Dla podanej belki statycznie niewyznaczalnej wyznaczyć linie wpływu nadliczbo-
wych momentów X1, X2, reakcji R1, momentu Mą, siły tnącej Tą od poruszającej się
siły P=1.
Rysunek 1. Schemat belki ciągłej
2 2 2 2
Xk-1lk + 2Xk(lk + lk+1) + Xk+1lk+1 = Nkp(¾)
2 2 2
Nkp = -6EIc´kp = -PklklkÉ(¾k) - Pk+1lk+1lk+1É2 (¾k+1)
3 2 2 2
É(¾k) = ¾k - ¾k, É2 (¾k+1) = ¾k+1 - (¾k+1)3,
xk 2 x2
k+1
¾k = , ¾k+1 =
lk lk+1
Równania problemu
Å„Å‚
2 2 2 2
òÅ‚
X0l1 + 2X1(l1 + l2) + X2l2 = N1p
ół 2 2 2 2
X1l2 + 2X2(l2 + l3) + X3l3 = N2p
gdzie X0 = 0.
Po podstawieniu
Å„Å‚
òÅ‚
11X1 + 2.5X2 = N1p
ół
2.5X1 + 17X2 = N2p - 6X3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
11 2.5 X1 N1p
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
=
2.5 17 X2 N2p - 6X3
Å„Å‚
òÅ‚
´11X1 + ´12X2 + ´1p = 0
ół
´21X1 + ´22X2 + ´2p = 0
rozwiÄ…zanie
Å„Å‚
òÅ‚
X1 = ²11´1p + ²12´2p
ół
X2 = ²21´1p + ²22´2p
OkreÅ›lenie współczynników ²ik macierzy odwrotnej do macierzy o współczynnikach
´ik.
"ik
²ik = -
"
1



´11 ´12 11 2.5

" = = = 180.75


´21 ´22 2.5 17



´1P ´12

"1 = = ´1P ´22 - ´2P ´12 = ´1P "11 + ´2P "12


´2P ´22
gdzie "11 = ´22 = 17 i "12 = -´12 = -2.5



´11 ´1P

"2 = = ´2P ´11 - ´1P ´21 = ´2P "22 + ´1P "21


´21 ´2P
gdzie "22 = ´11 = 11 i "12 = -´21 = -2.5
17
11
²11 = -" = - = -0.094
" 180.75
11
22
²22 = -" = - = -0.061
" 180.75
12 -2.5
²12 = ²21 = -" = - = 0.014
" 180.75
Wyznaczenie linii wpływu nadliczbowych
Å„Å‚
òÅ‚
X1 = ²11(-N1p) + ²12(-N2p + 6X3)
ół
X2 = ²21(-N1p) + ²22(-N2p + 6X3)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
X1 0.094 -0.014 N1p
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
=
X2 -0.014 0.061 N2p - 6X3
2 2
Nk-1,P = -lklkÉ(¾2 ), Nk,P = -lklkÉ(¾),
É(¾) = ¾ - ¾3
É(¾2 ) = ¾2 - (¾2 )3 = 1 - ¾ - (1 - ¾)3 = 2¾ - 3¾2 + ¾3
Obliczenie wyrazów wolnych dla siły P = 1 poruszającej się w poszczególnych
przedziałach.
Siła porusza się w przedziale 0-1, k=1
2
N1P = -l1l1É(¾) = -3 · 3 · (¾ - ¾3) = -9(¾ - ¾3)
N2P = 0
X3 = 0
Siła porusza się w przedziale 1-2, k=2
2
N1P = -l2l2É(¾2 ) = -12.5(2¾ - 3¾2 + ¾3)
2
N2P = -l2l2É(¾) = -12.5(¾ - ¾3)
X3 = 0
Siła porusza się w przedziale 2-3, k=3
N1P = 0
2
N2P = -l3l3É(¾2 ) = -36(2¾ - 3¾2 + ¾3)
2
X3 = 0
Siła porusza się w przedziale 3-4, (wspornik)
N1p = 0, N2p = 0, X3 = -1 · x = -x.
Każdy przedziaÅ‚ dzielimy na 10 części. Na podporach ¾ = 0 i ¾ = 1.
Tabela 1. Podział przeseł na 10 części
¾ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
¾2 0 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1
¾3 0 0.001 0.008 0.027 0.064 0.125 0.216 0.343 0.512 0.729 1
Wyniki dla momentów nadliczbowych X1 i X2.
Przedział 0-1
X1 = 0.094 · (-9) · (¾ - ¾3)
X2 = -0.014 · (-9) · (¾ - ¾3)
Tabela 2. Momenty nadliczbowe X1 i X2 - przedział 0-1
¾ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
X1 0 -0,084 -0,162 -0,231 -0,284 -0,317 -0,325 -0,302 -0,244 -0,145 0
X2 0 0,012 0,024 0,034 0,042 0,047 0,048 0,045 0,036 0,022 0
Przedział 1-2
X1 = 0.094 · [-12.5 · (2¾ - 3¾2 + ¾3)] - 0.014 · [-12.5 · (¾ - ¾3)]
X2 = -0.014 · [-12.5 · (2¾ - 3¾2 + ¾3)] + 0.061 · [-12.5 · (¾ - ¾3)]
Tabela 3. Momenty nadliczbowe X1 i X2 - przedział 1-2
¾ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
X1 0 -0,184 -0,305 -0,372 -0,392 -0,375 -0,328 -0,258 -0,175 -0,086 0
X2 0 -0,046 -0,096 -0,146 -0,189 -0,220 -0,234 -0,224 -0,186 -0,113 0
Przedział 2-3
X1 = -0.014 · [-36 · (2¾ - 3¾2 + ¾3)]
X2 = 0.061 · [-36 · (2¾ - 3¾2 + ¾3)]
Przedział 3-4
X1 = -0.014 · (-6X3) = -0.014 · 6x
3
Tabela 4. Momenty nadliczbowe X1 i X2 - przedział 2-3
¾ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
X1 0 0,086 0,145 0,180 0,194 0,189 0,169 0,138 0,097 0,050 0
X2 0 -0,376 -0,632 -0,784 -0,843 -0,824 -0,738 -0,600 -0,422 -0,217 0
Tabela 5. Momenty nadliczbowe X1 i X2 - przedział 3-4
x 0 2
X1 0 -0,168
X2 0 0,732
X2 = 0.061 · (-6X3) = 0.061 · 6x
Linia wpływu od R1
Wpływ linii wpływu reakcji na podporze k

Xk-1 1 1 Xk+1
Rk = [Rk] + - Xk + +
lk lk lk+1 lk+1
[Rk] - linia wpływu od siły jednostkowej w układzie podstawowym.
X1 X2 X1
R1 = [R1] - + -
l1 l2 l2
Rysunek 2. L. w. [R1]
Wyznaczenie linii wpływu momentu zginającego w przekroju ą - ą
2
MÄ… = [MÄ…] + Xk-1¾Ä… + Xk¾Ä…
1
MÄ… = [MÄ…] + (X1 + X2)
2
Wyznaczenie linii wpływu sił tnących w przekroju ą - ą
Xk Xk-1
TÄ… = [TÄ…] + +
lk lk
X3 X2 X2
TÄ… = [TÄ…] + - = [TÄ…] -
6 6 6
4
Tabela 6. Reakcja podporowa R1 - przedział 0-1
¾ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
[R1] 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
R1 0 0,147 0,291 0,430 0,560 0,679 0,783 0,870 0,937 0,981 1
Tabela 7. Reakcja podporowa R1 - przedział 1-2
¾ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
[R1] 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
R1 1 0,989 0,943 0,869 0,771 0,656 0,528 0,393 0,256 0,123 0
Tabela 8. Reakcja podporowa R1 - przedział 2-3
¾ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
[R1] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
R1 0 -0,121 -0,204 -0,253 -0,272 -0,266 -0,238 -0,193 -0,136 -0,070 0
Tabela 9. Reakcja podporowa R1 - przedział 3-4
x 0 2
[R1] 0 0
R1 0 0,236
Rysunek 3. L. w. [MÄ…]
Tabela 10. Moment zginający Mą - przedział 0-1
¾ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
[MÄ…] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
MÄ… 0 0,006 0,012 0,017 0,021 0,024 0,024 0,022 0,018 0,011 0
Tabela 11. Moment zginający Mą - przedział 1-2
¾ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
[MÄ…] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
MÄ… 0 -0,023 -0,048 -0,073 -0,095 -0,110 -0,117 -0,112 -0,093 -0,057 0
5
Tabela 12. Moment zginający Mą - przedział 2-3
¾ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
[MÄ…] 0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,2 0,9 0,6 0,3 0
MÄ… 0 0,112 0,284 0,508 0,778 1,088 0,831 0,600 0,389 0,191 0
Tabela 13. Moment zginający Mą - przedział 3-4
x 0 2
[MÄ…] 0 0
MÄ… 0 -0,634
Rysunek 4. L. w. [TÄ…]
Tabela 14. Siła tnąca Tą - przedział 0-1
¾ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
[TÄ…] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
TÄ… 0 -0,002 -0,004 -0,006 -0,007 -0,008 -0,008 -0,007 -0,006 -0,004 0
Tabela 15. Siła tnąca Tą - przedział 1-2
¾ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
[TÄ…] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
TÄ… 0 0,008 0,016 0,024 0,032 0,037 0,039 0,037 0,031 0,019 0
Tabela 16. Siła tnąca Tą - przedział 2-3
¾ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
[TÄ…] 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
TÄ… 0 -0,037 -0,095 -0,169 -0,259 -0,363 0,637 0,523 0,400 0,270 0,136 0
Tabela 17. Siła tnąca Tą - przedział 3-4
x 0 2
[TÄ…] 0 0
TÄ… 0 -0,455
6
0.5
0
-0.5
0 3 8 14 16
1
0
-1
0 3 8 14 16
1
0.5
0
-0.5
0 3 8 14 16
1
0
-1
-2
0 3 8 14 16
1
0.5
0
-0.5
0 3 8 14 16
Rysunek 5. Wykres linii wpływu
7
1
X
2
X
1
R
Ä…
M
Ä…
T