Przykład 1.6. Obcią\
enie termiczne
Wyznaczyć siły w prętach przedstawionego układu prętowego wywołane obcią\
eniem
termicznym "t [ÚC] jednego prÄ™ta. Przekroje poprzeczne prÄ™tów sÄ… jednakowe i wynoszÄ…
A [m2], długości l w [m], ich moduł Younga - E [N/m2] i współczynnik rozszerzalności
liniowej Ä…t [1/ÚC],
l
l
l
E,A E, A, Ä…t, "t
l
l
RozwiÄ…zanie
ObciÄ…\
enie termiczne "t > 0 pręta wywołuje jego wydłu\
enie. Poniewa\
jednak swoboda jego
odkształcania jest ograniczona, więc powstaje stan wstępnych naprę\
eń wywołany
niemo\
nością swobodnego odkształcenia ogrzanego pręta i odkształceniami pozostałych
prętów układu.
Wprowadz
my oznaczenia sił w prętach i opiszmy przemieszczenia dwu swobodnych węzłów
1 i 2 składowymi wektorów ich przemieszczeń, odpowiednio u1, v1 i u2, v2.
y
1
1
S1 S2 u1
S3
x
V1
2
S
3
U2
S4 S5
V2
2
Równania geometryczne.
Równania geometryczne przyjmują postać
"l1 = -u1 cos 45o + v1 cos 45o
"l2 = u1 cos 45o + v1 cos 45o
"l3 = -v1 + v2
"l4 = u2 cos 45o - v2 cos 45o (1-5)
"l5 = -u2 cos 45o - v2 cos 45o
Warunki fizyczne
Wydłu\
enia prętów wynoszą:
S2 2l
S1 2l S3l
"l1 = , "l2 = + 2Ä…t"tl , "l3 = ,
EA EA EA
S4 2l S5 2l
"l4 = , "l5 = (6-10)
EA EA
Wyznaczając siły z równań (6-10) i uwzględniając równania (1-4) otrzymujemy
EA
S1 = (- u1 + v1)
2l
EA
S2 = (u1 + v1 - 2Ä…t"tl)
2l
EA
S3 = (- v1 + v2 ) (6*-10*)
l
EA
S4 = (u2 - v2 )
2l
EA
S5 = (- u2 - v2 )
2l
Zapiszemy teraz równania równowagi dla węzłów swobodnych 1 i 2.
Węzeł 1
1 1
Pix = 0 Ò! -S1 + S2 = 0
"
2 2
(11,12)
1 1
Piy = 0 Ò! S1 + S2 - S3 = 0
"
2 2
Węzeł 2
1 1
Pix = 0 Ò! -S4 + S5 = 0
"
2 2
(13,14)
1 1
Piy = 0 Ò! -S4 - S5 + S3 = 0
"
2 2
PodstawiajÄ…c wyra\
enia (6*-10*) do równań (11-14) mamy układ 4 równań:
EA EA
- (- u1 + v1)+ (u1 + v1 - 2Ä…t"tl) = 0
2l 2l
EA EA EA
(- u1 + v1)+ (u1 + v1 - 2Ä…t"tl)- 2 (- v1 + v2 ) = 0
2l 2l l
EA EA
- (u2 - v2 )+ (- u2 - v2 ) = 0
2l 2l
EA EA EA
- (u2 - v2 )- (- u2 - v2 )+ 2 (- v1 + v2 ) = 0
2l 2l l
który po uporządkowaniu ma postać:
2
u1 - Ä…t"tl = 0
(2 + 2 2)v1 - 2v2 = 2Ä…t"tl
u2 = 0
2v1 -(2 + 2)v2 = 0
Z rozwiązania układu otrzymujemy
u1 = Ä…t"tl ,
u2 = 0 ,
3 + 2
v1 = Ä…t"tl ,
7
4 - 2
v2 = Ä…t "tl .
7
Z równań (6*-10*) wyznaczamy siły w prętach
1
S1 = S2 = S4 = S5 = - (4 - 2)EAÄ…t"t = -0.1847 Å" EAÄ…t"t ,
14
1
S3 = - (2 2 -1)EAÄ…t"t = -0.2612 Å" EAÄ…t "t .
7
Wszystkie pręty są ściskane.
Ćwiczenie
Wykorzystując przedstawione rozwiązanie wyznacz siły w prętach tego układu, przy
zało\
eniu, \
e pręt nr 2 jest nieodkształcalny (np. wykonany jest z materiału o du\
o większym
module Younga, ni\
pozostałe pręty). Porównaj rozwiązania.
E,A E, A, Ä…t, "t
E1 A
E1A"
3