Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
Kryterium Nyquista jest metodą wykreślną pozwalającą na określanie stabilności układu zamkniętego
przez badanie własności wykresu w dziedzinie częstotliwości. Wykres Nyquista tworzony jest na
podstawie transmitancji pętli otwartej G(s)H(s) lub L(s). Wykres Nyquista pętli o transmitancji L(s)
jest wykresem L(j�) we współrzędnych biegunowych Im[L(j�)] w funkcji Re[L(j�)] gdy � zmienia
się od 0 do ". Jest to kolejny przykład użycia własności transmitancji pętli w celu określenia jakości
układu zamkniętego. Kryterium Nyquista ma następujące własności, które stanowią o użyteczności tej
metody w analizie i projektowaniu układów sterowania.
1. Dodatkowo poza określeniem stabilności absolutnej, tak jak przy użyciu kryterium Routha,
kryterium Nyquista daje również informacje o stabilności względnej układu stabilnego
i stopniu niestabilności układu niestabilnego. Daje również wskazanie o tym jak w razie
konieczności może zostać poprawiona stabilność układu.
2. Wykres Nyquista pętli otwartej G(s)H(s) lub L(s) jest bardzo łatwy do uzyskania, szczególnie
z pomocą komputera.
3. Wykres Nyquista pętli otwartej G(s)H(s) daje informację o charakterystykach w dziedzinie
częstotliwości, takich jak Mr, �r, BW.
4. Wykres Nyquista jest bardzo użyteczny w układach z czystym czasem opóz
nienia, które nie
mogą być rozważane przy użyciu kryterium Routha lub Hurwitza, i są trudne do analizy przy
użyciu metody linii pierwiastkowych.
2. PROBLEM STABILNOŚCI
Kryterium Nyquista jest metodą określania położeń pierwiastków równania charakterystycznego
z dokładnością do prawej lub lewej półpłaszczyzny. W przeciwieństwie do metody linii
pierwiastkowej, kryterium Nyquista nie daje dokładnych położeń pierwiastków równania
charakterystycznego.
Zakładając, że transmitancja pętli zamkniętej układu z pojedynczym wejściem i wyjściem
(SISO) jest następująca
G(s)
T (s) = (1)
1 + G(s)H (s)
gdzie transmitancja pętli G(s)H(s) może mieć następującą postać
K(1 + T1s)(1 + T2s)...(1 + Tm s)
o
G(s)H (s) = e-T s (2)
N
s (1 + Ta s)(1 + Tb s)...(1 + Tns)
a współczynniki T mają postać liczb rzeczywistych lub zespolonych, natomiast To jest rzeczywistym
czasem opóz
nienia.
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
Równanie charakterystyczne uzyskiwane jest przez przyrównanie wielomianu mianownika M(s) do
zera, pierwiastki równania charakterystycznego są również zerami 1 + G(s)H(s). Pierwiastki równania
charakterystycznego muszą spełniać zależność
"(s)=1 + G(s)H (s) =1 + L(s) = 0 (3)
gdzie L(s) jest transmitancją pętli w postaci ogólnej (2).
2.1. IDENTYFIKACJA ZER I BIEGUNÓW
- zera transmitancji pętli: zera L(s)
- bieguny transmitancji pętli: bieguny L(s)
- bieguny transmitancji pętli zamkniętej: zera 1+ L(s) = pierwiastki równania charakterystycznego
- bieguny 1 + L(s) = bieguny L(s)
2.2. WARUNKI STABILNOŚCI.
Definiowane są dwa typy stabilności w odniesieniu do konfiguracji układu.
1. Stabilność pętli otwartej. Układ ma stabilną pętlę otwartą jeśli wszystkie bieguny transmitancji
pętli znajdują się w lewej półpłaszczyz
nie.
2. Stabilność pętli zamkniętej. Układ ma stabilną pętlę zamkniętą lub jest stabilny, jeśli bieguny
transmitancji pętli zamkniętej lub wszystkie zera 1 + L(s) znajdują się w lewej
półpłaszczyz
nie. Wyjątkiem do powyższych definicji są układy z zerami lub biegunami
znajdującymi się w początku układu.
3. PODSTAWOWE DEFINICJE
Kryterium Nyquista jest metodą graficzną i konieczne jest ustalenie pewnych podstawowych zasad,
które wykorzystywane są do interpretacji wykresu Nyquista w celu ustalenia stabilności.
3.1. PUNKT OKR
ŻONY (Encircled)
Mówi się, że punkt lub obszar na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej jest okrążony jeśli znajduje się
wewnątrz zamkniętego konturu.
Dla przykładu punkt A z rysunku 1 jest okrążony przez zamknięty kontur � , gdyż znajduje się w jego
wnętrzu. Punkt B nie jest okrążony gdyż znajduje się na zewnątrz konturu. Jeśli z zamkniętym
konturem powiązany jest kierunek, który może być zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara
(CW-clockwise) lub do niego przeciwny (CCW-counterclockwise). Kierunki nie mają znaczenia przy
określaniu okrążania.
ł
ę
�
Rys. 1. Definicja okrążania punktu przez zamknięty kontur
3.2. PUNKT ZAWARTY (Enclosed)
Mówi się, że punkt lub obszar na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej jest zawarty w zamkniętym
konturze, jeśli jest okrążany w kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara lub gdy punkt lub
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 2
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
obszar znajdują się z lewej strony konturu, który przechodzi w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara.
ł ł
ę ę
� �
(a) (b)
Rys. 2. Definicja zawierania punktu przez zamknięty kontur. (a) Punkt A jest zawarty w konturze �. (b) Punkt A
nie jest zawarty, natomiast punkt B jest zawarty w konturze �.
3.3. Liczba okrążeń
Kiedy punkt jest okrążany przez zamknięty kontur � to liczba N może być powiązana z liczbą
okrążeń tego punktu. Wartość N może być określona przez wykreślenie strzałki od tego punktu do
pewnego punktu s1 znajdującego się na zamkniętym konturze � i wtedy punkt s1 przemieszcza się
w zadanym kierunku aż powróci do punktu początkowego. N jest całkowitą liczbą okrążeń tej strzałki
i uzyskany kąt wynosi 2ĄN. Dla przykładu punkt A z rysunku 3(a) jest okrążany przez kontur �
jednokrotnie lub o 2Ą radianów, a punkt B jest okrążany dwukrotnie lub o 4Ą radianów, obydwa
punkty okrążane są w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Na rysunku 3(b) punkt A jest
okrążany przez kontur � jednokrotnie, a punkt B jest okrążany dwukrotnie. Z definicji N jest dodatnie
dla obrotów przeciwnych, a ujemne dla okrążeń zgodnych z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.
s1
s1
ę
ł
0 0
ł
ę
�
�
(a) (b)
Rys. 3. Definicja liczby okrążeń
3.4. Zasada Argumentu
Kryterium Nyquista zostało wyprowadzone dla zastosowań inżynierskich z dobrze znanej w teorii
liczb zespolonych  zasady argumentu .
Niech "(s) jest funkcją jednoznacznie określoną i ma postać równania (2), które ma skończoną
liczbę biegunów na płaszczyz
nie s. Termin funkcja jednoznacznie określona oznacza, że dla każdego
punktu na płaszczyz
nie s odpowiada tylko jeden punkt na płaszczyz
nie zespolonej "(s) włączając w to
nieskończoność. Nieskończoność na płaszczyz
nie zespolonej interpretowana jest jako punkt.
Przypuśćmy, że na płaszczyz
nie s arbitralnie wybrany został pewien zamknięty kontur � , jak
s
to pokazane zostało na rysunku 4(a). Jeśli � nie przechodzi przez żaden biegun ani zero funkcji "(s),
s
to wówczas trajektoria � będąca przekształceniem konturu � przez "(s) na płaszczyznę "(s)
" s
będzie również linią zamkniętą, jak pokazano to na rysunku 4(b).
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 3
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
� " "
j Płaszczyzna s jIm Płaszczyzna (s)
s1
s2
" )
(s1
s3
" )
(s2
�
0 0
" ) Re
(s3 "
�"
�s
(a) (b)
Rys. 4. (a) Arbitralnie wybrany zamknięty kontur na płaszczyz
nie s. (b) Odpowiadająca konturowi � linia �
s "
na płaszczyz
nie "(s)
Rozpoczynając od punktu s1, przechodzi się przez kontur � w pewnym arbitralnie wybranym
s
kierunku (w tym przypadku w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara) poprzez punkty s2
oraz s3 i następnie wraca się do punktu s1 po przejściu wszystkich punktów na linii � jak pokazano
s
to na rysunku 4(a). Trajektoria � , odpowiadająca konturowi � , startuje od punktu "(s1)
" s
i przemieszcza się poprzez punkty "(s2 ) i "(s3), odpowiadające punktom s1, s2 oraz s3
i ostatecznie wraca do punktu początkowego "(s1). Kierunek przemieszczania może być zgodny lub
przeciwny do ruchu wskazówek zegara, który jest tym samym lub przeciwnym do kierunku w którym
zorientowany jest kontur � , zależnie od rodzaju funkcji "(s).
s
Zasada argumentu może być zdefiniowana następująco:
Niech "(s) będzie jednoznacznie określoną funkcją, która ma skończoną liczbę biegunów na
płaszczyz
nie s. Przypuśćmy, że arbitralnie wybrany na płaszczyz
nie s kontur zamknięty � nie
s
przechodzi przez żadne zero ani żaden biegun funkcji "(s). Trajektoria � jest wykreślona na
"
płaszczyz
nie "(s) i odpowiada konturowi � przekształconemu przez funkcję "(s) i okrąża
s
początek układu współrzędnych tyle razy ile wynosi różnica pomiędzy liczbą zer i biegunów
funkcji "(s) które są okrążone na płaszczyz
nie s przez kontur � .
s
W postaci równania, zasada argumentu wygląda następująco:
N = Z - P (4)
N  liczba okrążeń początku układu przez � na płaszczyz
nie "(s)
"
Z  liczba zer funkcji "(s) okrążonych przez � na płaszczyz
nie s
s
P  liczba biegunów "(s) okrążonych przez � na płaszczyz
nie s
s
Ogólnie N może być dodatnie (Z > P), zerowe (Z = P) lub ujemne (Z < P). Te trzy sytuacje są opisane
poniżej bardziej szczegółowo
1. N > 0 (Z > P). Jeśli kontur na płaszczyz
nie s okrąża w pewnym kierunku więcej zer aniżeli
biegunów funkcji "(s) wówczas N jest liczbą dodatnią. W tym przypadku linia � będzie
"
okrążać początek układu płaszczyzny "(s) N razy w tym samym kierunku co � .
s
2. N = 0 (Z = P). Jeśli kontur na płaszczyz
nie s okrąża tyle samo zer co biegunów, lub żadnych
zer lub biegunów funkcji "(s), kontur � nie będzie okrążał początku układu na płaszczyz
nie
"
"(s).
3. N < 0 (Z < P). Jeśli kontur na płaszczyz
nie s okrąża w pewnym kierunku więcej biegunów
aniżeli zer funkcji "(s) wówczas N jest liczbą ujemną. W tym przypadku linia � będzie
"
okrążać początek układu płaszczyzny "(s) N razy w kierunku przeciwnym niż � .
s
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 4
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
3.5. Punkt krytyczny
Początek układu na płaszczyz
nie "(s) nosi nazwę punktu krytycznego z którego wyznaczana jest
liczba okrążeń N.
3.6. Kontur Nyquista
Wiele lat temu, kiedy Harry Nyquist [2] zajmował się rozwiązaniem problemu stabilności, który
obejmował sprawdzenie czy funkcja "(s) =1 + L(s) ma zera w prawej półpłaszczyz
nie to odkrył, że
zasada argumentu może być zastosowana do rozwiązania problemu stabilności jeśli wez
mie się pod
uwagę taki kontur � , który obejmie całą prawą półpłaszczyznę. Na rysunku 5 znajduje się linia
s
zamknięta zwana konturem Nyquista i zorientowana w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek
zegara. Kontur Nyquista nie może przechodzić przez żaden biegun i żadne zero i dlatego też gdy
znajdują się one na osi liczb urojonych to omija je. Jeśli zera lub bieguny znajdują się w prawej
półpłaszczyz
nie to są okrążane przez kontur Nyquista.
�
j " Płaszczyzna s
j
�1
j
Bieguny
"( )
s
R "
0
�
- j
�1
�s
- j
"
Rys. 5. Kontur Nyquista
3.7. Kryterium Nyquista i wykres L(s) lub G(s)H(s)
Kryterium Nyquista jest bezpośrednim zastosowaniem zasady argumentu kiedy linia zamknięta
określona na płaszczyz
nie s jest konturem Nyquista pokazanym na rysunku 5. Stabilność układu
zamkniętego może być określona przez wykreślenie funkcji "(s) =1 + L(s) , kiedy s zmienia swoje
wartości wzdłuż konturu Nyquista i bada się zachowanie wykresu "(s) względem punktu krytycznego,
który w tym przypadku jest początkiem płaszczyzny "(s).
Stąd, że funkcja L(s) jest zazwyczaj znana to prościej będzie skonstruować wykres L(s), który
odpowiada konturowi Nyquista i te same wnioski o stabilności układu zamkniętego mogą być
uzyskane przez obserwację zachowania wykresu funkcji L(s) w odniesieniu do punktu (-1, j0)
na płaszczyz
nie L(s).
Jest tak, gdyż początek układu na płaszczyz
nie "(s) =1 + L(s) odpowiada punktowi (-1, j0) na
płaszczyz
nie L(s). Stąd punkt (-1, j0) na płaszczyz
nie L(s) staje się punktem krytycznym do
określania stabilności pętli zamkniętej.
Dla układu z pojedynczą pętlą o transmitancji L(s) = G(s)H(s) określenie stabilności polega na
badaniu zachowania wykresu G(s)H(s) w odniesieniu do punktu ( 1 + j0) na płaszczyz
nie G(s)H(s).
Dany układ sterowania, który ma równanie charakterystyczne dane przez przyrównanie
wielomianu licznika 1 + L(s) do zera, gdzie L(s) jest transmitancją pętli, zastosowanie kryterium
Nyquista do problemu stabilności obejmuje następujące kroki:
1. Kontur Nyquista � definiowany jest na płaszczyz
nie s jak pokazano to na rysunku 5
s
2. Wykres L(s) odpowiadający konturowi Nyquista konstruowany jest na płaszczyz
nie L(s).
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 5
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
3. Obserwowana jest wartość N, która jest liczbą okrążeń punktu (-1, j0) przez wykres L(s).
4. Kryterium Nyquista wynika z równania (4)
N = Z - P (5)
gdzie
N  jest liczbą okrążeń punktu (-1, j0) przez wykres L(s).
Z  jest liczbą zer 1+ L(s) wewnątrz konturu Nyquista (tzn. w prawej półpłaszczyz
nie s)
P  jest liczbą biegunów 1+ L(s) wewnątrz konturu Nyquista (tzn. w prawej półpłaszczyz
nie
s); zauważ, że bieguny 1+ L(s) są takie same jak te z L(s).
Wymagania dla dwóch zdefiniowanych wcześniej typów stabilności w zależności od Z i P są
następujące:
Dla stabilności pętli zamkniętej, Z musi być równe zero.
Dla stabilności pętli otwartej, P musi być równe zero.
Warunki dotyczące stabilności przy użyciu kryterium Nyquista są następujące
N = -P (6)
Układ z pętlą zamkniętą będzie stabilny jeśli wykres L(s) będzie okrążał punkt (-1, j0) tyle razy ile
wynosi liczba biegunów L(s), które znajdują się w prawej półpłaszczyz
nie s i okrążanie jeśli jest, musi
być w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara (jeśli kontur � zdefiniowany jest w kierunku
s
przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).
4. OGÓLNE KRYTERIUM NYQUISTA DLA TRANSMITANCJI
MINIMALNOFAZOWEJ I NIE MINIMALNOFAZOWEJ
Kryterium Nyquista opisane w poprzednim rozdziale jest uciążliwe do stosowania gdy transmitancja
pętli nie jest typu minimalnofazowego. Jeśli transmitancja pętli nie jest typu minimalnofazowego, to
wówczas sprawdzenie czy wykres Nyquista pętli L(s) nie obejmuje punktu (-1, j0) na płaszczyz
nie s
jest tylko warunkiem koniecznym, a nie wystarczającym dla stabilności pętli zamkniętej.
Własności transmitancji minimalnofazowej są następujące:
1. Transmitancja minimalnofazowa nie zawiera biegunów ani zer w prawej półpłaszczyz
nie ani
na osi j�, z wyjątkiem początku układu.
2. Dla transmitancji minimalnofazowej L(s) z m zerami i n biegunami wyłączając z tego s = 0,
kiedy s = j� i jak � zmienia się od 0 do " to całkowita zmiana fazy L(j�) jest równa
(n - m)Ą 2 radianów.
3. Wartość transmitancji minimalnofazowej dla pewnej skończonej częstotliwości niezerowej nie
może być równa zero ani nieskończoność.
4. Transmitancja nieminimalnofazowa zawsze będzie miała bardziej dodatnie przesunięcie
fazowe gdy � zmienia się od " do 0. Jest to równoważne temu, że transmitancja ta będzie
miała bardziej ujemne przesunięcie fazowe gdy � zmienia się od 0 do ".
Dla układu z transmitancją nieminimalnofazową pętli L(s) oryginalne kryterium Nyquista wymaga
zrobienia wykresu pętli L(s), który odpowiada całemu konturowi Nyquista z rysunku 5. Jeśli
transmitancja pętli L(s) ma bieguny lub zera na osi liczb urojonych to wykres Nyquista musi mieć
małe nacięcia wokół nich na osi liczb urojonych j�.
Yeung [3] zaproponował uproszczoną wersję kryterium Nyquista, która pozwala na określenie
stabilności zarówno układów o transmitancjach pętli minimalno- jak również
nieminimalno-fazowych poprzez zastosowanie tylko dodatniej części osi j� z której składa się kontur
Nyquista. Jeśli układ jest typu minimalnofazowego to sprawdzenie czy punkt ( 1, j0) jest objęty jest
łatwiejsze do zastosowania. Dla układów nieminimalnofazowych poza sprawdzeniem czy punkt
(-1, j0) jest objęty wymaga sprawdzenia dodatkowego warunku kąta który musi być spełniony aby
układ o badanej transmitancji był stabilny.
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 6
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
j� Płaszczyzna s j� Płaszczyzna s
R " R "
0
� �
0
�s1 �s2
(a) (b)
Rys. 6. (a) Kontur Nyquista, (b) Alternatywny kontur Nyquista.
Rozważone zostaną dwa kontury Nyquista pokazane na rysunku 6. Kontur Nyquista �
s1
z rysunku 6(a) jest konturem oryginalnym wprowadzonym przez Nyquista, podczas gdy �
s2
z rysunku 6(b) okrążą nie tylko prawą półpłaszczyznę ale również wszystkie zera i bieguny funkcji
L(s) znajdujące się na osi liczb urojonych j�. Zdefiniowane zostaną następujące wskaz
niki.
Z  liczba zer 1 + L(s) znajdujących się w prawej półpłaszczyz
nie
P  liczba biegunów L(s) lub 1 + L(s) znajdujących się w prawej półpłaszczyz
nie
P�  liczba biegunów L(s) lub 1 + L(s) znajdujących się na osi liczb urojonych uwzględniając
również te z początku układu
N1  liczba okrążeń punktu (-1, j0) na płaszczyz
nie L(s) przez wykres Nyquista funkcji L(s)
odpowiadający konturowi �
s1
N2  liczba okrążeń punktu (-1, j0) na płaszczyz
nie L(s) przez wykres Nyquista funkcji L(s)
odpowiadający konturowi �
s2
Wówczas w odniesieniu do tych dwóch konturów pokazanych na rysunku 6 i stosownie do kryterium
Nyquista zachodzą następujące związki
N1 = Z - P (7)
oraz
N2 = Z - P - P� (8)
Przypuśćmy, że Ś1 oraz Ś2 są kątami utworzonymi przez wektor łączący wykresy Nyquista funkcji
L(s) z punktem (-1, j0), który to wykresy odpowiadają odpowiednio konturom � oraz � .
s1 s2
Wówczas
Ś1 = N1 � 360o = (Z - P)�" 360o (9)
Ś2 = N2 � 360o = (Z - P - P� )�" 360o (10)
Zauważmy, że każdy kontur Nyquista � oraz � utworzone są z trzech kawałków:
s1 s2
1. Kawałek od s = -j" do +j" wzdłuż półokręgu o nieskończonym promieniu.
2. Kawałek wzdłuż osi j� , wyłączając wszystkie małe wyżłobienia.
3. Wszystkie małe wyżłobienia znajdują się na osi j�.
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 7
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
Z konturów pokazanych na rysunku 6, które są symetryczne wokół osi liczb rzeczywistych na
płaszczyz
nie s, kąty tworzone przez wykresy Nyquista względem punktu (-1, j0) są identyczne dla
dodatnich i ujemnych wartości �. Dlatego też Ś1 oraz Ś2 są zapisywane następująco
Ś1 = 2Ś11 + Ś12 + Ś13 (11)
Ś2 = 2Ś11 - Ś12 + Ś13 (12)
gdzie
Ś11 - jest kątem utworzonym przez wykres Nyquista wielomianu L(s) w odniesieniu do punktu
(-1, j0), odpowiadający dodatniej lub ujemnej osi j� na płaszczyz
nie s wyłączając małe
wyżłobienia.
Ś12 - jest kątem utworzonym przez wykres Nyquista wielomianu L(s) w odniesieniu do punktu
(-1, j0), odpowiadający małym żłobkom na osi j� konturu � (kierunki na małych
s1
wyżłobieniach na konturze � są przeciwne do tych z konturu � , znak Ś12
s2 s1
w równaniu (12) jest ujemny)
Ś13 - jest kątem utworzonym przez wykres Nyquista wielomianu L(s) w odniesieniu do punktu
(-1, j0), odpowiadający półokręgom z nieskończonymi promieniami na konturze Nyquista.
Dla transmitancji która nie ma więcej zer niż biegunów, wykres Nyquista transmitancji L(s) który
odpowiada nieskończonemu półokręgowi musi również być punktem na osi rzeczywistej lub
trajektorii wokół początku płaszczyzny L(s). Więc kąt Ś13 tworzony przez odcinek rysowany
z punktu (-1, j0) do wykresu Nyquista wzdłuż półokręgu o nieskończonym promieniu jest zawsze
równy zero.
Teraz dodając równanie (11) do (12) i wykorzystując równanie (9) oraz (10), otrzymuje się
Ś1 + Ś2 = 4Ś11 = (2Z - 2P - P� )� 360o (13)
Rozwiązując dla Ś11 otrzymuje się
(14)
Ś11 = (Z - P - 0.5P� )�180o
Równanie to oznacza, że kąt całkowity Ś11 tworzony przez odcinek narysowany z punktu (-1, j0) do
wykresu Nyquista funkcji L(s), który odpowiada części konturu składającego się z dodatniej osi j�
płaszczyzny s wyłączając małe wyżłobienia, jeśli istnieją jest równy
Ś11 = [liczbie zer 1 + L(s) w prawej półpłaszczyz
nie zmiennej s
- liczba biegunów L(s) w prawej półpłaszczyz
nie zmiennej s
- 0.5(liczba biegunów L(s) na osi j� )]�180o (15)
Kryterium stabilności Nyquista może być stosowane po skonstruowaniu tylko tej części wykresu
Nyquista, który odpowiada fragmentowi konturu Nyquista od s = j" do s = 0. Dlatego też jeśli układ
zamknięty jest niestabilny to poprzez znajomość wartości Ś11 , P� oraz P, z równania (14) wyznacza
się liczbę pierwiastków równania charakterystycznego, które są w prawej półpłaszczyz
nie .
Dla układu zamkniętego stabilnego, Z musi być równe zero. Więc kryterium Nyquista dla
stabilności układu zamkniętego
Ś11 = -(0.5P� + P)�180o (16)
Stąd, że P� oraz P nie mogą być ujemne, równanie (16) oznacza, że kąt Ś11 utworzony przez
wykres Nyquista funkcji L(j�) w odniesieniu do punktu (-1, j0) przy zmianie � od " do 0 jest
dodatni.
Nie wystarczy że kąt Ś11 jest ujemny, musi być również spełniony warunek opisany przez równanie
(15).
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 8
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
5.1. Układ z minimalnofazową transmitancją pętli
Jeśli L(s) jest typu minimalnofazowego, wówczas P = 0 oraz P� oznacza liczbę biegunów L(s) które
znajdują się w początku układu; równanie (14) przyjmuje postać
Ś11 = (Z - 0.5P� )�180o (17)
dla stabilności układu zamkniętego Z = 0; równanie (17) upraszcza się
Ś11 = -P� � 90o (18)
Stąd, że P� oznacza liczbę biegunów L(s) które znajdują się w początku układu; to łatwo zobaczyć, że
jeśli punkt (-1, j0) nie jest obejmowany przez wykres Nyquista funkcji L(s) to Ś11 będzie zawsze
dane przez równanie (18). Jeśli L(s) jest typu minimalnofazowego, warunek że punkt (-1, j0) nie jest
obejmowany przez wykres Nyquista jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla stabilności
układu zamkniętego.
Przykład 1
Rozważony zostanie układ sterowania pokazany na rysunku 1.1. Przy użyciu kryterium
Nyquista wyznacz zakresu parametru strojonego K dla którego układ ten będzie stabilny.
R(s) R(s)
1
K
s3+5s2+9s+5
Rys. 1.1. Schemat blokowy układu sterowania
Wykres Nyquista dla układu z rysunku 1.1 pokazany jest na rysunku 1.2.
Im L(j )
Re L(j )
Rys. 1.2. Schemat blokowy układu sterowania
Rozwiązanie: Transmitancja pętli układu
K K
L(s) = G(s)H (s) = = (1.1)
(s + 1)(s + 2 - j)(s + 2 + j)
s3 + 5s2 + 9s + 5
Bieguny transmitancji pętli znajdują się w s1 = -1, s2,3 = -2 ą j. Można użyć kryterium Routha
do zweryfikowania położeń biegunów transmitancji L(s). Więc P = 0 oraz P� = 0.
Transmitancja pętli L(s) jest typu minimalnofazowego. Z równania (16), wymaganie
dotyczące stabilności układu zamkniętego jest następujące
Ś11 = -(0.5P� + P)�180o = 0o (1.2)
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 9
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
Podstawiając s = j� , równanie (1.1) ma postać
K
L(j�)= (1.3)
2 2
(5 - 5� )+ j�(9 - � )
W celu znalezienia punktu przecięcia z osią liczb rzeczywistych na płaszczyz
nie L(j�), należy
przekształcić L(j�) do postaci w której w mianowniku nie ma funkcji zespolonej
2 2
K{(5 - 5� )- j�(9 - � )}
L(j�)= (1.4)
2 2
2 2 2
(5 - 5� ) + � (9 - � )
Przyrównując część urojoną L(j�) do zera otrzymuje się
2
�(� - 9)= 0 (1.5)
Rozwiązaniami równania (1.7) są �1 = 0, �2,3 = ą3 [rad/s], które są częstotliwościami przy
których wykres L(j�) przecina oś liczb rzeczywistych na płaszczyz
nie L(j�). Dla dodatnich
wartości częstotliwości, po podstawieniu do równania (1.4) uzyskuje się dwa punkty przecięcia
z osią liczb rzeczywistych. Kiedy � = 3 [rad/s]
L(j3)= -0.025K (1.6)
natomiast dla � = 0 [rad/s]
L(j0)= 0.2K (1.7)
Warunek kąta (1.2), który jest warunkiem koniecznym stabilności tego układu będzie spełniony
jeśli punkt przecięcia z osią liczb rzeczywistych opisany wzorem (1.6) będzie z prawej, punktu
(-1, j0) natomiast punkt przecięcia (1.7) rozpatruje się dla K < 0 i musi się znajdować z lewej
strony punktu (1, j0). Uzyskuje się w ten sposób dwa warunki dotyczące stabilności układu z
rysunku 1.1.
- 0.025K > -1 (1.8)
- 0.2K < 1 (1.9)
Z rozwiązania układu równań (1.8) oraz (1.9) uzyskuje się zakres stabilności dla strojonego
parametru K
- 5 < K < 40 (1.10)
Kiedy K jest ujemne używa się wykresu funkcji (1.3) w odniesieniu do punktu (+1, j0) jako
punktu krytycznego. Dla dowolnej wartości wzmocnienia K z zakresu od -" do 0
w odniesieniu do punktu krytycznego (+1, j0) kąt Ś11 = 0o , czyli nie jest spełniony warunek
(1.2). Wniosek jest taki, że układ ten będzie stabilny dla zakresu K z zakresu (1.10).
6. STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKA
ADÓW STEROWANIA Z CZYSTYM CZASEM
OPÓy
NIENIA
Układy z czasem opóz
nienia w pętli są przedmiotem zainteresowania większej ilości problemów
stabilności aniżeli układy bez opóz
nienia. Czysty czas opóz
nienia To modelowany jest przez
o
transmitancję e-sT co powoduje, że równanie charakterystyczne układu nie ma stałych
współczynników. Dlatego też kryterium Routha nie ma tutaj zastosowania. Metoda linii
pierwiastkowych może być stosowana do układów z czystym czasem opóz
nienia, lecz konstruowanie
takich linii jest dość złożone. W tym rozdziale pokazane zostanie, że kryterium Nyquista może być
zastosowane do układów z czystym czasem opóz
nienia.
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 10
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
Transmitancja pętli układu sterowania z czystym czasem opóz
nienia wyrażona jest
w następującej postaci
o
L(s) = L1(s)e-sT (19)
gdzie L1(s) jest funkcją ze stałymi współczynnikami, a To jest czystym czasem opóz
nienia
wyrażonym w sekundach.
Stabilność układu może być badana przez konstruowanie wykresu Nyquista funkcji L(s)
i obserwację jego zachowania w odniesieniu do punktu (-1, j0). Wpływ czynnika ekspotencjalnego
w równaniu (19) jest taki, że wprowadza obroty wykresu L1(j�) dla każdego � przez kąt �To
w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Amplituda funkcji L1(j�) nie zmienia się pod
wpływem czasu opóz
nienia, wynika to stąd, że amplituda e- j�To jest jednostkowa dla wszystkich
częstotliwości.
Większość układów sterowania jest typu 1 lub wyższych i amplituda funkcji L(j�) zazwyczaj
zmierza do zera gdy � zmierza do nieskończoności. Więc wykres Nyquista transmitancji opisanej
równaniem (19) zazwyczaj zmierza spiralnie w kierunku początku układu współrzędnych w kierunku
zgodnym z ruchem wskazówek zegara gdy � zmierza do nieskończoności i stąd jest nieskończona
liczba przecięć z osią liczb rzeczywistych na płaszczyz
nie L(j�). Po skonstruowaniu wykresu
Nyquista funkcji L(j�), stabilność układu jest określana w zwykły sposób przez badanie kąta Ś11 .
Poniższy przykład ilustruje analizę stabilności układu zamkniętego z czystym czasem opóz
nienia przy
użyciu kryterium Nyquista.
Przykład 2
Rozważ układ z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym, którego transmitancja pętli otwartej ma
postać
K
o o
L(s) = L1(s)e-sT = e-sT (2.1)
s + 1
Dla czasu opóz
nienia To = 1 [s] wyznacz zakres stabilności układu.
Rozwiązanie: Dla tego układu transmitancja widmowa pętli otwartej ma następującą postać
Ke- j� K(cos� - j sin�)[1 - j�]
L( j�) = = (2.2)
2
j� + 1
1 + �
czyli
K
L( j�) = [(cos� - � sin�)- j(sin� + � cos�)] (2.3)
2
1 + �
Część urojona transmitancji widmowej L( j�) jest równa zero gdy
sin � + � cos� = 0 (2.4)
stąd
- � = tg� (2.5)
Rozwiązując to równanie dla najmniejszej wartości � uzyskuje się
� = 2.0288 [rad/s] (2.6)
Podstawiając wyznaczoną wartość � z równania (2.6) do transmitancji widmowej pętli
otwartej L( j�) (2.3), otrzymuje się
K
L( j2.0288) = (cos 2.0288 - 2.0288sin 2.0288)= -0.4421K (2.7)
1 + 2.02882
Wartość krytyczna wzmocnienia K jest uzyskiwna jest przez przyrównanie zależności (2.7) do
wartości -1.
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 11
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
- 0.4421K = -1 (2.8)
czyli
K = 2.2619 (2.9)
Na rysunku 2.1. pokazane zostały wykresy Nyquista dla transmitancji pętli z wartością
wzmocnienia krytycznego (2.9) bez opóz
nienia
Im
1
= 3
�
= 4
�
= 9
�
= 0
�
= 2.0288
�
= 8
�
1
-1 2
= 5
� Re
= 7
�
= 6
�
(a)
= 4
�
= 3
�
= 1.5
�
= 0.5
�
= 2.0288
�
= 1.5
�
= 1
-1 �
(b)
= 1
�
= 0.5
�
= 116.2o
"�
Rys. 2.1. Wykresy Nyquista dla układów opisanych transmitancjami widmowymi (a)-(2.10), (b)-(2.11).
2.2619
L1( j�) = (2.10)
j� + 1
i czasu opóz
nienia To = 1 [s]
2.2619
L(s) = L1(s)e- j�To = e- j� (2.11)
j� + 1
Z wykresu widać, że układ pierwszego rzędu bez opóz
nienia jest stabilny dla wszystkich
dodatnich wartości, natomiast dla układu z czasem opóz
nienia To = 1 [s] układ staje się
niestabilny dla K > 2.2619.
6.1. TRAJEKTORIA KRYTYCZNA
Dotychczas w analizie stabilności dla K dodatnich i ujemnych jako punkty krytyczne na płaszczyz
nie
L(j�) używane były punkty (-1, j0) oraz (+1, j0). W pewnych warunkach ideę punktu krytycznego
można rozszerzyć do trajektorii.
Z równania (20) widać, że pierwiastki równania charakterystycznego spełniają zależność
o
L1(s)e-sT = -1 (20)
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 12
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
Prawa strona powyższego równania jest faktycznie punktem krytycznym (-1, j0) w analizie
stabilności układu zamkniętego. Równanie (21) może być zapisane jako
o
L1(s) = -esT (21)
Kiedy s = j�, lewa strona ostatniego równania daje wykres transmitancji pętli przy braku czasu
opóz
nienia. Czynnik ekspotencjalny równania (22) ma amplitudę równą jeden dla wszystkich wartości
� i jego faza wynosi - �To radianów. Dlatego też prawa strona równania (22) opisuje trajektorię
krytyczną, która jest okręgiem o promieniu równym jeden i środku umieszczonym w początku układu
płaszczyzny L(j�). Kiedy � = 0, wówczas trajektoria krytyczna startuje w punkcie (-1, j0) i wraz ze
wzrostem � punkt krytyczny przemieszcza się po okręgu jednostkowym w kierunku przeciwnym do
ruchu wskazówek zegara. Poniższy przykład ilustruje zastosowanie kryterium Nyquista do badania
stabilności układu zamkniętego z czystym czasem opóz
nienia.
Przykład 3
Dana jest transmitancja pętli układu sterowania zamkniętego z czystym czasem opóz
nienia
2.2619
o o
L(s) = L1(s)e-sT = e-sT (3.1)
s + 1
Należy znalez
ć wartość graniczną czasu opóz
nienia To dla której układ ten jest stabilny. Na
rysunku 2.1. przedstawiony jest wykres Nyquista funkcji L1(j�) razem z trajektorią krytyczną
e- j�To . Częstotliwość przy której wykres L1(j�) przecina trajektorię krytyczną znajdowany
jest przez przyrównanie amplitudy L1(j�) do jedności
2.2619
L1( j�) = =1 (3.2)
1 + j�
Rozwiązując równanie (3.2) otrzymuje się dodatnie rozwiązanie dla � = 2.0288 rad/s, która jest
częstotliwością przy której wykres Nyquista funkcji L(j�) przecina okrąg o promieniu punkt
(-1, j0) na płaszczyz
nie L(j�). Kąt mierzony w rad o punktu (-1, j0) do punktu przecięcia z
wykresem L1(j�) i trajektorią krytyczną jest równy �To , gdzie � = 2.0288 rad/s, można
znalez
ć wartość krytyczną To przez przyrównanie
"L1( j2.0288) + Ą = 2.0288To (3.3)
lub
Ą - arctan� = 2.0288To (3.4)
� =2.0288
co prowadzi do
Ą -1.1128 = 2.0288To (3.5)
czyli
To =1 [s] (3.6)
7. STABILNOŚĆ WZGL
DNA: ZAPAS WZMOCNIENIA I ZAPAS FAZY
Występuje zainteresowanie nie tylko stabilnością absolutną ale również stabilnością względną.
W dziedzinie czasu, stabilność względna mierzona jest przez takie parametry jak maksymalne
przeregulowanie czy współczynnik tłumienia, w dziedzinie częstotliwości, pik rezonansowy M .
r
Inny sposób pomiaru stabilności względnej w dziedzinie częstotliwości polega na pomiarze odległości
wykresu Nyquista od punktu (-1, j0).
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 13
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
7.1. ZAPAS WZMOCNIENIA
Zapas wzmocnienia (GM) jest jednym z najczęściej używanych kryteriów do pomiaru stabilności
względnej układów sterowania. W dziedzinie częstotliwości zapas wzmocnienia używany jest do
oznaczenia bliskości przecięcia ujemnej osi rzeczywistej przez wykres Nyquista funkcji L(j�)
względem punktu (-1, j0). Przed podaniem definicji zapasu wzmocnienia, najpierw należy
zdefiniować fazę odcięcia na wykresie Nyquista i częstotliwość fazy odcięcia.
Punkt odcięcia fazy. Punkt odcięcia fazy na wykresie L(j�) jest punktem w którym wykres
przecina ujemną oś liczb rzeczywistych.
Częstotliwość graniczna fazy. Częstotliwość graniczna fazy � jest częstotliwością przy której
p
występuje punkt przecięcia fazy lub gdzie
"L(j� )=180o (22)
p
Wykres Nyquista transmitancji pętli L(j�), która jest typu minimalnofazowego pokazany jest na
rysunku 7. Częstotliwość fazy odcięcia oznaczona została jako � , a amplituda L(j�) przy której
p
� = � jest zapisana jako L(j� ) i wówczas zapas amplitudy układu z zamkniętą pętlą
p p
zapas wzmocnienia = GM = 20log = -20log L(j� ) (23)
p
L(j� )
p
Na podstawie tej definicji można wypisać następujące wnioski o zapasie wzmocnienia układu
pokazanego na rysunku 7
1. Wykres L(j�) nie przecina osi liczb rzeczywistych (brak skończonej niezerowej fazy odcięcia)
L(j� )= 0 GM = " dB (24)
p
2. Wykres L(j�) przecina osi liczb rzeczywistych pomiędzy punktami 0 oraz -1
0 < L(j� )<1 GM > 0 dB (25)
p
3. Wykres L(j�) przechodzi przez punkt (-1, j0)
L(j� ) =1 GM = 0 dB (26)
p
4. Wykres L(j�) obejmuje punkt (-1, j0)
L(j� ) >1 GM < 0 dB (27)
p
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 14
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
Płaszczyzna L(j� ) jImL
Punkt odcięcia fazy
� = �p
ReL
L(j�p )
Rys. 7. Definicja zapasu wzmocnienia we współrzędnych biegunowych
Opierając się na powyższej dyskusji, fizyczne znaczenie zapasu wzmocnienia może być streszczone
następująco:
Zapas wzmocnienia jest wielkością wzmocnienia w decybelach (dB), która może być dodana do
pętli nie powodując niestabilności.
f& Kiedy wykres Nyquista nie przecina osi liczb rzeczywistych przy żadnej skończonej
częstotliwości to wówczas zapas wzmocnienia jest nieskończony co oznacza, że teoretycznie
wartość wzmocnienia pętli może być zwiększana do nieskończoności.
f& Kiedy wykres Nyquista przechodzi przez punkt (-1, j0), zapas wzmocnienia wynosi 0 dB, co
oznacza, że wzmocnienie pętli nie może być zwiększane gdyż układ znajduje się na granicy
stabilności.
f& Kiedy przecięcie fazy znajduje się z lewej strony punktu (-1, j0), zapas wzmocnienia jest ujemny
i wzmocnienie pętli musi być zmniejszone aby uzyskać stabilność układu.
7.1.2. Zapas wzmocnienia układów nieminimalnofazowych
Dla takich układów układ może być niestabilny nawet wówczas gdy punkt przecięcia fazowego
znajduje się z prawej strony punktu (-1, j0) i wówczas dodatni zapas wzmocnienia może odpowiadać
układowi niestabilnemu.
7.2. ZAPAS FAZY
Zapas wzmocnienia jest tylko jednowymiarowym opisem stabilności względnej układu zamkniętego.
Jak sama nazwa mówi, zapas wzmocnienia oznacza stabilność układu w odniesieniu tylko do zmian
wzmocnienia pętli. W zasadzie wierzymy, że układ z dużym zapasem wzmocnienia powinien być
relatywnie bardziej stabilny niż z mniejszym zapasem wzmocnienia. Chociaż sam zapas wzmocnienia
jest nieadekwatny do oznaczania stabilności kiedy inne parametry układu poza wzmocnieniem się
zmieniają.
Aby objąć wpływ przesunięcia fazowego na stabilność wprowadzony zostanie zapas fazy (PM)
który wymaga wprowadzenia pewnych definicji:
Punkt odcięcia wzmocnienie. Punkt odcięcia wzmocnienia jest punktem na wykresie L(j�) przy
którym amplituda L(j�) jest równa 1.
Częstotliwość graniczna wzmocnienia. Częstotliwość graniczna wzmocnienia � jest
g
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 15
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
częstotliwością przy której występuje punkt odcięcia wzmocnienia lub gdzie
L(j� ) =1 (28)
g
Definicja zapasu fazy może być streszczona następująco
Zapas fazy (PM) definiowany jest jako kąt wyrażony w stopniach o który wykres L(j�) musi być
obrócony wokół początku układu aby mógł przechodzić przez punkt (-1, j0).
Na rysunku 8 pokazany został wykres Nyquista typowego wykresu minimalnofazowego L(j�) i zapas
fazy definiowany jest jako kąt pomiędzy linią która przechodzi przez punkt odcięcia wzmocnienia
i początek układu oraz ujemną osią liczb rzeczywistych na płaszczyz
nie L(j�). Zapas fazy jest
wartością czystego opóz
nienia fazowego które dodane do pętli doprowadza go do niestabilności.
Kiedy układ jest typu minimalnofazowego, analityczne wyrażenie zapasu fazy
zapas fazy = PM = "L(j� )-180o (29)
g
gdzie � jest częstotliwością graniczną wzmocnienia.
g
jImL
Płaszczyzna L(j� )
-11
ReL
Zapas
fazy
Punkt odcięcia wzmocnienia
� = �g
Rys. 8. Definicja zapasu fazy na płaszczyz
nie L(j�)
7.2.2. Zapas fazy układów nieminimalnofazowych
Kiedy transmitancja pętli jest typu nieminimalnofazowego, punkt przecięcia wzmocnienia może
pojawiać się w pewnej ćwiartce płaszczyzny L(j�) i definicja zapasu fazy danej wzorem (29) nie
zawsze będzie poprawna.
Przykład 4
Dla układu regulacji pokazanego na rysunku 1.1 i rozważanego w przykładzie 1, korzystając
z kryterium Nyquista wyznacz zapas amplitudy i fazy dla K = 10.
Rozwiązanie: Transmitancja operatorowa pętli otwartej L(s) ma postać
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 16
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
K
L(s)= (4.1)
s3 + 5s2 + 9s + 5
natomiast transmitancja widmowa pętli otwartej L(j�)
K
L(j�)= (4.2)
2 2
(5 - 5� )+ j�(9 - � )
Częstotliwość przy której wykres L(j�) przecina trajektorię krytyczną znajdowany jest przez
przyrównanie amplitudy L(j�) do jedności
K
L(j�) = =1 (4.3)
2 2
(5 - 5� )+ j�(9 - � )
Moduły liczb zespolonych licznika i mianownika wyznaczane są z twierdzenia Pitagorasa
i równanie (4.3) przekształca się do postaci
2
K
=1 (4.4)
2 2
2 2 2
(5 - 5� ) + � (9 - � )
Dalsze przekształcanie zależności (4.4) prowadzi do następującego wielomianu
6 4 2 2
� + 7� + 31� + 25 - K = 0 (4.5)
Z rozwiązania wielomianu (4.5) dla K = 10 uzyskuje się częstotliwość � przy której wykres
g
przecina trajektorię krytyczną
� =1.2864 [rad/s] (4.6)
g
Podstawiając do równania (4.2) za � wyznaczoną wartość graniczną � uzyskuje się
g
10 10
L(j1.2864)= = = e- j109.1116 (4.7)
j109.1116
- 3.2741 - j9.4488
10
Ponieważ transmitancja opisana wzorem (4.1) jest typu nieminimalnofazowego to w tym
przypadku punkt przecięcia się wykresu Nyquista z trajektorią krytyczną znajduje się powyżej
punktu krytycznego (-1, j0) i zapas fazy wyrażony w stopniach
PM = "L(j1.2864)+ 180o = 70.8884o (4.8)
Aby wyznaczyć zapas modułu trzeba znalez
ć punkty w których transmitancja widmowa opisana
wzorem (4.2) osiąga wartość fazy równą  180o, czyli punkty przecięcia wykresu Nyquista
z ujemną częścią osi liczb rzeczywistych. Sposób wyznaczania tych punktów pokazany jest
w przykładzie 1. Warunek ten spełniony jest dla jednego punktu przecięcia gdy � = 3 [rad/s]
Dla K = 10.
L(j� )= L(j3)= -0.25 (4.9)
p1
Zapas wzmocnienia w wartościach bezwzględnych
1 1
GM = = = 4 (4.10)
L(j3) 0.25
Zapasy wzmocnienia wyrażone w decybelach
1
GMdB = 20 log = 20log 4 =12.0412 [dB] (4.11)
L(j3)
Znając wartość zapasu wzmocnienia wyrażone w wartościach bezwzględnych można
wyznaczyć zakres stabilności tego układu
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 17
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
K = GM �" K = 4 �"10 = 40 (4.12)
gr
Natomiast z zapasu fazy wyrażonego w radianach można wyznaczyć maksymalny zakres dla
czasu opóz
nienia który może zostać jeszcze dodany do układu aby nie stracił on stabilności.
PMrad = � To (4.13)
g
czyli maksymalna wartość czystego opóz
nienia przy wzmocnieniu K = 10
PM 70.8884 �"Ą /180
rad
To = = = 0.9618 [s] (4.18)
� 1.2864
g
ĆWICZENIA
C.1. Transmitancja pętli układu z pojedynczą
50
pętlą L(s) dane są poniżej. Naszkicuj wykres f) L(s) =
s(s + 5)(s -1)
Nyquista L(j�) dla � = 0 do � = ". Określ
stabilność układu zamkniętego. Jeśli układ jest
3(s + 2)
g) L(s) =
niestabilny, znajdz
liczbę biegunów
s(s3 + 3s + 1)
transmitancji układu zamkniętego
znajdujących się w prawej półpłaszczyz
nie.
0.1
h) L(s) =
Wykres Nyquista L(j�) można skonstruować
s(s + 1)(s2 + s + 1)
przy użyciu programu komputerowego.
100
20
i) L(s) =
a) L(s) =
s(s + 1)(s2 + 2)
s(1 + 0.1s)(1 + 0.5s)
s2 - 5s + 2
10
j) L(s) =
b) L(s) =
s(1 + 0.1s)(1 + 0.5s) s(s3 + 2s2 + 2s + 10)
2
100(1 + s)
- 0.1(s -1)(s + 2)
c) L(s) =
k) L(s) =
s(1 + 0.1s)(1 + 0.2s)(1 + 0.5s)
s(s2 + s + 1)
10
10(s + 10)
d) L(s) =
l) L(s) =
s2(1 + 0.2s)(1 + 0.5s)
s(s +1)(s + 100)
5(s - 2)
e) L(s) =
s(s + 1)(s -1)
C.2. Transmitancje pętli L(s) układu z pojedynczą pętlą dane są poniżej. Zastosuj kryterium Nyquista
i określ
" zakres wartości K dla którego układ ten będzie stabilny.
" Wyznacz wartości wzmocnienia przy których układ znajdzie się na granicy stabilności i okres
oscylacji o stałej amplitudzie
" Dla podanego K wyznacz zapas amplitudy i fazy.
" Na podstawie wyznaczonego zapasu fazy wyznacz maksymalną wartość czystego czasu
opóz
nienia.
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 18
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
K
a) L(s) = ; Zapasy dla K = 1; Wykres Nyquista pokazany na rys C.2a.
s(s + 1)(s + 3)
Im L(j )
Re L(j )
Rys. C.2a. Wykres Nyquista
K(s + 5)
b) L(s) =
s(s + 1)(s + 2); Zapasy dla K = 1; Wykres Nyquista pokazany na rys C.2a.
K(s + 3)
c) L(s) =
s(s + 1 - j)(s + 1 + j); Zapasy dla K = 1; Wykres Nyquista pokazany na rys C.2a.
K
d) L(s) =
(s + 4)(s + 1 - j)(s + 1 + j); Zapasy dla K = 15; Wykres Nyquista pokazany na rys C.2d.
Im L(j )
Re L(j )
Rys. C.2d. Wykres Nyquista.
K(s -1 - j)(s -1 + j); Zapasy dla K = 1; Wykres Nyquista pokazany na rys C.2e.
e) L(s) =
2
(s + 1) (s + 2)
( )( )
K s -1 - j s -1 + j
f) L(s) =
(s + 1)(s + 2 - j3)(s + 2 + j3); Zapasy dla K = 5; Wykres Nyquista pokazany na rys C.2f.
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 19
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
Im L(j� )
Re L(j� )
Rys. C.2e. Wykres Nyquista.
Im L(j )
Re L(j )
Rys. C.2f. Wykres Nyquista.
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEC

C1.
a) Ś11 = (Z - 0.5)�"180o = 270o , Z = 2, niestabilny
b) Ś11 = (Z - 0.5)�"180o = -90o , Z = 0, stabilny
a) Ś11 = (Z - 0.5)�"180o = 270o , Z = 2, niestabilny
d) Ś11 = (Z -1)�"180o = 180o , Z = 2, niestabilny
e) Ś11 = (Z -1- 0.5)�"180o = -90o , Z = 1, niestabilny
f) Ś11 = (Z -1- 0.5)�"180o = 90o , Z = 2, niestabilny
g) Ś11 = (Z - 2 - 0.5)�"180o = -90o , Z = 2, niestabilny
h) Ś11 = (Z - 0.5)�"180o = -90o , Z = 0, stabilny
i) Ś11 = (Z - 0.5�"3)�"180o = 90o , Z = 2, niestabilny
j) Ś11 = (Z - 2 - 0.5)�"180o = -90o , Z = 2, niestabilny
k) Ś11 = (Z - 0.5)�"180o = -90o , Z = 0, stabilny
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 20
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
l) Ś11 = (Z - 0.5)�"180o = -90o , Z = 0, stabilny
m) Ś11 = (Z - 0.5)�"180o = -90o , Z = 0, stabilny
n) Ś11 = (Z - 0.5)�"180o = 270o , Z = 2, niestabilny
C2.
2 2
- 4� + j�(� - 3)
a) Warunek konieczny stabilności: Ś11 = -90o ; L( j�) = K
2 2
2 2 2
(- 4� ) +� (3 -� )
Częstotliwości przy których wykres przecina oś rzeczywistą: �1 = 1.7321 [rad/s]
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�1) = -0.0833K
Stabilny dla 0 < K < 12, Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 12, Tosc = 3.6276 [s]
kr
Dla K = 1; zapas wzmocnienia, GM = 21.5836 dB (� =1.7321 [rad/s]),
p
zapas fazy PM = 66.4445o (� = 0.3161 [rad/s])
g
maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia To = 3.6689 [s].
4 2 2
-� -13� + j�(2� -10)
b) Warunek konieczny stabilności: Ś11 = -90o ; L( j�) = K
2 2
2 2 2
(- 3� ) + � (2 -� )
Częstotliwości przy których wykres przecina oś rzeczywistą: �1 = 2.2361 [rad/s]
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�1) = -0.3333K
Stabilny dla 0 < K < 3, Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 3, Tosc = 2.8099 [s]
kr
Dla K = 1; zapas wzmocnienia, GM = 9.5424 dB (� =2.2361 [rad/s]),
p
zapas fazy PM = 18.7842o (� = 1.3110 [rad/s])
g
maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia To = 0.2501 [s].
4 2 2
-� - 4� + j�(� - 6)
c) Warunek konieczny stabilności: Ś11 = -90o ; L( j�) = K
2 2
2 2 2
(- 2� ) +� (2 -� )
Częstotliwości przy których wykres przecina oś rzeczywistą: �1 = 2.4495 [rad/s]
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�1) = -0.25K
Stabilny dla 0 < K < 4, Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 4, Tosc = 2.5651 [s]
kr
Dla K = 1; zapas wzmocnienia, GM = 12.0412 dB (� = 2.4495 [rad/s]),
p
zapas fazy PM = 31.6686o (� = 1.2687 [rad/s])
g
maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia To = 0.4356 [s].
2 2
- 6� + 8 + j�(� -10)
d) Warunek konieczny stabilności: Ś11 = 0o ; L( j�) = K
2 2
2 2 2
(- 6� + 8) +� (10 -� )
Częstotliwości przy których wykres przecina oś rzeczywistą: �1 = 0 , �2 = 3.1623[rad/s]
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�1) = 0.1250K ; L( j�2 ) = -0.0192K
Stabilny dla -8 < K < 52, Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 52, Tosc = 1.9869 [s]
kr
Dla K = 15; zapas wzmocnienia, GM = 10.7982 dB (� = 3.1623 [rad/s]),
p
zapas fazy PM = 53.4977o (� = 1.6794 [rad/s])
g
maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia To = 0.5560 [s].
4 2 4 2
6� - 20� + 4 + j�(-� +15� -14)
e) Warunek konieczny stabilności: Ś11 = 0o ; L( j�) = K
2 2
2 2 2
(- 4� + 2) +� (5 -� )
Częstotliwości przy których wykres przecina oś rzeczywistą: �1 = 0 , �2 = 1 ,�3 = 3.7417 [rad/s]
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�1) = K ; L( j� ) = -0.5K , L( j�3 ) = 0.2222K
2
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 21
Teoria sterowania Badanie stabilności - Kryterium Nyquista
Stabilny dla -1 < K < 2, Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 2, Tosc = 6.2832 [s]
kr
Dla K = 1; zapas wzmocnienia, GM = 6.0206 dB (� = 1 [rad/s]),
p
zapas fazy PM = 180.0o (� = 0 [rad/s])
g
maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia To = " [s].
4 2 4 2
7� - 57� - 26 + j�(-� + 29� - 60)
f) Warunek konieczny stabilności: Ś11 = 0o ; L( j�) = K
2 2
2 2 2
(- 5� +13) +� (17 -� )
Częstotliwości przy których wykres przecina oś rzeczywistą: �1 = 0 , �2 = 1.4974 ,�3 = 5.1728 [rad/s]
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�1) = 0.1538K ; L( j�2 ) = -0.1355K , L( j�3 ) = 0.2050K
Stabilny dla -4.8788 < K < 7.3788, Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 7.3788, Tosc = 4.1959 [s]
kr
Dla K = 5; zapas wzmocnienia, GM = 3.3803 dB (� = 1.4974 [rad/s]),
p
zapas fazy PM1 = -72.7824o (� = 2.4709 [rad/s]), max wartość czasu opóz
nienia To = 2.0288 [s].
g1
zapas fazy PM2 = 176.9657o (� = 5.3192 [rad/s]), max wartość czasu opóz
nienia To = 0.5807 [s].
g 2
Literatura
1. Kuo B. C. Automatic Control of Dynamic Systems, 7th ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995.
2. Nyquist H.,  Regeneration Theory , Bell Syst. Techn. Journal, Vol. 11, pp. 126-147, 1932.
3. Yeung K. S.,  A Reformulation of Nyquist s Criterion , IEEE Transaction Education, Vol. E-28,
pp. 58-60, Feb. 1985.
Ostatnia aktualizacja: 05-06-14 � M. Tomera 22