3), szukając największej
przechyłki z przedziału hmin; hmax , dla której obliczona długość krzywej przej-
ściowej L jest taka, że spełniony jest warunek kww kmin.
Jezeli  nawet przy najmniejszej możliwej długości krzywej przejściowej 
zachodzi 0 kww < kmin, stosujemy łuk paraboliczny, tzn. taki, w którym k = 0
i krzywe przejściowe stykają się ze sobą końcami (rys. 11). Jest to matematycznie
mozliwe, gdy
Ä… = 0 Ò! Å‚ = 2 · ¾ ,
Rys. 11. A
uk paraboliczny (bi-parabola)
22
Pomoce dŹakkyczńe
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
skad wynika bezpośrednio, że aby uzyskać łuk paraboliczny należy zastosować
krzywą przejsciową o długości
Å‚
L = 2 · R · tg . (58)
2
Konieczność zastosowania łuku parabolicznego w torze wewnętrznym na linii
dwutorowej determinuje zastosowanie takiego samego układu w torze zewnętrz-
nym. Takie postępowanie wynika z chęci unifikacji układu. W takiej sytuacji mamy:
ar
Rzw = R + d + ,
2
ar
Rww = R - ,
2
Å‚
Lzw = 2 · Rzw · tg ,
2
Å‚
Lww = 2 · Rww · tg ,
2
przy czym obliczonych wartość Lww i Lzw nie wolno w żaden sposób zaokrąglać,
gdyż wynikają one dokładnie z przyjętych założeń geometrycznych.
Nalezy też pamiętać, że otrzymanie wartości k < 0 przy maksymalnym
skróceniu krzywej przejściowej świadczy o błędnych założeniach projektowych 
zbyt małym promieniu łuku lub kącie zwrotu trasy.
Nalezy zwrócić uwagę, że przedstawiona powyżej możliwość skrócenia krzywej
przejściowej przez zmniejszenie wstępnie przyjętej do obliczeń przechyłki jest
możliwa jedynie na linii o ruchu mieszanym, gdy hmin < hmax i jedynie wtedy, gdy
o długości krzywej przejściowej decyduje wzór (50). Na linii o ruchu jednorodnym
przechyłka minimalna jest określona jednoznacznie, a możliwości jej optymalizacji
zalezy jedynie od tego, czy do obliczeń przyjęto wstępnie h > hmin.
Brak możliwości spełnienia warunku minimalnej długości części kołowej łuku
lub wprowadzenia łuku parabolicznego wymaga zmiany założeń projektowych:
zmniejszenia prędkości pociągów, zwiększenia promienia łuku lub zwiększenia kąta
zwrotu trasy.
2.4. Wyznaczenie charakterystyk kątowych i liniowych układu
Majac dany brakujący parametr geometryczny (długość krzywej przejściowej), obli-
czamy charakterystyki kątowe i liniowe łuku poziomego z krzywymi przejściowymi:
¾, xS, yk, n, Tpkp, Tkkp, Ä…, Ts, T0, Tk. Na linii dwutorowej obliczenia wykonujemy
osobno dla każdego toru.
2.5. Obliczenie współrzędnych punktów głównych układu
W ostatnim etapie obliczamy współrzędne punktów głównych układu, korzystając
ze wzorów (21)  (39). W przypadku linii jednotorowej niezbędne do wykonania
tych obliczen współrzędne wierzchołka głównego układu są podane w treści zada-
nia. W przypadku linii dwutorowej należy przyjąć, że wierzchołek główny układu
jest dany dla osi symetrii układu, a styczne wejściowa i wyjściowa leżą w osi torowi-
ska. Przed przystąpieniem do obliczeń współrzędnych punktów głównych, należy
23
Póm%Ełce Źaktyczńę
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
wyznaczyc współrzędne wierzchołków głównych leżących w torze wewnętrznym
i zewnętrznym, zgodnie z wzorami (42)  (45).
2.6. Wyznaczenie kilometrażu początków i końców krzywych przejściowych
Kilometraz punktów charakterystycznych położonych w obu torach linii dwutoro-
wej jest wyznaczany w odniesieniu do kilometrażu osi toru. Ponieważ w tema-
cie znany jest kilometraż punktu położonego w osi stycznej wejściowej przed po-
czątkiem łuku, kilometraż punktów pkp1 oraz pkp2 można wyznaczyć rzutując te
punkty na os stycznej wejściowej, a następnie określając odległość od tych rzutów
do punktu o danym kilometrażu.
Kilometraz pozostałych punktów uzyskamy dodając do kilometrażu punktu zna-
nego odległość do kolejnego szukanego punktu mierzoną po krzywiz
nie. Przykłado-
wo, znając kilometraż Kpkp1 początku krzywej przejściowej w torze wewnętrznym,
kilometraż punktów kkp1, kkp2 oraz pkp2 obliczymy z zależności:
Kkkp1 = Kpkp1 + Lk ww
Kkkp2 = Kkkp1 + kww
Kpkp2 = Kkkp2 + Lk ww
W podobny sposób wyznaczamy kilometraż punktów położonych w torze
zewnętrznym.
3. Przykłady obliczeń
Przykład 1
Zadanie: Obliczyć kąt zwrotu trasy i zorientować układ mając dane: Az1 = 40ć%
oraz Az2 = 100ć%.
Rozwiazanie:
Å‚ = |Az2 - Az1| = |100 - 40| = |60| = 60
Az2 - Az1 > 0 Ò! zakrÄ™t w prawo
W
Å‚
100°
40°
Rys. 12. Ilustracja zadania nr 1
24
PomocÄ™ dydaktŹćżné
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
Przykład 2
Zadanie: Obliczyć kąt zwrotu trasy i zorientować układ mając dane: Az1 = 320ć%
oraz Az2 = 260ć%.
RozwiÄ…zanie:
Å‚ = |Az2 - Az1| = |260 - 320| = | - 60| = 60
Az2 - Az1 < 0 Ò! zakrÄ™t w lewo
W
Å‚
260°
320°
Rys. 13. Ilustracja zadania nr 2
Przykład 3
Zadanie: Obliczyć kąt zwrotu trasy i zorientować układ mając dane: Az1 = 10ć%
oraz Az2 = 330ć%.
RozwiÄ…zanie:
Å‚ = |(Az2 - 360) - 10| = |(330 - 360) - 10| = | - 30 - 10| = | - 40| = 40
(Az2 - 360) - Az1 < 0 Ò! zakrÄ™t w lewo
Å‚
330°
W
10°
Rys. 14. Ilustracja zadania nr 3
25
Pomoce dydaktyczne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
Przykład 4
Zadanie: O ile należy zwiększyć rozstaw torów przy Vp = 120 km/h na łuku
o promieniu R = 1600 m i jednakowej przechyłce w obu torach?
RozwiÄ…zanie: W tabeli 3 w  Standardach w kolumnie dotyczÄ…cej przypadku, gdy
przechyłki w obu torach są równe, wartość poszerzenia dla danego promienia
R = 1600 m nie jest podana. Najbliższy podany w tabeli promień mniejszy od
podanego w zadaniu to 1500 m. Według tabeli, poszerzenie rozstawu torów 
niezależnie od wartości Vp  wynosi ar = 0,050 m. Stąd w podanym przypadku
ar = 0,050 m.
Przykład 5
Zadanie: Dla poniższych danych obliczyć długość krzywych przejściowych dla
symetrycznego Å‚uku poziomego na jednotorowej linii kolejowej.
Vp 100 km/h,
Vt 40 km/h,
ap 0,8 m/s2,
at 0,6 m/s2,
Èdop 0,5 m/s3,
m 100 ,
R 3800 m,
ć%
Å‚ 10 .
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy przechyłkę:
2
11,8 · V
11,8 · 1002
p
hmin = - 153 · ap = - 153 · 0,8 = -91, 35 Ò! hmin = 0 mm
R 3800
11,8 · Vt2 11,8 · 402
hmax = + 153 · at = + 153 · 0,6 = 96, 77 Ò! hmax = 95 mm
R 3800
Do dalszych obliczeń wstępnie przyjmujemy
h = hmax = 95 mm.
Obliczamy długość krzywej przejściowej:
Vp · h
100 · 95
f
Lmin = = = 95
m 100
ap · Vp
0,8 · 100
È
Lmin = = = 44,4
3,6 · Èdop 3,6 · 0,5
Ln = 0,7 · R = 0,7 · 3800 = 43,15
min
Do dalszych obliczeń przyjmujemy
L = sup {95; 44,4; 43,15} H" 95 m.
26
Pomoce dydaktyczne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
Sprawdzamy długość części kołowej łuku:
Vp
kmin = sup ; 30 = sup{40 ; 30} = 40 m.
2,5
L 95
¾ = arc tg = arc tg = 0,7161599ć%
2 · R 2 · 3800
Ä… = Å‚ - 2 · ¾ = 10 - 2 · 0,7161599 = 8,5676802ć%
Ä„ · R · Ä…ć% Ä„ · 3800 · 8,5676802ć%
k = = = 568,228 m.
180ć% 180ć%
Poniewaz k > kmin , do dalszych obliczeń przyjmujemy krzywą przejściową
o długości L = 95 m.
Przykład 6
Zadanie: Dla poniższych danych obliczyć długość krzywych przejściowych dla
symetrycznego Å‚uku poziomego na jednotorowej linii kolejowej.
Vp 100 km/h,
Vt 40 km/h,
ap 0,8 m/s2,
at 0,6 m/s2,
Èdop 0,5 m/s3,
m 100 ,
R 3800 m,
ć%
Å‚ 2 .
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy przechyłkę:
2
11,8 · V
11,8 · 1002
p
hmin = - 153 · ap = - 153 · 0,8 = -91, 35 Ò! hmin = 0 mm
R 3800
11,8 · Vt2 11,8 · 402
hmax = + 153 · at = + 153 · 0,6 = 96, 77 Ò! hmax = 95 mm
R 3800
Do dalszych obliczeń wstępnie przyjmujemy
h = hmax = 95 mm.
Obliczamy długość krzywej przejściowej:
Vp · h
100 · 95
f
Lmin = = = 95
m 100
ap · Vp
0,8 · 100
È
Lmin = = = 44,4
3,6 · Èdop 3,6 · 0,5
Ln = 0,7 · R = 0,7 · 3800 = 43,15
min
Do dalszych obliczeń przyjmujemy
L = sup{95; 44,4; 43,15} H" 95 m.
27
Pomoce dydaktŹczne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
Sprawdzamy długość części kołowej łuku:
Vp
kmin = max ; 30 = max(40 ; 30) = 40 m.
2,5
L 95
¾ = arc tg = arc tg = 0,7161599ć%
2 · R 2 · 3800
Ä… = Å‚ - 2 · ¾ = 2 - 2 · 0,7161599 = 0,5676802ć%
Ä„ · R · Ä…ć% Ä„ · 3800 · 0,5676802ć%
k = = = 37,650 m.
180ć% 180ć%
Poniewaz k < kmin , przeprowadzamy analizę możliwości skrócenia krzywej
przejściowej przez przyjęcie przechyłki hmin h < hmax.
Dla h = 90 mm otrzymujemy:
Vp · h
100 · 90
f
Lmin = = = 90
m 100
ap · Vp
0,8 · 100
È
Lmin = = = 44, 4
3,6 · Èdop 3,6 · 0,5
Ln = 0,7 · R = 0,7 · 3800 = 43,15
min
Wobec tego nowa długość krzywej przejściowej wynosi
L = sup{90; 44,4; 43,15} H" 90 m.
Dla tej wartości L mamy:
L 90
¾ = arc tg = arc tg = 0,6784709ć%
2 · R 2 · 3800
Ä… = Å‚ - 2 · ¾ = 2 - 2 · 0,6784709 = 0,6430582ć%
Ä„ · R · Ä…ć% Ä„ · 3800 · 0,6430582ć%
k = = = 42,649
180ć% 180ć%
k > kmin
Do dalszych obliczeń przyjmujemy krzywą przejściową o długości L = 90 m.
Przykład 7
Zadanie: Dla poniższych danych obliczyć długość krzywych przejściowych dla
symetrycznego Å‚uku poziomego na jednotorowej linii kolejowej.
Vp 100 km/h,
Vt 40 km/h,
ap 0,8 m/s2,
at 0,6 m/s2,
Èdop 0,5 m/s3,
m 100 ,
R 3800 m,
ć%
Å‚ 1 .
28
Pomoce dydaktŹczne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
Rozwiazanie:
Obliczamy przechyłkę:
2
11,8 · V
11,8 · 1002
p
hmin = - 153 · ap = - 153 · 0,8 = -91, 35 Ò! hmin = 0 mm
R 3800
11,8 · Vt2 11,8 · 402
hmax = + 153 · at = + 153 · 0,6 = 96, 77 Ò! hmax = 95 mm
R 3800
Do dalszych obliczeń wstępnie przyjmujemy
h = hmax = 95 mm.
Obliczamy długość krzywej przejściowej:
Vp · h
100 · 95
f
Lmin = = = 95
m 100
ap · Vp
0,8 · 100
È
Lmin = = = 44,4
3,6 · Èdop 3,6 · 0,5
Ln = 0,7 · R = 0,7 · 3800 = 43,15
min
Do dalszych obliczeń przyjmujemy
L = sup{95; 44,4; 43,15} H" 95 m.
Sprawdzamy długość części kołowej łuku:
Vp
kmin = sup ; 30 = max(40 ; 30) = 40 m.
2,5
L 95
¾ = arc tg = arc tg = 0,7161599ć%
2 · R 2 · 3800
Ä… = Å‚ - 2 · ¾ = 1 - 2 · 0,7161599 = -0,4323198ć% .
Układ jest zatem geometrycznie błędny  ujemna wartość kąta ą oznacza
ujemna długość k, a więc końce krzywych przejściowych krzyżują się ze sobą.
W tej sytuacji podejmujemy próbę zmniejszenia długości krzywej przejściowej
w sposób analogiczny, jak w przykładzie 2. Jednakże nawet przy najmniejszej
mozliwej do uzyskania długości krzywej przejściowej, odpowiadającej najmniej-
szej możliwej przechyłce wynoszącej h = 0 mm otrzymujemy:
3
V
1003
p
È
Lmin = 0,0214 · = 0,0214 · = 11, 26 ,
R · Èdop 3800 · 0,5
Ln = 0,7 · R = 0,7 · 3800 = 43, 15
min
wobec czego
L = sup{11,26 ; 43,15} H" 45 m.
29
PoA%EÅ‚ce dydaktycznÄ™
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
Dla takiej wartości L:
L 45
¾ = arc tg = arc tg = 0,3392474ć%
2 · R 2 · 3800
Ä… = Å‚ - 2 · ¾ = 1 - 2 · 0,3392474 = 0,3215052ć% ,
Ä„ · R · Ä…ć% Ä„ · 3800 · 0,3215052ć%
k = = = 21,323 m,
180ć% 180ć%
0 < k < kmin .
Wobec tego układ należy wykonać jako łuk paraboliczny (rys. 11 ze str. 22),
przyjmując do dalszych obliczeń długość krzywej przejściowej:
ł 1ć%
L = 2 · R · tg = 2 · 3800 · tg = 66,3241952 m.
2 2
Poniewaz długość ta wynika wyłącznie z geometrii układu, do dalszych obliczeń
należy ją przyjmować bez jakichkolwiek zaokrągleń, z jak największą dokład-
nosciÄ….
Przykład 8
Zadanie: Dla poniższych danych obliczyć długość krzywych przejściowych dla
symetrycznego Å‚uku poziomego na dwutorowej linii kolejowej.
Vp 100 km/h,
Vt 40 km/h,
"hp 122 mm,
at 0,6 m/s2,
Èdop 0,5 m/s3,
m 100 ,
R 3800 m,
ć%
Å‚ 10 ,
d 4,0 m/s2.
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy przechyłkę:
2
11,8 · V
11,8 · 1002
p
hmin = - "hp = - 122 = -90, 95 Ò! hmin = 0 mm
R 3800
11,8 · Vt2 11,8 · 402
hmax = + 153 · at = + 153 · 0,6 = 96, 77 Ò! hmax = 95 mm
R 3800
Do dalszych obliczeń wstępnie przyjmujemy
h = hmax = 95 mm.
Obliczamy długości krzywych przejściowych:
Vp · h
100 · 95
f
Lmin = = = 95
m 100
ap · Vp
0,8 · 100
È
Lmin = = = 44,4
3,6 · Èdop 3,6 · 0,5
Ln = 0,7 · R = 0,7 · 3800 = 43,15
min
30
Pomoce dyda1kyczne
KATEDRA TRANSPORTU SZYNOWEGO, POLITECHNIKA GDAC
SKA
Do dalszych obliczeń przyjmujemy
L = sup {95; 44,4; 43,15} H" 95 m.
Poniewaz dany promień łuku R 4000 m, wymagane jest zwiększenie rozstawu
torów na łuku. Po odczytaniu z odpowiedniej tablicy wartości poszerzenia
ar = 0,020 m, obliczamy promienie łuków i długości krzywych przejściowych:
ar 0,020
Rzw = R + d + = 3800 + 4,00 + = 3804,010
2 2
ar 0,020
Rww = R - = 3800 - == 3799,990
2 2
Lzw = L = 95
Rww
Lww = · L2 + 24 · Rww · ar =
Rzw zw
3799,990
= · 952 + 24 · 3799,990 · 0, 020 = 104,11 H" 105
3804,010
Sprawdzamy długość części kołowej łuku w torze wewnętrznym:
Vp
kmin = sup ; 30 = sup{40 ; 30} = 40 m.
2,5
Lww 105
¾ww = arc tg = arc tg = 0,7915382ć%
2 · Rww 2 · 3799,990
Ä…ww = Å‚ - 2 · ¾ww = 10 - 2 · 0,7915382 = 8,4169236ć%
Ä„ · Rww · Ä…ć% Ä„ · 3799,990 · 8,7915382ć%
ww
kww = = = 558, 217 m.
180ć% 180ć%
Poniewaz kww > kmin , do dalszych obliczeń przyjmujemy:
Rzw = 3804,010 m
Rww = 3799,990 m
Lzw = 95,000 m
Lww = 105,000 m
31
Pomoc
dydaktyczEe