Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Katedra Automatyki
i Technik Informacyjnych (E-3)
Automatyka
Laboratorium
 Badanie stabilności liniowego układu 3 rzędu z opóz
nieniem. Wpływ
opóz
nienia na stabilność  symulacja komputerowa 
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest sprawdzenie czy zdefiniowany przez prowadzącego liniowy układ
dynamiczny jest stabilny, stosując kryterium Hurvitza oraz zamodelowanie wyżej wymienionego
układu w środowisku  Simulink . Przy pomocy programu, lub obliczeń należy sprawdzić wpływ
parametrów układu na stabilność.
2. Opis teoretyczny zagadnienia stabilności liniowych układów
2.1. Stabilność układu automatycznej regulacji
Stabilność układu automatycznej regulacji jest to właściwość układu polegająca na powrocie
do stanu równowagi po ustaniu wymuszenia, które wytrąciło układ z tego stanu, lub osiągnięciu
nowego stanu równowagi, jeśli wymuszenie pozostało na stałym poziomie. Jest to jedno
z najważniejszych zagadnień w automatyce, ma też fundamentalne znaczenie w teorii sterowania.
Stabilność jest zatem podstawową własnością jaką powinien spełniać każdy system
automatycznej regulacji. Intuicyjnie pojęcie stabilności mówi, że gdy podamy na wejście systemu
dowolny sygnał ograniczony, wówczas na jego wyjściu y(t) otrzymamy również sygnał ograniczony
(definicja według Laplace a).
Układ zamknięty liniowy i stacjonarny opisany równaniem (1) jest stabilny, jeżeli dla skończonej
wartości zakłócenia przy dowolnych wartościach początkowych jego odpowiedz
ustalona przyjmuje
skończone wartości.
( )
5ØQÜ5Ø[Ü5ØeÜ(5ØaÜ) 5ØQÜ5Ø[Ü-15ØeÜ(5ØaÜ) 5ØQÜ5ØZÜ5ØbÜ 5ØaÜ 5ØQÜ5ØZÜ-15ØbÜ(5ØaÜ)
(1)
( ) ( )
5ØNÜ5Ø[Ü + 5ØNÜ5Ø[Ü-1 + ï" + 5ØNÜ05ØeÜ 5ØaÜ = 5ØOÜ5ØZÜ + 5ØOÜ5ØZÜ-1 + ï" + 5ØOÜ05ØbÜ 5ØaÜ
5ØQÜ5ØaÜ5Ø[Ü 5ØQÜ5ØaÜ5Ø[Ü-1 5ØQÜ5ØaÜ5ØZÜ 5ØQÜ5ØaÜ5ØZÜ-1
Transmitancja operatorowa tego układu ma postać:
( )
5ØOÜ5ØZÜ5Ø`Ü5ØZÜ + 5ØOÜ5ØZÜ-15Ø`Ü5ØZÜ-1 + ï" + 5ØOÜ15Ø`Ü + 5ØOÜ0 5Ø?Ü 5Ø`Ü
(2)
( )
5Ø:Ü 5Ø`Ü = =
( )
5ØNÜ5Ø[Ü5Ø`Ü5Ø[Ü + 5ØNÜ5Ø[Ü-15Ø`Ü5Ø[Ü-1 + ï" + 5ØNÜ15Ø`Ü + 5ØNÜ0 5Ø@Ü 5Ø`Ü
Stąd jego równanie charakterystyczne:
Automatyka mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3)
( ) (3)
5Ø@Ü 5Ø`Ü = 5ØNÜ5Ø[Ü5Ø`Ü5Ø[Ü + 5ØNÜ5Ø[Ü-15Ø`Ü5Ø[Ü-1 + ï" + 5ØNÜ15Ø`Ü + 5ØNÜ0 = 0
Gdzie: a  rzeczywiste współczynniki równania charakterystycznego
i
W ujęciu matematycznym warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, ażeby układ
zamknięty był stabilny jest, aby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego układu
zamkniętego miały ujemne części rzeczywiste, czyli powinny znajdować się w lewej półpłaszczyz
nie
płaszczyzny zmiennej zespolonej s. Rozwiązanie tego równania wystarczy, więc dla stwierdzenia czy
dany układ liniowy jest stabilny. Jednak w praktyce ta metoda nie zawsze jest dogodna i wystarczająca.
Z tego względu zostały opracowane metody pozwalające na badanie stabilności bez rozwiązywania
równania charakterystycznego są to tzw. kryteria stabilności. Kryteria te dzielą się na: algebraiczne do,
których należą kryteria Routha i Hurwitza oraz częstotliwościowe Michajłowa i Nyquista.
Pierwiastki równania charakterystycznego mogą być wyrażone jako
5Ø`Ü5ØVÜ = 5Øß5ØVÜ Ä… 5ØWÜ5Øß5ØVÜ, 5ØVÜ = 1,2, & , 5Ø[Ü (4)
( )
Gdzie: 5Øß5ØVÜ = 5ØEÜ5ØRÜ 5Ø`Ü5ØVÜ
Warunki stabilności:
·ð Re(si)<0 dla i=1,2,3,4...  ukÅ‚ad stabilny asymptotycznie
·ð Re(si)=0 dla dowolnego (jednego) i , pozostaÅ‚e Re(si)<0  ukÅ‚ad na granicy stabilnoÅ›ci
·ð Re(si)>0 dla dowolnego (dwóch lub wiÄ™cej) i  ukÅ‚ad niestabilny
Powyższa metoda nazywana jest często  Metodą biegunów . Wymaga obliczenia pierwiastków
równania charakterystycznego , stąd pojawiły się jej odpowiedniki (wymagające mniej obliczeń
arytmetycznych).
2.2. Transmitancja zastępcza układu regulacji
Rzeczywiste systemy często składają się z mniejszych, połączonych i przez to współzależnych,
prostych obiektów. Dlatego istotna jest ich reprezentacja za pomocą modeli odzwierciedlających
rzeczywiste struktury połączeń. Pojedyncze układy dynamiczne mogą tworzyć struktury o różnym
stopniu złożoności. Najbardziej powszechne są połączenia szeregowe, równoległe, szeregowo-
równoległe i ze sprzężeniem zwrotnym, mające podstawowe znaczenie przy tworzeniu bardziej
złożonych struktur systemów. Stąd wywodzi się, fundamentalny w automatyce, złożony system
dynamiczny zwany Układem Automatycznej Regulacji (UAR). Jest on złożona struktura szeregowa
(najczęściej składająca się z dwóch pojedynczych układów), zawierająca dodatkowo pętlę ujemnego
sprzężenia zwrotnego.
Wyznaczanie transmitancji zastępczej G zamkniętego układu regulacji
z
Rysunek 1 Schemat blokowy zamkniętego układu regulacji (ze sprzężeniem zwrotnym)
2
Automatyka mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3)
( )
5Ø:Ü 5Ø`Ü
( )
5Ø:Ü5ØgÜ 5Ø`Ü = (5)
( )
1 + 5Ø;Ü 5Ø`Ü 5Ø:Ü(5Ø`Ü)
Gdzie: G(s)  transmitancja toru głównego, H(s)  transmitancja toru sprzężenia zwrotnego
Wyznaczanie transmitancji zastępczej połączenia szeregowego i równoległego
transmitancji.
Gdy dwa lub więcej członów zostanie połączone szeregowo, mogą one być wówczas zastąpione
jednym, reprezentującym je członem (układem), którego transmitancją zastępczą będzie iloczyn
transmitancji poszczególnych członów składowych.
Rysunek 2 Szeregowe połączenie transmitancji
( ) ( )
5Ø:Ü5ØgÜ 5Ø`Ü = 5Ø9Ü 5Ø`Ü 5Ø:Ü(5Ø`Ü) (6)
Członów (określonych przez bloki) nie można zestawić równolegle bez użycia sumatora. Człony
połączone sumatorem pokazane powyżej mają całkowitą transmitancję zastępczą będącą sumą
transmitancji poszczególnych członów składowych.
Rysunek 3 Równoległe połączenie transmitancji
( ) ( )
5Ø:Ü5ØgÜ 5Ø`Ü = 5Ø9Ü 5Ø`Ü + 5Ø:Ü(5Ø`Ü) (7)
2.3. Kryterium stabilności Hutvitza
Kryterium stabilności Hurwitza jest metodą pozwalającą określić stabilność zamkniętego układu
regulacji na podstawie równania charakterystycznego (3) układu.
Z punktu widzenia algebry kryterium Hurwitza pozwala sprawdzić, czy wszystkie pierwiastki równania
charakterystycznego leżą w lewej półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej , co pociąga za sobą stabilność
układu. Na potrzeby kryterium wykorzystujemy ciąg wyznaczników, utworzonych ze współczynników
równania charakterystycznego:
3
Automatyka mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3)
Aby układ regulacji był asymptotycznie stabilny muszą zostać spełnione następujące warunki:
1. Wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego a dla i=0,1,2,& n istnieją i są tego
i
samego znaku.
2. Wszystkie wyznaczniki "1, "2, & , "5Ø[Ü sÄ… dodatnie
W przeciwnym razie układ jest niestabilny. Jeśli jednak któryś z podwyznaczników jest równy zeru,
a pozostałe warunki są spełnione, to oznacza, że równanie charakterystyczne układu ma między innymi
pierwiastki urojone i wtedy układ znajduje się na granicy stabilności.
Przykład
Za pomocą kryterium Hurwitza zbadać stabilność układu zamkniętego, którego równanie
charakterystyczne ma postać:
( )
5Ø@Ü 5Ø`Ü = 5Ø`Ü5 + 65Ø`Ü4 + 45Ø`Ü3 + 75Ø`Ü2 + 115Ø`Ü + 2 = 0
Zauważmy, że spełniony jest warunek konieczny stabilności, ponieważ wszystkie współczynniki
równania charakterystycznego są dodatnie.
Wyznacznik Hurwitza utworzony ze współczynników wielomianu tego równania ma postać:
Obliczamy wartość wyznacznika za pomocą polecenia det(macierz), które wprowadzamy w oknie
poleceń MATLAB-a według poniższej składni. Argumentem polecenia det zapisanym w nawiasach
okrągłych jest macierz współczynników wyznacznika Hurwitza, która z kolei zapisana jest w nawiasach
4
Automatyka mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3)
kwadratowych. Poszczególne elementy wierszy tej macierzy oddzielone są odstępami, natomiast
wiersze  oddzielone są średnikami.
delta_5=det([6 7 2 0 0;1 4 11 0 0;0 6 7 2 0;0 1 4 11 0;0 0 6 7 2]),
delta_5 = -5846
Wniosek:
Ujemna wartość wyznacznika Hurwitza wskazuje na to, że badany układ jest niestabilny.
3. Instrukcja wykonania ćwiczenia
Dany jest układ dynamiczny zamknięty.
a) Za pomocą kryterium Hurwitza należy zbadać stabilność układu przedstawionego na zajęciach.
Proponowanym sposobem, jest wykonanie obliczeń w programie Matlab, lub ręcznie. Należy
wykreślić na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej wszystkie bieguny układu zamkniętego. Oprócz
tego należy pokazać jego zachowanie i zapas bezpieczeństwa przy zmianie parametrów układu.
Które parametry mają krytyczny wpływ na stabilność układu, a które znikomy?
Parametry układu należy dobrać samodzielnie tak, aby uzyskać układ stabilny/na granicy
stabilności, niestabilny.
b) W środowisku Simulink należy zbudować model układu dynamicznego przedstawionego przez
prowadzącego ćwiczenie. Rezultatem tej części ćwiczenia powinny być przebiegi wielkości
wyjściowej układu y(t) w dziedzinie czasu. Należy wykreślić odpowiedz
stabilnego/na granicy
stabilności i niestabilnego.
4. Sprawozdanie
Forma sprawozdania oraz aspekty, które powinny zostać w nim wymienione, obliczone i opisane
przedstawione zostały poniżej.
1. Wstęp
·ð Czym jest stabilność ukÅ‚adów dynamicznych, podziaÅ‚ kryteriów badania stabilnoÅ›ci, jak
określić stabilność, itp.
2. Przebieg ćwiczenia
·ð Jaki byÅ‚ przebieg ćwiczenia (wÅ‚asnymi sÅ‚owami)
·ð Co należaÅ‚o wyznaczyć i w jaki sposób
·ð Schemat ukÅ‚adu podany przez prowadzÄ…cego ćwiczenie
3. Opracowanie ćwiczenia
·ð Schemat symulacyjny z programu Simulink
·ð Kod z
ródłowy (m-plik)
·ð Dobranie parametrów ukÅ‚adu tak, aby uzyskać:
o Układ stabilny.
o Układ niestabilny.
o Układ na granicy stabilności.
·ð Do każdego przypadku wymienionego powyżej należy zamieÅ›cić:
o Wartości parametrów dla jakich uzyskano pożądany stan.
5
Automatyka mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3)
o Wykres biegunów transmitancji.
o Odpowiedz
układu z  Simulink a .
o Uzasadnienie dlaczego układ dla tych parametrów uważany jest za stabilny.
4. Wnioski
·ð Ogólne wnioski i obserwacje z wykonanego ćwiczenia
·ð Które parametry ukÅ‚adu majÄ… najwiÄ™kszy wpÅ‚yw na stabilność, a które znikomy.
6