Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Mirosław Tomera
1. CHARAKTERYSTYKI CZ
STOTLIWOŚCIOWE UKA
ADÓW DYSKRETNYCH
Wszystkie metody częstotliwościowe zdefiniowane dla układów ciągłych mogą zostać zaadoptowane
do analizy układów dyskretnych.
R(s) E(s) E*(s) Y(s) Y*(s)
ZOH G(s)
T T
Gh0(s)
Rys. 1. Układ zamknięty sterowania dyskretnego
Rozważony zostanie układ sterowania dyskretnego pokazany na rysunku 1 dla którego transmitancja
układu zamkniętego
Y (z) Gh0G(z)
T (z) = = (1)
R(z) 1 + Gh0G(z)
gdzie Gh0G(z) jest transformatą Z transmitancji Gh0G(z) . Tak jak w przypadku układów ciągłych,
warunki stabilności zamkniętego układu dyskretnego mogą być badane przez tworzenie wykresów
funkcji Gh0G(z) w dziedzinie częstotliwości.
1.2. PRZEKSZTAA
CENIE PUNKTÓW Z OKR
GU JEDNOSTKOWEGO
Dodatnia oś j� płaszczyzny s odpowiada częstotliwości rzeczywistej, dziedzina wykresu
częstotliwości Gh0G(z) uzyskiwana jest przez podstawienie
j�T
z = e (2)
przy zmianie � od 0 do ". Jest to równoważne przekształceniu punktów z okręgu jednostkowego,
j�T
z =1 , na płaszczyz
nie z na równoważną płaszczyznę Gh0G(e ). Okrąg jednostkowy powtarzany
jest dla każdej częstotliwości próbkowania �s (= 2Ą T ), jak zostało to pokazane na rysunku 2, kiedy
j�T
� zmienia się wzdłuż osi j�, dziedzina wykresu częstotliwościowego G(e ) powtarza się dla
częstotliwości od � = n� do (n + 1)�s , n = 0, 1, 2,.... Stąd konieczność robienia wykresu
s
j�T
Gh0G(e ) tylko dla zakresu od � = 0 do � = �s . Ponieważ okrąg jednostkowy jest symetryczny
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
j�T
względem osi liczb rzeczywistych to wykres Gh0G(e ) tworzony we współrzędnych walcowych
powinien być realizowany w zakresie � = 0 do � 2 .
s
j j m z
Płaszczyzna
Płaszczyzna
s
s = j
z
j
= /4
s
s
j /2
s
= /2 = 0
s
1 0 1
0
Re z
Okrąg
jednostkowy
= 3 /2
s
Rys. 2. Zależność pomiędzy osią j� z płaszczyzny s i okręgiem jednostkowym z płaszczyzny z.
10.2. WYKRESY CZ
STOTLIWOŚCIOWE TWORZONE PRZY UŻYCIU PRZEKSZTAA
CENIA W
j�T
Niestety transmitancja dyskretna G(z) po podstawieniu z = e zazwyczaj staje się funkcją
niewymierną i dlatego nie jest możliwe prowadzenie dalszej analizy dyskretnych charakterystyk
częstotliwościowych na płaszczyz
nie z. Wyjściem z tej trudności jest transformacja płaszczyzny z na
inną (nazywaną w) gdzie analiza ta jest możliwa. Wprowadza się nową zmienną w, która zastępuje
zmienną z przez podstawienie
2 z -1
w = (3)
T z + 1
Aby dokonać przekształcenia płaszczyzny z na płaszczyznę w, do transmitancji G(z) podstawia się
2
+ w
m + w
T
z = = (4)
2
m - w
- w
T
gdzie m = 2 T . Wyrażenie (4) uzyskuje się z przekształcenia równania (3). W dziedzinie
częstotliwości dokonuje się podstawienia
2 �T
w = j�w = j tg (5)
T 2
Do analizy częstotliwościowej układów dyskretnych, podstawia się równanie (4) i równanie (5) do
(
G(z) aby otrzymać G j�w ); następnie może być ta transmitancja przedstawiana w postaci wykresu
Bodego lub wykresu Nyquista. Przykład 1 ilustruje sposób wyznaczania charakterystyk
częstotliwościowych dla układów dyskretnych.
Charakterystyki częstotliwościowe dla liniowych układów dyskretnych mogą być w łatwy
sposób wyznaczane przy użyciu funkcji bode, nyquist, nichols zawartych w bibliotece
MATLABA w sposób następujący
sysD = tf( numD, denD, T)
bode( sysD)
nyquist( sysD)
nichols( sysD)
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 2
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Przykład 1
Dla układu z rysunku 1 transmitancja procesu ciągłego opisana jest następująco
1
G(s) = (1.1)
s + 1
Okres próbkowania w tym układzie wynosi T = 1 [s]. Należy wyznaczyć charakterystyki
częstotliwościowe układu.
Rozwiązanie. Transmitancja dyskretna połączenia kaskadowego ekstrapolatora zerowego rzędu
i procesu
0.6321
L(z) = Gh0G(z) = (1.2)
z - 0.3679
Częstotliwość (pulsację) próbkowania wyznacza się ze wzoru
2Ą
�s = = 2Ą [rad/s] (1.3)
T
j�T
Odpowiedz
częstotliwościowa Gh0G(z) uzyskiwana jest przez podstawienie z = e do
równania (1.2).
0.6321 0.6321(- 0.3679 + cos�T - j sin �T )
j�T j�T
L(e )= Gh0G(e ) = = (1.4)
j�T 2
2
e - 0.3679 (- 0.3679 + cos�T + sin �T
)
j�T
Wykres Nyquista Gh0G(e ) w zakresie od � = 0 do � 2 , uzyskany na podstawie równania
s
(1.4) pokazany został na rysunku 1.1. Wykres ten kończy się przy częstotliwości � = �s 2 = Ą
[rad/s].
j Im Gh0G(ej T)
= 0
=
1 Re Gh0G(ej T)
j�T
Rys. 1.1. Wykres Nyquista Gh0G(e )
j�T j�T
Wykres Bodego Gh0G(e ) składający się wykresu modułu Gh0G(e ) w [dB] oraz
j�T
"Gh0G(e ) w stopniach w zależności od � pokazany został na rys. 1.2.
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 3
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
0
-2
-4
-6
-8
0.01 0.1 1 10
[rad/s]
0
-50
-100
-150
-200
0.01 0.1 1 10
[rad/s]
j�T
Rys. 1.2. Wykres Nyquista Gh0G(e )
W inny sposób wykresy Bodego i Nyquista mogą zostać wyznaczone przy użyciu
przekształcenia w po dokonaniu podstawienia do transmitancji dyskretnej L(z) zależności (4). W
tym przypadku dla układu opisanego transmitancją (1.2) uzyskuje się
- 0.0321�" w + 1.2642
L(w) = (1.5)
1.3679 �" w + 1.2642
Podstawiając w = j�w do równania (1.5) i przekształcając to nowo powstałe równanie do
postaci algebraicznej uzyskuje się
2
- 0.8647 �"�w + 1.5983 - j2.5285 �"�w
L( j�w ) = (1.6)
2
1.5983 + 1.8711�"�w
Wykresy transmitancji opisanych wzorami (1.4) oraz (1.6) pokazane są na rysunku 1.3. Należy
zauważyć, że współrzędne częstotliwości dla transmitancji (1.6) wyrażone są w funkcji �
w
podczas gdy transmitancji (1.4) we współrzędnych �.
0
-2
-4
-6
-8
0.01 0.1 1 10
[rad/s]
w
0
-50
-100
-150
-200
0.01 0.1 1 10
[rad/s]
w
Rys. 1.3. Wykresy Bodego transmitancji (1.4) (linia ciągła) oraz (1.6) (linia przerywana).
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 4
Moduł [dB]
Faza [deg]
Amplituda [dB]
Faza [dB]
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Wykresy z rysunku 1.3 różnią się między sobą. Aby wykresy te pokrywały się należy częstotliwość
� przeliczyć na współrzędne � według zależności (5).
w
Wyniki w tym przykładzie uzyskane zostały przy użyciu następującego kodu programu.
clear
close all
% Transmitancja operatorowa
numGpC = 1;
denGpC = [1 1];
sysGpC = tf( numGpC, denGpC)
%sisotool( sysGpC)
T = 1; % Okres próbkowania
sysGoD = c2d( sysGpC, T, 'zoh')
[numD, denD] = tfdata( sysGoD, 'v')
% Współczynniki licznika i mianownika transmitancji dyskretnej
b0 = numD(2);
a1 = denD(1); a0 = denD(2);
% Charakterystyki częstotliwościowe
% Współczynniki licznika i mianownika transmitancji
% uzyskane w wyniku przekształcenia w
b1w = -b0*T
b0w = 2*b0
a1w = T*(a1-a0)
a0w = 2*(a1+a0)
w = [0:0.01:pi]; % Zakres częstotliwości
[RE, IM] = nyquist( sysGoD, w); % Współrzędne wzorcowe
[m,n] = size( RE);
for i = 1:n
Re(i) = RE(:,:,i);
Im(i) = IM(:,:,i);
Mm = 20*log10( abs( Re(i) + Im(i)*j));
fiG(i) = angle( Re(i) + Im(i)*j)*180/pi;
% Dyskretna transmitancja widmowa uzyskana
% po podstawieniu z = exp(jwT)
ReGz(i) = b0*(a0+cos(w(i)*T))/((a0+cos(w(i)*T))^2 +,...
sin(w(i)*T)^2);
ImGz(i) = -b0*sin(w(i)*T)/((a0+cos(w(i)*T))^2 + sin(w(i)*T)^2);
MGz(i) = 20*log10( abs( ReGz(i) + ImGz(i)*j));
fiGz(i) = angle( ReGz(i) + ImGz(i)*j)*180/pi;
% Dyskretna transmitancja widmowa uzyskana
% w wyniku przekszatałcenia w
% w1 = w(i)
w1 = (2/T)*tan(w(i)*T/2);
ReGw(i) = (b0w*a0w + a1w*b1w*w1^2)/(a0w^2 + a1w^2*w1^2);
ImGw(i) = w1*(b1w*a0w - a1w*b0w)/(a0w^2 + a1w^2*w1^2);
MGw(i) = 20*log10( abs( ReGw(i) + ImGw(i)*j));
fiGw(i) = angle( ReGw(i) + ImGw(i)*j)*180/pi;
end
% Wykres Nyquista
figure(1)
plot( ReGz, ImGz, 'k-', ReGw, ImGw, 'b-')
axis([-1 1 -1 1])
grid on
% Logarytmiczne charakterystyki Bode'go
figure(2)
subplot(2,1,1)
% Wykres amplitudy
semilogx( w, MGw, 'k-', w, MGz, 'k-', w, MGw, 'b-')
xlabel('w [rad/s]')
ylabel('Amplituda [dB]')
grid on
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 5
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
subplot(2,1,2)
% Wykres fazy
semilogx( w, fiGw, 'k-', w, fiGz, 'k-', w, fiGw, 'b-')
xlabel('w [rad/s]')
ylabel('Faza [dB]')
grid on
j�T
Wnioskiem z tego przykładu jest to, że z jest zastępowane przez z = e w dziedzinie transmitancji
dyskretnej lub przez użycie transformacji w, wszystkie techniki analizy częstotliwościowej dostępne
dla układów ciągłych mogą być stosowane dla układów dyskretnych.
2. KRYTERIUM STABILNOŚCI NYQUISTA
Kryterium Nyquista dla układu dyskretnego ma taką sama postać jak dla układu ciągłego z tą różnicą,
że niestabilny obszar na płaszczyz
nie z znajduje się na zewnątrz koła jednostkowego i problem polega
na tym, jaki kontur jest w stanie objąć ten obszar. Problem ten może być ominięty przez rozpatrywanie
okrążeń obszaru stabilnego i na tej podstawie obliczanie warunków stabilności. Równanie
charakterystyczne układu dyskretnego jest zapisywane jako
1 + KD(z)G(z) = 0 (6)
i tak jak w przypadku ciągłym, zakłada się, że liczba P określa bieguny niestabilne, natomiast P�
bieguny na granicy stabilności pętli KD(z)G(z). Bieguny te nie zmieniają warunków stabilności
również dla wielomianu 1+ KD(z)G(z). Problem polega na określeniu niestabilnych zer Z równania
KD(z)G(z) = 0, które są niestabilnymi biegunami układu zamkniętego (6).
W kryterium Nyquista, które jest graficzno-analitycznym kryterium stabilności w pierwszej
j�T
kolejności należy wykreślić funkcję L(z) = KD(z)G(z) dla okręgu jednostkowego, z = e w zakresie
0 d" �T d" Ą . Innym, równoważnym rozwiązaniem pozwalającym na wykreślenie charakterystyki
Nyquista jest zastosowanie transformaty w (3).
Podobnie jak dla układu ciągłego badanie stabilności przy użyciu kryterium Nyquista będzie
opierało się na następującym wzorze
(7)
Ś11 = ( - P - 0.5P� )�180o
Z
Równanie to oznacza, że kąt całkowity Ś11 tworzony przez odcinek narysowany z punktu (-1, j0) do
j�T
wykresu Nyquista funkcji L(j�), który odpowiada części konturu z górnej połówki okręgu z = e
znajdującego się na płaszczyz
nie z, wyłączając z niego małe wyżłobienia, jeśli tam istnieją i jest
równy
Ś11 = [ (Z) liczba zer wielomianu 1 + L(z) = 0 znajdujących się na zewnątrz koła jednostkowego
na płaszczyz
nie zmiennej z.
- (P) liczba biegunów L(z) znajdujących się na zewnątrz koła jednostkowego
- 0.5(( P� ) liczba biegunów L(z) znajdujących się na okręgu jednostkowym )]�180o (8)
Kryterium stabilności Nyquista może być stosowane po skonstruowaniu tylko tej części wykresu
j�
Nyquista, który odpowiada górnemu fragmentowi konturu Nyquista z = e dla � zmieniającego się
od Ą do 0. Dlatego też jeśli układ zamknięty jest niestabilny to poprzez znajomość wartości Ś11 , P�
oraz P, z równania (7) wyznacza się liczbę pierwiastków równania charakterystycznego, które
znajdują się na zewnątrz koła jednostkowego.
Dla układu zamkniętego stabilnego, Z musi być równe zero. Więc kryterium Nyquista dla
stabilności układu zamkniętego
Ś11 = -(0.5P� + P)�180o (9)
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 6
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Podsumowując, procedura badania stabilności układów dyskretnych przy użyciu kryterium Nyquista
może być wypunktowana następująco:
" Określ dla pętli otwartej L(z) liczbę biegunów niestabilnych P i znajdujących się na granicy
stabilności P�.
j�T
" Zrób wykres Nyquista L(z) = KD(z)G(z) dla okręgu jednostkowego, z = e w zakresie
Ą �T 0. Jest to ruch wzdłuż okręgu jednostkowego zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
" Określ kąt tworzony przez wektor wiodący zaczepiony w punkcie( 1, j0) i poruszający się
wzdłuż wykresu Nyquista gdy �T zmienia się od Ą do 0.
" Oblicz Z = Ś11 + (P + 0.5P� )�"180 . Układ jest stabilny tylko wówczas jeśli Z = 0.
3. WSKAy
NIKI JAKOŚCI DEFINIOWANE W DZIEDZINIE CZ
STOTLIWOŚCI
Zapasy wzmocnienia i fazy definiowane są w celu dostarczenia dwóch punktów dokonujących
pomiaru jak blisko wykres Nyquista okrążą punkt ( 1, j0) i są identyczne jak te wyprowadzone dla
układu ciągłego. Zapas wzmocnienia (GM) jest współczynnikiem przez który wzmocnienie może
zostać pomnożone aby doprowadzić układ do granicy stabilności i jest zazwyczaj odwrotną amplitudy
D(z)G(z) kiedy faza wynosi 180o. Zapas fazy (PM) jest różnicą pomiędzy  180o i fazą D(z)G(z) kiedy
amplituda jest równa 1. Zapas fazy dokonuje pomiaru wartości dodatkowego opóz
nienia fazowego lub
opóz
nienia czasowego, które może zostać wprowadzone do pętli doprowadzając układ do granicy
stabilności.
Przykład 2
Przy użyciu kryterium Nyquista dokonaj oceny stabilności układu z jednostkowym sprzężeniem
zwrotnym (rys. M1, str. 14) i transmitancją obiektu
1
Gp (s) = (2.1)
s(s + 1)
Okres próbkowania T = 1 [s]. Obiekt ten poprzedzony jest ekstrapolatorem zerowego rzędu.
Zastosowany jest regulator proporcjonalny o transmitancji D(z) = K. Dodatkowo dla K = 1
wyznacz zapasy amplitudy i fazy oraz maksymalne opóz
nienie wyrażone w liczbie próbek
doprowadzające ukłąd do granicy stabilności.
Rozwiązanie. Transmitancja dyskretna połączenia kaskadowego regulatora, ekstrapolatora
zerowego rzędu i obiektu
K(0.3679z + 0.2642)
L(z) = KGh0Gp (z) = (2.2)
2
z -1.3679z + 0.3679
Bieguny transmitancji pętli z1 = 1, oraz z2 = 0.3679, czyli P = 0 oraz P� = 1. Wymaganie
dotyczące stabilności układu zamkniętego zgodnie ze wzorem (9) jest następujące
)�180o = -90o
Ś11 = -(0.5P� + P (2.3)
W celu dokonania analizy przy użyciu kryterium Nyquista potrzebne jest analityczne
wyznaczenie transmitancji pozwalającej na zrobienie wykresu Nyquista. Można to zrobić na
dwa sposoby, w pierwszym przez podstawienie opisane wzorem (2) i wówczas uzyskuje się
niewymierną postać transmitancji pętli dla której można wykreślić charakterystykę
częstotliwościową Nyquista, ale wzory które uzyskuje się z wyodrębnienia części rzeczywistej
i urojonej transmitancji są zbyt złożone do wyznaczania częstotliwości, przy której wykres
przecina oś liczb rzeczywistych. Dlatego też dalsze obliczenia prowadzone będą po dokonaniu
podstawienia opisanego wzorem
m + w
z = , gdzie m = 2 T .
m - w
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 7
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
- 0.1036w2 - 1.0570w + 2.5285
L(w)= KGh0Gp (w) = K (2.4)
2.7358w2 + 2.5282w
następnie po podstawieniu do równania (2.4) w = j�w
2
2.5285 + 0.1036 �"�w - j1.0570 �" �w
L( j�w ) = K (2.5)
2
- 2.7358 �" �w + j2.5282 �" �w
Przekształcając równanie (2.5) do postaci z wyodrębnioną częścią rzeczywistą i urojoną
otrzymuje się następującą postać dyskretnej transmitancji widmowej
3 2
(- 0.2835 �"�w - 9.5898 �"�w)+ j(2.6295 �"�w - 6.3932)
= K
L( j�w ) (2.6)
3
7.4844 �"�w + 6.3932 �"�w
Po przyrównaniu części urojonej do zera wyznaczona zostanie częstotliwość przy której wykres
przecina oś rzeczywistą i w tym przypadku wynosi
� = 1.5593 [rad/s] (2.7)
wp
Częstotliwość ta wymaga przeskalowania według wzoru (5)
�wpT
�ł �ł
2
� = arctan�ł �ł = 1.3244 [rad/s] (2.8)
p
�ł �ł
T 2
�ł łł
Po podstawieniu do równania (2.6) otrzymanej w równaniu (2.7) częstotliwości przy której
wykres Nyquista przecina oś liczb rzeczywistych otrzymuje się dokładne współrzędne tego
punktu
=
L( j� ) L( j1.5593 ) = -0.4180 K (2.9)
wp
Korzystając z warunku stabilności
L( j� ) > -1 (2.10)
wp
Wyznacza się zakres stabilności dla badanego układu
0 < K < 2.3922 (2.11)
Wartość wzmocnienia przy którym w układzie pojawią się oscylacje o stałej amplitudzie
Kkr = 2.3922 (2.12)
Liczba próbek znajdująca się w jednym okresie oscylacji o stałej amplitudzie
Tosc
2Ą
Nosc = = = 4.7442 [próbek] (2.13)
T � T
p
gdzie: Tosc jest okresem oscylacji, natomiast T okresem próbkowania. Zapas amplitudy
wyznacza się ze wzoru
GM = 20 log(K / K) (2.14)
kr
Dla K = 1
GM = 7.5760 [dB] (2.15)
Na podstawie równania (2.5) wyznaczona zostanie częstotliwość przy której moduł osiąga
wartość 1
2
K(2.5285 + 0.1036 �"�w - j1.0570 �" �w)
=1 (2.16)
2
- 2.7358 �" �w + j2.5282 �" �w
Moduły licznika i mianownika wyznaczane są z twierdzenia Pitagorasa i równanie (2.16)
przekształca się do postaci
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 8
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
2
2 2 2
�ł
K (2.5285 + 0.1036 �"�w) + 1.05702 �" �w łł
�ł śł
�ł �ł
=1 (2.17)
2
4 2
(- 2.7358) �"�w + 2.52822 �"�w
Dalsze przekształcanie zależności (2.17) prowadzi do następującego wielomianu
2 4 2 2 2
(0.0107K - 7.4844)�"�w + (1.6413K - 6.3932)�" �w + 6.3932K = 0 (2.18)
Z rozwiązania wielomianu (2.18) dla K = 1 uzyskuje się częstotliwość przy której wykres
przecina trajektorię krytyczną
�wg = 0.8125 [rad/s] (2.19)
Dodatkowo uzyskane rozwiązanie (2.19) trzeba przeskalować według zależności (5)
�wgT
�ł �ł
2
�g = atan�ł �ł = 0.7717 [rad/s] (2.20)
�ł �ł
T 2
�ł łł
Podstawiając do równania (2.5) uzyskaną częstotliwość odcięcia amplitudy �wg (2.19)
2.5969 - j0.8587 2.7352e- j18.2981o
L( j0.8125) = = = e- j149.62o (2.21)
j131.3176o
-1.8059 + j2.0543
2.7352e
Zapas fazy wyrażony w stopniach
PM = "L(j0.8125)+ 180o = 30.3843o = 0.5303 [rad] (2.22)
Natomiast z zapasu fazy wyrażonego w radianach można wyznaczyć maksymalny zakres dla
czasu opóz
nienia który może zostać jeszcze dodany do układu aby nie stracił on stabilności.
PM = � To (2.23)
g
czyli maksymalna wartość czystego opóz
nienia, która może zostać dodana do układu przy
wzmocnieniu K = 1
PM 0.5303
To = = = 0.6872 [s] (2.24)
�g 0.7717
Po przeliczeniu tego czasu opóz
nienia na liczbę próbek
To 0.6872
No = = = 0.6872 [próbki] (2.25)
T 1
Przykład 3
Przy użyciu kryterium Nyquista dokonaj oceny stabilności układu z jednostkowym sprzężeniem
zwrotnym (rys. M1, str. 14) i transmitancją obiektu
s2 - 2s + 1
Gp (s) = (3.1)
(s + 1)(s2 + 4s + 13)
Okres próbkowania T = 0.25 [s]. Obiekt ten poprzedzony jest ekstrapolatorem zerowego rzędu.
Dodatkowo dla K = 5 wyznacz zapasy amplitudy i fazy oraz maksymalne opóz
nienie wyrażone
w liczbie próbek doprowadzające ukłąd do granicy stabilności.
Rozwiązanie. Transmitancja dyskretna połączenia kaskadowego regulatora, ekstrapolatora
zerowego rzędu i obiektu
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 9
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
2
K(0.0805z - 0.2195z + 0.1472)
L(z) = (3.2)
2
z3 -1.6664z + 1.0591z - 0.2865
Bieguny transmitancji pętli L(z) są następujące: p1 = -0.7788, oraz p2,3 = 0.4438 ą j0.4134,
czyli P = 0 oraz P� = 0. Wymaganie dotyczące stabilności układu zamkniętego jest następujące
)�180o = 0o
�11 = -(0.5P� + P (3.3)
Dalsze obliczenia prowadzone będą po dokonaniu podstawienia opisanego wzorem (4).
- 0.4473w3 + 4.6449w2 - 9.0581w + 4.1843
L(w)= K (3.4)
4.0120w3 + 21.9819w2 + 72.5760w + 54.3954
Po podstawieniu wzoru (5) do równania (3.4) i przekształceniu go do postaci z wyodrębnioną
częścią rzeczywistą i urojoną otrzymuje się następującą postać dyskretnej transmitancji
widmowej dla części rzeczywistej
6 4 2
1.7943�" �w + �"170.9049 �"�w -1002.0403 �"�w + 227.6049
= K
Re L( j� ) (3.5)
w
2 2
2 2 2
(54.3954 - 21.9819 �" �w) + �w �"(54.3954 - 21.9819 �" �w)
i dla części urojonej
4 2
�w �"(- 28.4669 �"�w + �"557.3387 �"�w - 796.3965)
=
Im L( j� ) K (3.6)
w
2 2
2 2 2
(54.3954 - 21.9819 �" �w) + �w �"(54.3954 - 21.9819 �" �w)
Po przyrównaniu części urojonej do zera wyznaczone zostaną częstotliwości przy których
wykres przecina oś rzeczywistą i w tym przypadku wynoszą one
� = 1.2201 [rad/s] (3.7)
wp1
� = 4.3350 [rad/s] (3.8)
wp 2
Częstotliwość te po przeskalowaniu według wzoru (5)
�wp1T
�ł �ł
2
� = atan�ł �ł = 1.2108 [rad/s] (3.9)
p1
�ł �ł
T 2
�ł łł
�wp2T
�ł �ł
2
� = atan�ł �ł = 3.9727 [rad/s] (3.10)
p2
�ł �ł
T 2
�ł łł
Po podstawieniu do równania (3.5) otrzymanych w równaniu (3.6) częstotliwości przy których
wykres Nyquista przecina oś liczb rzeczywistych otrzymuje się dokładne współrzędne tych
punktów
L( j� ) = L( j1.2201) = -0.1260K (3.11)
wp1
L( j� ) = L( j4.3350 ) = 0.2317K (3.12)
wp 2
Korzystając z warunków stabilności dla K > 0
L( j� ) > -1 (3.13)
wp1
oraz dla K < 0
-L( j� ) < 1 (3.14)
wp 2
Wyznacza się zakres stabilności dla badanego w tym przykładzie układu
-4.3162 < K < 7.9363 (3.15)
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 10
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Zapas amplitudy wyznacza się ze wzoru
GM = 20log(K / K) (3.16)
gr
Dla K = 5
GM = 20 log(7.9363/ 5) = 4.0129 [dB] (3.17)
Na podstawie równania (3.4) po podstawieniu wzoru (5) wyznaczona zostanie częstotliwość
przy której moduł osiąga wartość 1
2 2
K(4.1843 - 4.6449 �"�w - j�w(9.0581 + 0.4473 �"�w))
=1 (3.18)
2 2
54.3954 - 21.9819 �" �w + j�w(72.5760 - 4.0120 �"�w)
Moduły licznika i mianownika wyznaczane są z twierdzenia Pitagorasa i równanie (3.18)
przekształca się do postaci
2 2
2 2 2 2
�ł łł
K (4.1843 - 4.6449 �"�w) + �w(9.0581 + 0.4473�" �w)
�ł śł
�ł �ł
=1 (3.19)
2 2
2 2 2
(54.3954 - 21.9819 �"�w) + �w(72.5760 - 4.0120 �"�w)
Po podstawieniu do równania (3.19) za K = 5 i przekształceniuu go uzyskuje się następujący
wielomian
6 4 2
-11.0954 �"�w + 435.9630 �"�w -1796.3891�"�w - 2521.1621= 0 (3.20)
Z rozwiązania wielomianu (3.20) uzyskuje się dwie częstotliwość przy których wykres przecina
trajektorię krytyczną
�wg1 = 2.4496 [rad/s] (3.21)
�wg 2 = 5.8645 [rad/s] (3.22)
Po przeskalowaniu uzyskanych rozwiązań (3.21) oraz (3.22), według zależności (5) otrzymuje
się
�wg1T
�ł �ł
2
�g1 = atan�ł �ł = 2.3771 [rad/s] (3.23)
�ł �ł
T 2
�ł łł
�wg T
�ł �ł
2
�g 2 = atan�ł 2 �ł = 5.0606 [rad/s] (3.24)
�ł �ł
T 2
�ł łł
Podstawiając do równania (2.5) częstotliwość odcięcia amplitudy �wg1 = 2.4496 [rad/s]
-118.4407 - j78.0730 141.8576e- j146.6081o
L( j2.4496) = = = e- j269.7281o (3.25)
j123.1199o
- 77.5102 + j118.0981
141.8576e
oraz częstotliwość odcięcia amplitudy �wg 2 = 5.8645 [rad/s]
j166.5908o
- 777.8277 + j185.4366 799.6266e
j317.9248o
L( j5.8645) = = = e (3.26)
- 701.6176 - j383.5823
799.6266e- j151.3340o
Zapasy fazy wyrażone w stopniach i radianach
PM1 = "L(j2.4496)+ 180o = -89.7281o = 4.7076 [rad] (3.27)
oraz
PM2 = "L(j5.8645)-180o =137.9248o = 2.4072 [rad] (3.28)
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 11
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Z zapasu fazy wyrażonego w radianach można wyznaczyć maksymalne opóz
nienie wyrażone w
liczbie próbek, które doprowadzi ten układ do granicy stabilności, według następującego wzoru
�g No
PM = (2.29)
rad
T
gdzie T jest okresem próbkowania. Po przekształceniu wzoru (2.29) wyznaczone zostały liczby
próbek dla tego układu
PM1radT
No1 = = 7.9216 [próbek] (2.30)
�g1
PM2radT
No2 = = 1.9027 [próbek] (2.30)
�g 2
Wyniki w tym przykładzie uzyskane zostały przy użyciu następującego kodu programu
Matlaba.
clear
close all
numGpC = [1 -2 1];
denGpC = conv([1 1],[1 4 13]);
sysGpC = tf( numGpC, denGpC)
sisotool( sysGpC)
T = 0.25; % Okres próbkowania
% Wyznaczenie transmitancji dyskretnej
sysGoD = c2d( sysGpC, T, 'zoh')
[numD, denD] = tfdata( sysGoD, 'v')
rr = roots( denD)
% Współczynniki transmitancji dyskretnej
b3 = numD(1); b2 = numD(2); b1 = numD(3); b0 = numD(4); % Licznika
a3 = denD(1); a2 = denD(2); a1 = denD(3); a0 = denD(4); % Mianownik
% Wykres Nyquista
%w = [0.01:0.01:pi];
%nyquist( sysGoD, w);
% Współczynniki transmitancji uzyskanej po zastosowaniu transformaty w
m = 2/T;
% Licznika
b3w = b3-b2+b1-b0
b2w = (b3-b2-b1+3*b0)*m
b1w = (b3+b2-b1-3*b0)*m^2
b0w = (b3+b2+b1+b0)*m^3
% Mianownika
a3w = a3-a2+a1-a0
a2w = (3*a3-a2-a1+3*a0)*m
a1w = (3*a3+a2-a1-3*a0)*m^2
a0w = (a3+a2+a1+a0)*m^3
% Wyznaczenie częstotliwości przecięcia z osią liczb rzeczywistych
Pw = [a3w*b3w 0 (a2w*b2w-a3w*b1w-b3w*a1w) 0 (b1w*a1w-b0w*a2w-a0w*b2w)
0 a0w*b0w]
Qw = [(a2w*b3w-a3w*b2w) 0 (-a0w*b3w+a1w*b2w-a2w*b1w+a3w*b0w) 0
(a0w*b1w-a1w*b0w)]
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 12
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Qws = Qw;
rQws = roots( Qws)
w = rQws(3)
w1 = (2/T)*atan(w*T/2)
% Wyznaczenie punktu przecięcia z osią liczb rzeczywistych
Mws = (a0w-a2w*w^2)^2 + (w^2)*(a1w-a3w*w^2)^2;
Pws = (a3w*b3w*w^6 + (a2w*b2w-a3w*b1w-b3w*a1w)*w^4 + (b1w*a1w-b0w*a2w-
a0w*b2w)*w^2 + a0w*b0w)/Mws
Kgr = -1/Pws
% Zapasy wzmocnienia i fazy
K = 5; % wartość wzmocnienia
% Zapas wzmocnienia
DK = Kgr/K
GMdB = 20*log10(DK)
% Wyznaczenie częstotliwośći przy której moduł transmitancji widmowej
% jest równy jedności
QQp = [(K^2*b3w^2-a3w^2) 0 ((-2*b1w*b3w+b2w^2)*K^2-(a2w^2-2*a1w*a3w))
0 (K^2*(-2*b0w*b2w+b1w^2)-(a1w^2-2*a0w*a2w)) 0 (K^2*b0w^2-a0w^2)]
rQQp = roots( QQp)
wg = rQQp(2)
wg1 = (2/T)*atan(wg*T/2)
w=wg
% Licznik transmitancji widmowej dla w = wg w postaci algebraicznej
Lw = K*((b0w-b2w*w^2) + (b1w-b3w*w^2)*w*j)
MLw = abs( Lw)
phi_Lw = angle( Lw)*180/pi
% Mianownik transmitancji widmowej dla w = wg w postaci algebraicznej
Mw = (a0w-a2w*w^2) + (a1w-a3w*w^2)*w*j
MMw = abs( Mw)
phi_Mw = angle( Mw)*180/pi
% Transmitancja wypadkowa w postaci wykładniczej
Aw = MLw/MMw
phi = phi_Lw - phi_Mw
% zapas fazy w stopniach
PM = -180+phi
% zapas fazy w radianach
%PM_rad = (180-PM)*pi/180
PM_rad = PM*pi/180
% Maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia
To_gr = (PM_rad/wg1)
No_gr = To_gr/T
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 13
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
ĆWICZENIA W MATLABIE
M1. Schemat blokowy układu sterowania impulsowego pokazany jest na rysunku M1. Przy użyciu
kryterium Nyquista, wyznacz następujące parametry:
" zakres wartości wzmocnienia K dla którego analizowany układ będzie stabilny,
" wartość wzmocnienia krytycznego i liczbę próbek mieszczących się w jednym okresie
oscylacji.
" dla zadanego K wyznacz zapas amplitudy i fazy,
" na podstawie wyznaczonego zapasu fazy wyznacz maksymalną wartość czystego czasu
opóz
nienia wyrażonego w próbkach No, które może zostać wprowadzone do układu.
Wykres Nyquista L(j�) skonstruuj przy użyciu programu komputerowego.
R(s) E(s) E*(s) U*(s) H(s) Y(s)
K ZOH Gp(s)
T
Rys. M1. Schemat blokowy układu regulacji dyskretnej z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym.
Uwaga: Po wyznaczeniu dyskretnej transmitancji pętli L(z) w celu wyznaczenia L(w) dokonaj
następującego podstawienia:
m + w
z = , gdzie m = 2 T .
m - w
1
a) Gp (s)= , okres próbkowania T = 0.2 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 10.
s2 + 7s + 2
5
b) Gp (s)= , okres próbkowania T = 0.1 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 2.
s(s + 2)
1
c) Gp (s)= , okres próbkowania T = 0.25 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 5.
s2 + s + 4
1
d) Gp (s)= , okres próbkowania T = 0.5 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 3.
s2 + 6s + 2
3
e) Gp (s)= , okres próbkowania T = 0.25 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 2.
s(s + 4)
5
( )=
f) Gp s , okres próbkowania T = 0.1 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 5.
s2 + 2s + 2
1
( )=
g) Gp s , okres próbkowania T = 0.5 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 10.
s2 + 4s + 6
2
( )=
h) Gp s
(
s s + 5), okres próbkowania T = 0.25 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 2.
s + 2
i) G (s)=
p
s(s2 + 2s + 10), okres próbkowania T = 0.2 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 1.
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 14
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
s + 4
( )=
j) Gp s ,okres próbkowania T = 0.1 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 2.
s3 + 4s2 + 2s + 5
s + 3
( )=
k) Gp s , okres próbkowania T = 0.25 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 5.
s3 + 9s2 + 10s + 4
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEC

M1.
-1.9387 �"10-4 w2 - 0.0066w + 0.0855
a) warunek stabilności: Ś11 = 0o ; L(w) = K
0.0980w2 + 0.6027w + 0.1711
4 2 2
(- 0.0119�w - 7.7123�w + 9.1482)+ j�w(0.3323�w - 32.9338),
L( j�w ) = K
2
2 2 2
(0.1711- 0.0980�w) + �w(0.6027)
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą: �wp1 = 0 [rad/s], �wp2 = 9.9557 [rad/s]
po przeskalowaniu � = 0 [rad/s], � = 7.8318 [rad/s].
p1 p2
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�wp1) = 0.5K, L( j�wp2 ) = -0.0110K,
Stabilny dla -2 < K < 91.0986,
Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 91.0986, w jednym okresie Nosc = 4.0113 [próbek]
kr
Dla K = 10; zapas wzmocnienia, GM = 19.1902 dB,
4 2
wielomian: - 6.0022�w - 201.2745�w + 439.1134 = 0
zapas fazy PM = 81.6876o (�wg = 1.4338 [rad/s], �g = 1.4240 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia No = 5.0059 [próbek].
- 0.0015w2 - 0.8762w +18.1269
b) warunek stabilności: Ś11 = -90o ; L(w) = K
3.6375w2 + 7.2508w
3 2
(- 0.0055�w - 72.2888�w)+ j(3.1760�w -131.4342),
L( j�w ) = K
2 3 2
(- 3.6375) �w + (7.2508) �w
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą: �wp = 6.4330 [rad/s],
po przeskalowaniu � = 6.2240 [rad/s].
p
Punkt przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�wp ) = -0.1208K ,
Stabilny dla 0 < K < 8.2757,
Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 8.2757, w jednym okresie Nosc = 10.0952 [próbek]
kr
Dla K = 2; zapas wzmocnienia, GM = 12.3355 dB,
4 2
wielomian: 13.2311�w - 49.2841�w +1314.3416 = 0
zapas fazy PM = 26.8058o (�wg = 2.8770 [rad/s], �g = 2.8574 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia No = 1.6373 [próbek].
- 0.0023w2 - 0.4151w + 3.4661
c) warunek stabilności: Ś11 = 0o ; L(w) = K
3.3410w2 + 3.5392w +13.8646
4 2 2
(- 0.0076�w -13.0178�w + 48.0566)+ j�w(1.3787�w -18.0223),
L( j�w ) = K
2
2 2 2
(13.8646 - 3.3410�w) + �w(3.5392)
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą: �wp1 = 0 [rad/s], �wp2 = 3.6155 [rad/s]
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 15
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
po przeskalowaniu � = 0 [rad/s], � = 3.3957 [rad/s].
p1 p2
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�wp1) = 0.25K, L( j�wp2 ) = -0.0954K,
Stabilny dla -4 < K < 8.5265,
Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 8.5265, w jednym okresie Nosc = 7.4014 [próbek]
kr
Dla K = 5; zapas wzmocnienia, GM = 4.6360 dB,
4 2
wielomian: -14.2259�w +100.8850�w +129.5385 = 0
zapas fazy PM = 15.0669o (�wg = 2.9514 [rad/s], �g = 2.8275 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia No = 0.3720 [próbek].
- 0.0339w2 - 0.1698w +1.2244
d) warunek stabilności: Ś11 = 0o ; L(w) = K
1.9469w2 + 7.6070w + 2.4428
4 2 2
(- 0.0660�w - 3.5860�w + 2.9837)+ j�w(0.0730�w - 9.6996),
L( j�w ) = K
2
2 2 2
(2.4428 -1.9469�w) + �w(7.6070)
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą: �wp1 = 0 [rad/s], �wp2 = 11.5255 [rad/s]
po przeskalowaniu � = 0 [rad/s], � = 4.9470 [rad/s].
p1 p2
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�wp1) = 0.5K, L( j�wp2 ) = -0.0223K,
Stabilny dla -2 < K < 44.7655,
Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 44.7655, w jednym okresie Nosc = 2.5402 [próbek]
kr
Dla K = 3; zapas wzmocnienia, GM = 23.4764 dB,
4 2
wielomian: - 3.7801�w - 47.2695�w + 7.4593 = 0
zapas fazy PM = 122.3558o (�wg = 0.3948 [rad/s], �g = 0.3935 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia No = 10.8535 [próbek].
- 0.0194w2 - 0.7927w + 7.5854
e) warunek stabilności: Ś11 = -90o ; L(w) = K
2.7358w2 +10.1139w
3 2
(- 0.0532�w - 28.7695�w)+ j(1.9722�w - 76.7187),
L( j�w ) = K
2 3 2
(- 2.7358) �w + (10.1139) �w
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą: �wp = 6.2370 [rad/s],
po przeskalowaniu � = 5.2976 [rad/s].
p
Punkt przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�wp ) = -0.0784K ,
Stabilny dla 0 < K < 4.7442,
Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 4.7442, w jednym okresie Nosc = 4.7442 [próbek]
kr
Dla K = 2; zapas wzmocnienia, GM = 16.0954 dB,
4 2
wielomian: 7.4829�w - 98.5987�w + 230.1560 = 0
zapas fazy PM = 60.5416o (�wg = 1.4225 [rad/s], �g = 1.4078 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia No = 3.0023 [próbek].
- 0.0015w2 - 0.8747w +18.0968
f) warunek stabilności: Ś11 = 0o ; L(w) = K
3.6194w2 + 7.2508w + 7.2387
4 2 2
(- 0.0055�w - 71.8299�w +130.9970)+ j�w(3.1548�w -137.5469),
L( j�w ) = K
2
2 2 2
(7.2387 - 3.6194�w) + �w(7.2508)
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą: �wp1 = 0 [rad/s], �wp2 = 6.6029 [rad/s]
po przeskalowaniu � = 0 [rad/s], � = 6.3776 [rad/s].
p1 p2
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 16
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�wp1) = 2.5K, L( j�wp2 ) = -0.1206K,
Stabilny dla -0.4 < K < 8.2897,
Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 8.2897, w jednym okresie Nosc = 9.8520 [próbek]
kr
Dla K = 5; zapas wzmocnienia, GM = 4.3913 dB,
4 2
wielomian: -13.0997�w + 20.3163�w + 8134.9132 = 0
zapas fazy PM = 9.4512o (�wg = 5.0702 [rad/s], �g = 4.9656 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia No = 0.3322 [próbek].
- 0.0315w2 - 0.2582w +1.5359
g) warunek stabilności: Ś11 = 0o ; L(w) = K
1.6947w2 + 6.9173w + 9.2157
4 2 2
(- 0.0533�w - 4.0990�w +14.1547)+ j�w(0.22�w -13.0099),
L( j�w ) = K
2
2 2 2
(9.2157 -1.6947�w) + �w(6.9173)
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą: �wp1 = 0 [rad/s], �wp2 = 7.6885 [rad/s]
po przeskalowaniu � = 0 [rad/s], � = 4.3643 [rad/s].
p1 p2
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�wp1) = 0.1667K, L( j�wp2 ) = -0.0373K,
Stabilny dla -6 < K < 26.7923,
Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 26.7923, w jednym okresie Nosc = 2.8794 [próbek]
kr
Dla K = 10; zapas wzmocnienia, GM = 8.5602 dB,
4 2
wielomian: - 2.7731�w - 0.2867�w +150.9837 = 0
zapas fazy PM = 58.7103o (�wg = 2.7069 [rad/s], �g = 2.3797 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia No = 0.8612 [próbek].
- 0.0145w2 - 0.4549w + 2.5730
h) warunek stabilności: Ś11 = -90o ; L(w) = K
2.5730w2 +11.4159w
3 2
(- 0.0373�w -16.9420�w)+ j(1.0049�w - 52.1293),
L( j�w ) = K
2 3 2
(- 2.5730) �w + (2.5730) �w
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą: �wp = 7.2023 [rad/s],
po przeskalowaniu � = 5.8638 [rad/s].
p
Punkt przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�wp ) = -0.0398K ,
Stabilny dla 0 < K < 25.0973,
Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 25.0973, w jednym okresie Nosc = 4.2761 [próbek]
kr
Dla K = 2; zapas wzmocnienia, GM = 21.9719 dB,
4 2
wielomian: - 6.6195�w -128.9663�w + 83.4069 = 0
zapas fazy PM = 75.3847o (�wg = 0.7916 [rad/s], �g = 0.7890 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia No = 6.6703 [próbek].
-1.7202�"10-4 w3 - 0.6447w2 + 5.1884w +12.7546
i) warunek stabilności: Ś11 = -90o ; L(w) = K
6.0436w3 +13.1872w2 + 63.7729w
5 3 4 2
(- 0.0010�w - 39.8464�w +162.6796�w)+ j(3.8938�w - 32.4489�w - 813.3978),
L( j�w ) = K
2
2 3 2
(-13.1872) �w +(63.7729 - 6.0436�w) �w
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą: �wp = 4.3828 [rad/s],
po przeskalowaniu � = 4.1306 [rad/s].
p
Punkt przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�wp ) = -0.0992K ,
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 17
Teoria sterowania Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Stabilny dla 0 < K < 10.0768,
Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 10.0768, w jednym okresie Nosc = 7.6056 [próbek]
kr
Dla K = 2; zapas wzmocnienia, GM = 14.0459 dB,
6 4 2
wielomian: - 36.5245�w + 598.5974�w - 3893.5337�w + 650.7182 = 0
zapas fazy PM = 94.5078o (�wg = 0.4142 [rad/s], �g = 0.4140 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia No = 19.9202 [próbek].
- 0.3335w2 + 5.3537w + 26.3305
j) warunek stabilności: Ś11 = 0o ; L(w) = K
6.6481w3 + 26.2921w2 +13.2747w + 32.9131
4 2 4 2
(- 44.3599�w - 610.2400�w + 8666.6198)+ j�w(2.2171�w + 29.8614�w -173.3240),
L( j�w ) = K
2 2
2 2 2
(32.9131- 26.2921�w) + �w(13.2747 - 6.6481�w)
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą: �wp1 = 0 [rad/s], �wp2 = 2.0928 [rad/s]
po przeskalowaniu � = 0 [rad/s], � = 2.0852 [rad/s].
p1 p2
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych: L( j�wp1) = 0.8K, L( j�wp2 ) = -0.3379K,
Stabilny dla -1.25 < K < 2.9594,
Oscylacje o stałej amplitudzie: K = 2.9594, w jednym okresie Nosc = 30.1316 [próbek]
kr
Dla K = 2; zapas wzmocnienia, GM = 3.4035 dB,
6 4 2
wielomian: - 44.1971�w - 514.3272�w -1739.3894�w +1689.9086 = 0
zapas fazy PM = 2.9251o (�wg = 1.8373 [rad/s], �g = 1.8322 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóz
nienia No = 0.2786 [próbek].
LITERATURA
1. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A. Feedback Control of Dynamic Systems.
Addison-Wesley Publishing Company, 1998
2. Kuo B. C. Automatic Control of Dynamic Systems, 7th ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995.
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29 � M. Tomera 18