Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
Opisana szczegółowo technika wykreślania linii pierwiastkowych dla układów ciągłych może być
zastosowana bez żadnych komplikacji dla układów dyskretnych. Sposób wykreślania tych linii jest
identyczny jak dla układów ciągłych z tą różnicą, że analiza odbywa się na płaszczyz
nie z gdzie są
inne warunki stabilności.
R(s) E(s) E*(s) U*(s) Y(s)
K G(s)
Tp
Y*(s)
H(s)
Tp
Rys. 1. Układ sterowania dyskretnego ze strojonym parametrem K
Dla układu pokazanego na rysunku 1, wypadkowa transmitancja dyskretna przyjmuje postać
Y (z) KG(z)
T (z) = = (1)
R(z) 1 + KGH (z)
Dyskretne równanie charakterystyczne dla tego układu (rys. 1) jest następujące
M (z) =1 + L(z) =1 + KGH (z) = 0 (2)
gdzie L(z) jest dyskretną transmitancję pętli otwartej. Linie pierwiastkowe wykreślane na płaszczyz
nie
z są trajektoriami rozwiązań równania (2) przy zmieniającej się wartości parametru K. Funkcja opisana
wzorem (2), zazwyczaj jest funkcją wymierną w funkcji z ze stałymi współczynnikami, bieguny i zera
są również liczbami skończonymi i liczba gałęzi linii pierwiastkowej na płaszczyz
nie z jest również
skończona. Te same procedury konstruowania, które są stosowane dla układów ciągłych mogą być
bezpośrednio zastosowane na płaszczyz
nie z dla układów sterowania dyskretnego. Inny natomiast jest
sposób oceny własności analizowanego układu, gdyż obszar położeń biegunów stabilnych ogranicza
się do wnętrza koła jednostkowego. W tabeli 1 zebrane zostały zasady wykreślania linii
pierwiastkowych dla układów dyskretnych.
Tabela 1. Własności linii pierwiastkowych 1 + KGH (z) = 0
1. Punkty dla K = 0 Punkty dla K = 0 są biegunami transmitancji GH(z), obejmując
również takie, które znajdują się w z = ".
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19 � M. Tomera
Teoria sterowania Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
2. Punkty dla K= ą " Punkty dla K= ą " są zerami transmitancji GH(z), zawierając
również te które znajdują się w z = ".
3. Liczba oddzielnych linii Całkowita liczba linii pierwiastkowych jest równa rzędowi równania
pierwiastkowych M(z) = 0.
4. Symetria linii Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb
pierwiastkowych rzeczywistych i czasami innej pionowej osi symetrii pojawiajacej się
w konfiguracji zero-biegunowej transmitancji KGH(z).
5. Asymptoty linii Dla dużych wartości z, linie pierwiastkowe (K > 0) są zbieżne do
pierwiastkowych gdy asymptot, których kąty są wyznaczane z następujących zależności:
z "
2i + 1
�i = �180o
n - m
Dla linii pierwiastkowych (K < 0),
2i
�i = �180o
n - m
gdzie
i = 0, 1, 2, ..., n - m -1;
n = liczba skończonych biegunów transmitancji GH(z)
m = liczba skończonych zer transmitancji GH(z)
6. Punkt przecięcia (a) Punkt przecięcia asymptot występuje tylko na osi liczb
asymptot rzeczywistych
(b) Punkt przecięcia asymptot wyznaczany jest ze wzoru
"biegunów transmitancji GH (z) - "zer transmitancji GH (z)
� =
a
n - m
7. Linie pierwiastkowe na Linia pierwiastkowa (K > 0) występuje w tych odcinkach osi liczb
osi liczb rzeczywistych rzeczywistych dla których suma rzeczywistych zer i biegunów
transmitancji GH(z) z prawej strony tego odcinka jest parzysta. Jeśli
całkowita liczba zer i biegunów z prawej strony odcinka jest
nieparzysta, wówczas występuje linia pierwiastkowa dla (K < 0).
8. Kąty wejścia i wyjścia Kąty wejścia lub wyjścia linii pierwiastkowej do bieguna lub zera
transmitancji GH(z) mogą być wyznaczone przy założeniu punktu,
który jest bardzo blisko rozważanego bieguna lub zera przez
zastosowanie równania
m n
dla (K > 0) "GH (z1) = (z1 j )=
" "(z - zk )- " " - p
1
k =1 j=1
m n
"Ć - "� = ą(2i + 1)�180o
k j
k =1 j=1
m n
dla (K < 0) "GH (z1) = (z1 j )=
" "(z - zk )- " " - p
1
k =1 j=1
m n
"Ć - "� = ą2i �180o
k j
k =1 j=1
gdzie i = 0, 1, 2, 3, ....
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19 � M. Tomera 2
Teoria sterowania Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
9. Punkty przecięcia linii Punkty przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych
pierwiastkowych z odpowiadają wartościom K, które mogą być wyznaczone przy
okręgiem użyciu kryterium Routha.
jednostkowym
10. Punkty rozgałęzień Punkty rozgałęzień na linii pierwiastkowej są wyznaczane z
zależności dK dz = 0 , lub dGH (z) dz = 0 . Są to tylko warunki
konieczne.
11. Obliczenie wartości K
Wartość bezwzględną K w pewnym punkcie z1 należącym do linii
na podstawie linii
pierwiastkowej, wyznacza się na podstawie zależności
pierwiastkowej
1
K =
GH (z1)
Poniższy przykład ilustruje sposób konstruowania linii pierwiastkowej dla układu dyskretnego na
płaszczyz
nie z.
Przykład 1
Dla poniższego układu sterowania dyskretnego (rys. 1.1) naszkicuj linie pierwiastkowe,
wyznaczając kolejne własności przy wykorzystaniu tabeli 1. Na podstawie wykreślonych linii
pierwiastkowych i kryterium Routha określ:
" Zakres wartości strojonego parametru K dla którego układ ten jest stabilny
" Wartość wzmocnienia krytycznego Kkr przy którym w układzie pojawiają się oscylacje
o stałej amplitudzie oraz okres tych oscylacji Tosc .
" Dla K = 10 wyznacz zapas wzmocnienia
Okres próbkowania Tp = 1 [s].
R(s) E(s) E*(s) Y(s)
K
ZOH
s3 + 5s2 + 9s + 5
Tp
Rys. 1.1. Schemat blokowy rozważanego układu regulacji
Rozwiązanie. Transmitancja dyskretna pętli otwartej dla tego układu ma postać
2
0.0494z + 0.0569z + 0.0039
GH (z) = K (1.1)
3 2
z - 0.5141z + 0.0721z - 0.0067
Transmitancja dyskretna pętli otwartej zapisana w postaci zerowo-biegunowej
(z +1.0792)(z + 0.0737)
GH (z) = K (1.2)
(z - 0.3679)(z - 0.0731- j0.1139)(z - 0.0731+ j0.1139)
Własności linii pierwiastkowej wyznaczanej dla transmitancji ciągłej zebrane są w tabeli 1. Te
same własności zostaną wykorzystane do wykreślenia linii pierwiastkowych dla układu
dyskretnego.
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19 � M. Tomera 3
Teoria sterowania Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
1. Punkty w których K = 0 są biegunami transmitancji GH(z): z = 0.3679, 0.0731+j0.1139,
0.0731-j0.1139.
2. Punkty w których K = ą " są zerami transmitancji GH(z): z = -1.0792, -0.0737, ".
3. Są trzy oddzielne gałęzi linii pierwiastkowych.
4. Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych na płaszczyz
nie z.
5. Transmitancja GH(z) ma trzy bieguny oraz dwa skończone i jedno nieskończone zero, czyli
jedna gałąz
linii pierwiastkowych osiąga nieskończoność wzdłuż asymptoty. Kąty asymptot
linii pierwiastkowych wyznaczane są z równania
2i + 1 2i + 1
�i = 180o = 180o 0 < K < " (1.3)
n - m 3 - 2
dla i = 0. Więc tylko jedna linia pierwiastkowa dla K > 0 osiąga nieskończoność wzdłuż
asymptoty pod kątem: 180�. Kąty asymptot linii pierwiastkowych (K < 0) wyznaczane są
z równania
2i 2i
�i = 180o = 180o - " < K < 0 (1.4)
n - m 3 - 2
dla i = 0. Więc kiedy K osiąga -", wówczas jedna linia pierwiastkowa osiąga
nieskończoność wzdłuż asymptoty pod kątem: 0�.
6. Punkt przecięcia asymptot wyznaczany jest z równania
0.3679 + 0.0731+ j0.1139 + 0.0731- j0.1139 - (-1.0792 - 0.0737)
�a = = 1.6670 (1.5)
3 - 2
7. Linie pierwiastkowe na osi liczb rzeczywistych. Odcinek linii pierwiastkowej (K<0) na osi
liczb rzeczywistych znajduje się od " do punktu z = 0.3679 oraz od punktu  0.0737 do
punktu  1.0792, natomiast pozostałe części osi liczb rzeczywistych od punktu z = 0.3679 do
punktu  0.0737 oraz od punktu  1.0792 do " pokryta jest przez linię pierwiastkową dla
K>0.
8. Kąty wyjścia: Kąt wyjścia � linii pierwiastkowej z bieguna 0.0731+j0.1139 jest wyznaczany
przy użyciu równania tego samego równania. Jeśli z1 jest punktem na linii pierwiastkowej
opuszczającej biegun 0.0731+j0.1139 i znajduje się bardzo blisko tego bieguna to.
"(z1 +1.0792)+ "(z1 + 0.0737)- "(z1 - 0.3679)
- "(z1 + 0.0731- j0.1139)- "(z1 + 0.0731- j0.1139) = -180o (1.6)
Wprowadzone zostały następujące zmienne opisujące powyższe kąty
Ć1 + Ć2 -�1 -�2 -�3 = -180o (1.7)
Po wyznaczeniu kątów zawartych pomiędzy biegunem 0.0731+j0.1139 i pozostałymi zerami
i biegunami
5.6442o + 37.7921o -158.8758o -�2 - 90o E" -180o (1.8)
czyli
�2 E" -25.4395o (1.9)
W podobny sposób równanie (1.9) jest używane do określenia kąta wejścia linii
pierwiastkowej (K < 0) do bieguna 0.0731+j0.1139. Kąt ten wyznaczany jest w bardzo łatwy
'
sposób, gdyż kąt �2 różni się od kąta �2 o 180�; więc
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19 � M. Tomera 4
Teoria sterowania Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
'
�2 =180 + �2 =180o - 25.4395o =154.5605o (1.10)
9. Punkty przecięcia linii pierwiastkowych z okręgiem jednostkowym poza osią liczb
rzeczywistych na płaszczyz
nie z wyznaczane są na podstawie równania charakterystycznego,
które w tym przypadku ma postać
2
M (z) = z3 + (0.0494K + -0.5141)�" z + (0.0569K + 0.0721)�" z + (0.0039K - 0.0067)= 0 (1.11)
Aby móc zastosować kryterium Routha powyższe równanie zostanie przekształcone przez
transformację biliniową o postaci
1+ r
z = (1.12)
1- r
będącą przekształceniem okręgu jednostkowego na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej z na
lewą półpłaszczyznę zmiennej zespolonej r. Po tym podstawieniu równanie
charakterystyczne (1.11) przyjmuje postać
3 2
M (r) = (- 0.0036K +1.5930)�" r + (- 0.0945K + 3.4218)�" r
+ (- 0.0193K + 2.4340)�" r + (0.1596K - 0.9629) = 0 (1.13)
Tablica Routha
r3
-0.0036K+1.5930 -0.0193K + 2.4340
2
r
-0.0945K + 3.4218 0.1596K - 0.9629
2
0.0014K - 0.4739K + 7.4504
r1
- 0.0945K + 3.4218
r0
0.1596K - 0.9629
Wzmocnienia przy którym linie pierwiastkowe przecinają się z okręgiem jednostkowym
poza osią liczb rzeczywistych na płaszczyz
nie z muszą spełniać dwa warunki, po pierwsze
znajdować się na krańcach zakresu stabilności (1.14) i po drugie zerować współczynnik
w pierwszej kolumnie w wierszu przy r1 . Aby układ był stabilny asymptotycznie to
wszystkie współczynniki w pierwszej kolumnie tablicy Routha muszą być większe od zera,
uzyskuje się w ten sposób układ czterech nierówności i zakres wzmocnienia spełniający
wszystkie te cztery nierówności jest następujący
-5 < K < 16.5475 (1.14)
Wartość wzmocnienia K zerująca współczynnik w pierwszej kolumnie w wierszu przy r1
i znajdująca się na krańcu (granicy) stabilności w (1.14) to
K = 16.5475 (1.15)
Po podstawieniu wyznaczonej wartości K do równania (1.11) uzyskuje się
2
M (z) = z3 + 0.3031z + 1.0143z + 0.0583 = 0 (1.16)
Pierwiastkami równania (1.16) które znajdują się dokładnie na okręgu jednostkowym są
j1.6935 j97.0302o
z1,2 = -0.1224 ą j0.9925 = e = e (1.17)
10. Punkty rozgałęzień wyznaczane są na podstawie następującej zależności
2

d d 0.0494z + 0.0569z + 0.0039
�ł �ł
GH (z) = = 0 (1.18)
�ł 3 2 �ł
dz dz - 0.5141z + 0.0721z - 0.0067
z

Uzyskuje się w ten sposób następujący wielomian
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19 � M. Tomera 5
Teoria sterowania Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
4 3 2
- 0.0494z - 0.1139z + 0.0210z + 0.0034z - 0.0007 = 0 (1.19)
Rozwiązania powyższego wielomianu przyjmują wartości
z = -2.4665
z = -0.1786
z = 0.1696 + j0.0435
z = 0.1696 - j0.0435
Dwa pierwsze rozwiązania wielomianu (1.19) mają wartości rzeczywiste i są one
poszukiwanymi punktami rozgałęzień linii pierwiastkowej na osi liczb rzeczywistych.
z1 = -2.4665 dla K > 0 (1.20)
z2 = -0.1786 dla K < 0 (1.21)
Poszukiwane linie pierwiastkowe znajdują się na rysunku 1.2.
1.5
Im z
K>0
z = -0.1224+j0.9925 (K=16.5475)
1.0
0.5
z2 = -0.1786
z1 = -2.4665
K=0
K= -5
K>0 K>0
K=0
0.0
K<0
Re z
K=0
-0.5
-1.0
z = -0.1224+j0.9925 (K=16.5475)
K>0
-1.5
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Rys. 1.2. Dyskretne linie pierwiastkowe dla układu z rysunku 1.1
Układ jest na granicy stabilności gdy Kkr = 16.5475 i okres oscylacji Tosc wyznacza się
z rozwiązania dla którego dwa pierwiastki sprzężone umiejscowione są dokładnie na okręgu
jednostkowym (1.17). W pierwszej kolejności należy wyznaczyć �
j�Tp
j� j1.6935
z1,2 = -0.1224 ą j0.9925 = e = e = e (1.22)
czyli �Tp =� =1.6935 , stąd
� 1.6935
� = = =1.6935 (1.23)
Tp 1
wobec tego
2Ą 2Ą
Tosc = = = 3.7102 [s] (1.24)
� 1.6935
Liczba próbek znajdująca się w pojedynczym okresie oscylacji
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19 � M. Tomera 6
Teoria sterowania Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Tosc 3.7102
Nosc = = = 3.7102 (1.25)
Tp 1
Zapas wzmocnienia dla K = 10 wyznacza się z zależności
Kmax
16.5475
"K = = = 1.6547 (1.26)
K 10
Zapas wzmocnienia zazwyczaj podawany jest w decybelach
GM = 20 log "K = 4.3746 [dB] (1.27)
Poniżej znajduje się kod z
ródłowy zapisany w języku Matlaba przy użyciu którego uzyskane
zostały powyższe wyniki.
clear
close
clc
Tp = 1; % Okres próbkowania
% Transmitancja obiektu
num = 1;
den = [1 5 9 5];
G = tf(num, den);
sysD = c2d( G, Tp, 'zoh')
[numD, denD] = tfdata( sysD, 'v')
%sisotool(sysD)
% Współczynniki licznika transmitancji
b3 = numD(1); b2 = numD(2); b1 = numD(3); b0 = numD(4);
% Współczynniki mianownika transmitancji
a3 = denD(1); a2 = denD(2); a1 = denD(3); a0 = denD(4);
% zera transmitancji dyskretnej
r_numD = roots( numD)
z1 = r_numD(1)
z2 = r_numD(2)
% bieguny transmitancji dyskretnej
r_denD = roots( denD)
p1 = r_denD(1)
p2 = r_denD(2)
p3 = r_denD(3)
% sigma_a  punkt przecięcia asymptot
sigma_a = sum( r_denD) - sum( r_numD)
% Wielomian na podstawie którego wyznaczane są punkty rozgałęzień
dGHZ = conv([2*b2 b1],[a3 a2 a1 a0])-conv([3*a3 2*a2 a1],[b2 b1 b0])
r_dGHZ = roots( dGHZ)
% Wyznaczenie kąta wyjścia z bieguna: p2 = 0.0731+j0.1139
fi_1 = angle(p2 - z1)*180/pi
fi_2 = angle(p2 - z2)*180/pi
theta_1 = angle(p2 - p1)*180/pi
theta_3 = angle(p2 - p3)*180/pi
theta_2_wyj = 180 + fi_1 + fi_2 - theta_1 - theta_3
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19 � M. Tomera 7
Teoria sterowania Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
% Wyznaczenie kąta wejścia do bieguna p2 = 0.0731+j0.1139
theta_2_wej = 180 + theta_2_wyj
% Współczynniki równania charakterystycznego M(z)
M3z = [b3 a3]; M2z = [b2 a2]; M1z = [b1 a1]; M0z = [b0 a0];
% Współczynniki równania charakterystycznego M(r) po transformacji
% biliniowej z = (1+r)/(1-r)
M3r = M3z - M2z + M1z - M0z
M2r = 3*M3z - M2z - M1z + 3*M0z
M1r = 3*M3z + M2z - M1z - 3*M0z
M0r = M3z + M2z + M1z + M0z
% Współczynnik tablicy Routha
b1r = conv(M2r, M1r) - conv(M3r, M0r)
% Wartości wzmocnień przy których linie pierwiastkowe przecinają okrąg
% jednostkowy
rM3r = roots( M3r)
rM2r = roots(M2r)
r_b1r = roots( b1r)
rM0r = roots(M0r)
% Wzmocnienie krytyczne
K = r_b1r(2)
Mz =[ M3z*[K 1]' M2z*[K 1]' M1z*[K 1]' M0z*[K 1]' ]
r_Mz = roots( Mz)
r = abs(r_Mz(1))
theta = angle(r_Mz(1))
% Wyznaczenie okresu oscylacji
w = theta/Tp
% Okres oscylacji
Tosc = 2*pi/w
% Liczba próbek w pojedynczym okresie oscylacji
Nosc = Tosc/Tp
% Zapas wzmocnienia dla
K = 10
Kkr = r_b1r(2)
DK = Kkr/K
GM = 20*log10(DK) % w decybelach
ĆWICZENIA
M1. Schemat blokowy układu sterowania dyskretnego pokazany jest na rysunku M.1. Skonstruuj
linie pierwiastkowe wyznaczając:
" Zera i bieguny transmitancji pętli
" Punkt przecięcia asymptot,
" Kąty asymptot, dla K > 0 oraz K < 0
" Punkty rozgałęzień,
" Kąty wejścia i wyjścia linii pierwiastkowych do biegunów i zer znajdujących się poza osią
liczb rzeczywistych
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19 � M. Tomera 8
Teoria sterowania Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
" Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym
Na podstawie wykreślonych linii pierwiastkowych i kryterium Routha określ
" Zakres wartości strojonego parametru K dla którego układy te są stabilne
" Wartość wzmocnienia krytycznego Kkr przy którym w układzie pojawiają się oscylacje o
stałej amplitudzie, okres tych oscylacji Tosc oraz liczbę próbek znajdującą się w jednym
okresie oscylacji Nosc .
" Dla K = 1 wyznacz zapas wzmocnienia
R(s) E(s) E*(s) Y(s)
ZOH G(s)
Tp
Rys. M.1. Schemat blokowy układu regulacji dyskretnej z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym.
K(s + 1)
a) G(s)= , okres próbkowania Tp = 0.2 [s].
s3 + 9s2 + 7s + 2
K(s + 2)
b) G(s)=
p
s(s2 + 3s + 2), okres próbkowania T = 0.25 [s].
K(s2 + 2s + 10), okres próbkowania Tp = 0.1 [s].
c) G(s)=
s2(s + 6)
K(s + 2), okres próbkowania Tp = 0.5 [s].
d) G(s)=
s3 + 7s2 + 6s + 2
K(s + 3)
e) G(s)=
s(s2 + 6s + 4), okres próbkowania Tp = 0.25 [s].
K(s2 + 4s + 5), okres próbkowania Tp = 0.1 [s].
f) G(s)=
s2(s + 3)
K(s -1)
g) G(s)= , okres próbkowania Tp = 0.5 [s].
s3 + 13s2 + 14s + 6
K(s2 + 3s + 2), okres próbkowania Tp = 0.25 [s].
h) G(s)=
s2(s + 5)
K(s2 - 5s + 2)
i) G(s)=
s(s2 + 2s + 10), okres próbkowania Tp = 0.2 [s].
2
K(s + 38s + 40)
j) G(s)= , okres próbkowania Tp = 0.1 [s].
s3 + 4s2 + 2s + 5
K(s + 3)
k) G(s)= , okres próbkowania Tp = 0.25 [s].
s3 + 9s2 + 10s + 4
K(s2 + 7s + 4), okres próbkowania Tp = 0.2 [s].
l) G(s)=
s2(s + 6)
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19 � M. Tomera 9
Teoria sterowania Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
ODPOWIEDZI DO ĆWICZEC

M1.
2
- 0.0126z - 0.0028z + 0.0061
a) KGH (z) = K
3 2
z - 2.034z +1.206z - 0.1653
Punkt przecięcia asymptot: � = 1.8082,
a
Kąty asymptot: dla K > 0,� = 180�; dla K < 0; � = 0�, i = 0.
i i
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) 0.9193 + j0.05: �1 = 114.3915�
'
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) 0.9193 + j0.05: �1 = -65.6085�
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, z1 = -1.7246;
dla K < 0, z2 = 0.9302.
M (r) = (- 0.0093K + 4.4051)�" r3 + (- 0.0280K + 3.3315)�" r2 +(0.0337K + 0.2561)�" r + (0.0036K + 0.0073)= 0
Stabilny: -2 < K < 106.3554; Wzmocnienie krytyczne: K = 106.3554;
kr
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym: z1,2 = -0.0583 ą j0.9983 dla K = 106.3554,
Okres oscylacji: Tosc = 0.7713 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 3.8567 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 40.5352 [dB]
2
0.0288z + 0.0090z + 0.0161
b) KGH (z) = K
3 2
z - 2.3853z +1.8577z - 0.4724
Punkt przecięcia asymptot: � = 2.6989,
a
Kąty asymptot: dla K > 0,� = 180�; dla K < 0; � = 0�, i = 0.
i i
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, z1 = -2.7262; z2 = 0.8860
dla K < 0, brak
M (r) = (- 0.0037K + 5.7154)�" r3 + (- 0.0860K + 2.1105)�" r2 + (0.0680K + 0.1741)�" r + 0.0218K = 0
Stabilny: 0 < K < 8.3474; Wzmocnienie krytyczne: K = 8.3474;
kr
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym: z1,2 = 0.7692 ą j0.6390 dla K = 8.3474,
Okres oscylacji: Tosc = 2.2659 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 9.0638 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 18.4311 [dB]
2
- 0.0849z - 0.1469z + 0.0695
c) KGH (z) = K
3 2
z - 2.5488z + 2.0976z - 0.5488
Punkt przecięcia asymptot: � = 0.8189,
a
Kąty asymptot: dla K > 0,� = 180�; dla K < 0; � = 0�, i = 0.
i i
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, z1 = 1.0000;
dla K < 0, z2 = 0.7462.
M (r) = (- 0.3013K + 6.1952)�" r3 + (0.2705K +1.8048)�" r2 +0.0233K �" r + 0.0075K = 0
Stabilny: -2 < K < 106.3554; Wzmocnienie krytyczne: K = 0.5279;
kr
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym: z1,2 = 0.9959 ą j0.09 dla K = 0.5279,
Okres oscylacji: Tosc = 6.9631 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 69.6315 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = -5.5489 [dB]
2
0.0666z + 0.0074z - 0.0117
d) KGH (z) = K
3 2
z -1.6094z + 7.018z - 0.0302
Punkt przecięcia asymptot: � = 1.8082,
a
Kąty asymptot: dla K > 0,� = 180�; dla K < 0; � = 0�, i = 0.
i i
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) 0.7806 + j0.1314: �1 = 103.4597�
'
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) 0.7806 + j0.1314: �1 = 283.4597�
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19 � M. Tomera 10
Teoria sterowania Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, z1 = -1.4875;
dla K < 0, z2 = 0.7962.
M (r) = (- 0.0475K + 3.3414)�" r3 + (- 0.1092K + 3.8170)�" r2 + (0.0945K + 0.7794)�" r + (0.0623K + 0.0623) = 0
Stabilny: -1 < K < 24.7619; Wzmocnienie krytyczne: K = 24.7619;
kr
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym: z1,2 = -0.1809 ą j0.9835 dla K = 24.7619,
Okres oscylacji: Tosc = 1.7925 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 3.5850 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 27.8757 [dB]
2
0.0252z + 0.0079z - 0.0094
e) KGH (z) = K
3 2
z - 2.0962z +1.3194z - 0.2231
Punkt przecięcia asymptot: � = 2.4111,
a
Kąty asymptot: dla K > 0,� = 180�; dla K < 0; � = 0�, i = 0.
i i
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, z1 = -2.3462; z2 = 0.9081
dla K < 0, brak.
M (r) = (- 0.0079K + 4.6387)�" r3 + (- 0.0614K + 3.1075)�" r2 + (0.0455K + 0.2538)�" r + 0.0238K = 0
Stabilny: 0 < K < 20.6061; Wzmocnienie krytyczne: K = 20.6061;
kr
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym: z1,2 = 0.5798 ą j0.8148 dla K = 20.6061,
Okres oscylacji: Tosc = 1.6494 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 6.5977 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 26.2799 [dB]
2
0.1053z - 0.1716z - 0.0706
f) KGH (z) = K
3 2
z - 2.7408z + 2.4816z - 0.7408
Punkt przecięcia asymptot: � = 1.1110,
a
Kąty asymptot: dla K > 0,� = 180�; dla K < 0; � = 0�, i = 0.
i i
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z zera (K < 0) 0.8149 + j0.0822: Ć1 = 270�
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K > 0) 0.8149 + j0.0822: Ć1' = 90�
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, z1 = 1.0000;
dla K < 0, z2 = 0.8200.
M (r) = (- 0.3476K + 6.9633)�" r3 + (0.2783K +1.0367)�" r2 +0.0650K �" r + 0.0043K = 0
Stabilny: 0 < K < 20.0331; Wzmocnienie krytyczne: brak;
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 26.0331 [dB]
2
0.0209z - 0.0321z - 0.0047
g) KGH (z) = K
3 2
z -1.4734z + 0.5707z - 0.0015
Punkt przecięcia asymptot: � = -0.0626
a
Kąty asymptot: dla K > 0,� = 180�; dla K < 0; � = 0�, i = 0.
i i
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) 0.7354 + j0.1594: �1 = 258.4363�
'
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) 0.7354 + j0.1594: �1 = 78.4363�
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, z1 = -0.4051; z2 = 0.1727, z3 = 0.7190
dla K < 0, z4 = 2.5854.
M (r) = (- 0.0483K + 3.0451)�" r3 + (- 0.0028K + 3.8988)�" r2 +(0.0670K + 0.9609)�" r + (-0.0159K + 0.0952) = 0
Stabilny: -10.7519 < K < 6; Wzmocnienie krytyczne: K = -10.7519;
kr
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym: z1,2 = 0.8733 ą j0.4872 dla K = -10.7519,
Okres oscylacji: Tosc = 6.1741 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 12.3481 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 15.5630 [dB]
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19 � M. Tomera 11
Teoria sterowania Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
2
0.21106z - 0.2953z + 0.1022
h) KGH (z) = K
3 2
z - 2.2865z +1.5730z - 0.2865
Punkt przecięcia asymptot: � = 0.8869,
a
Kąty asymptot: dla K > 0,� = 180�; dla K < 0; � = 0�, i = 0.
i i
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, z1 = 0.7123; z2 = 1.0000
dla K < 0, brak
M (r) = (- 0.6085K + 5.1460)�" r3 + (0.3908K + 2.8540)�" r2 +0.19987K �" r + 0.0178K = 0
Stabilny: 0 < K < 8.4573; Wzmocnienie krytyczne: brak;
2
0.0714z - 0.2890z + 0.2304
i) KGH (z) = K
3 2
z - 2.3515z + 2.0218z - 0.6703
Punkt przecięcia asymptot: � = -1.6973,
a
Kąty asymptot: dla K > 0,� = 180�; dla K < 0; � = 0�, i = 0.
i i
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) 0.6757 + j0.4623: �1 = 265.4514�
'
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) 0.6757 + j0.4623: �1 = 85.4514�
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, z1 = 0.7257; z2 = 0.7963, z3 = 1.2349,
dla K < 0, z4 = 5.3406.
M (r) = (- 0.5908K + 6.0436)�" r3 + (0.9088K +1.3187)�" r2 + (- 0.3308K + 0.6377)�" r + 0.0128K = 0
Stabilny: 0 < K < 1.8109; Wzmocnienie krytyczne: K = 1.8109;
kr
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym: z1,2 = 0.9845 ą j0.1752 dla K = 1.8109,
Okres oscylacji: Tosc = 7.1366 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 35.6830 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 5.1581 [dB]
2
0.2549z - 0.1631z - 0.0588
j) KGH (z) = K
3 2
z - 2.6517z + 2.3261z - 0.6703
Punkt przecięcia asymptot: � = 2.0116,
a
Kąty asymptot: dla K > 0,� = 180�; dla K < 0; � = 0�, i = 0.
i i
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) 0.9846 + j0.1128: �1 = 126.9831�
'
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) 0.9846 + j0.1128: �1 = -53.0169�
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, z1 = -1.3826;
dla K < 0, z2 = 1.0254.
M (r) = (- 0.3592K + 6.6481)�" r3 + (- 0.2683K +1.3146)�" r2 + (0.5946K + 0.0332)�" r + (0.0329K + 0.0041) = 0
Stabilny: -0.0291< K < 3.7899; Wzmocnienia krytyczne: K = -0.0291; K = 3.7899;
kr1 kr2
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym: z1,2 = 0.9952 ą j0.0975 dla K = -0.0291, wówczas
Okres oscylacji: Tosc = 6.4349 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 64.3492 [próbek].
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym: z3,4 = 0.3962 ą j0.9182 dla K = 3.7899, wówczas
Okres oscylacji: Tosc = 0.54 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 5.4004 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 11.5726 [dB]
2
0.0207z + 0.0032z - 0.0061
k) KGH (z) = K
3 2
z -1.8526z + 0.9817z - 0.1054
Punkt przecięcia asymptot: � = 2.0049,
a
Kąty asymptot: dla K > 0,� = 180�; dla K < 0; � = 0�, i = 0.
i i
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) 0.8548 + j0.0809: �1 = 98.5959�
'
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) 0.8548 + j0.0809: �1 = 278.5959�
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, z1 = -1.8694;
dla K < 0, z2 = 0.8609.
M (r) = (- 0.0114K + 3.9397)�" r3 + (- 0.0422K + 3.5547)�" r2 +(0.0359K + 0.4819)�" r + (0.0178K + 0.0237) = 0
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19 � M. Tomera 12
Teoria sterowania Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Stabilny: -1.3333 < K < 52.2678; Wzmocnienie krytyczne: K = 52.2678;
kr
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym: z1,2 = 0.1724 ą j0.9850 dla K = 52.2678
Okres oscylacji: Tosc = 1.1240 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 4.4958 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 34.3647 [dB]
2
0.2180z - 0.2524z + 0.0531
l) KGH (z) = K
3 2
z - 2.3012z +1.6024z - 0.3012
Punkt przecięcia asymptot: � = 1.1431,
a
Kąty asymptot: dla K > 0,� = 180�; dla K < 0; � = 0�, i = 0.
i i
Punkty rozgałęzień: dla K > 0, z1 = 1.0000; z2 = 0.7605, z3 = 0.4282, z4 = 0.1275;
dla K < 0, brak
M (r) = (- 0.5235K + 5.2048)�" r3 +(0.1938K + 2.7952)�" r2 +0.3111K �" r + 0.0186K = 0
Stabilny: 0 < K < 9.9421; Wzmocnienie krytyczne: brak
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 19.9495 [dB]
LITERATURA
1. Kuo B.C. Automatic Control of Dynamic Systems, 7th ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995.
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19 � M. Tomera 13