AGH  WYDZIAA
IMiR ROK I D
EGZAMIN Z MATEMATYKI, TERMIN A
KRAKÓW, 28.01.04
1.
a) co to znaczy, \
e funkcja y = f(x) jest ciągła w punkcie x0?
b) Dobierz parametry a i b tak, aby funkcja
Å„Å‚
ôÅ‚ax + b dla x < -2
ôÅ‚
2
f (x)= + x - 4 dla x d" 2
òÅ‚x
ôÅ‚bsin - 2)
(x
ôÅ‚
dla x > 2
ół x - 2
była ciągła w zbiorze R.
2.
a) Podaj interpretacjÄ™ geometrycznÄ… pochodnej funkcji f(x).
b) Znajdz
punkt na krzywej y = ln x, w którym styczna jest równoległa do prostej y = 2x. Napisz równanie
tej stycznej.
3.
a) Co to znaczy, \
e prosta y = ax+b jest asymptotÄ… funkcji y = f(x) w + " ? Jak wyznaczamy
współczynniki tej prostej?
1
x
b) Znajdz
wszystkie asymptoty funkcji y = e - x
4.
a) Podaj w formie twierdzeń wnioski z twierdzenia Lagrange a dotyczące monotoniczności funkcji.
b) Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji y = x2x.
5.
a) Podaj i uzasadnij wzór na całkowanie przez części.
(3x - 4)dx
b) Oblicz całkę:
+"
4x2 + 5x - 8
6.
a) Podaj w formie twierdzeń dwie własności całek oznaczonych.
e2
dx
b) Oblicz całkę oznaczoną:
+"
x 1+ ln x
1
7.
"
a) Podaj definicję całki niewłaściwej f (x)dx
+"
a
"
dx
b) Zbadaj zbie\
ność całki:
+"
x
1
8. Linia y2 = 2xe-2 x obraca się wokół swojej asymptoty. Znajdz
objętość bryły ograniczonej
powierzchnią, która utworzy się w wyniku tego obrotu.