1
1.
1. LINIE WPA
YWOWE W UKA
ADACH
STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
1.1. Zadanie 1
Dla belki przedstawionej na poniższym rysunku wyznaczyć linie wpływowe zaznaczonych wielkości
statycznych (linie wpływowe reakcji podporowych oraz sił wewętrznych w zaznaczonych przekrojach
�ą-�ą , �ą-�ą , ąą-ąą ,�ą-�ą ).
P=1 [-]
a
a
� ą
ł
B C
D
A
ą ł
�
2a a a a 2a
a a
Rys. 1.1.
Rozwiązanie
Wyznaczając linie wpływowe wielkości statycznych dla belki z pomostem pośrednim na którym
porusza się jednostkowa siła P=1 [-] początkowo rozpatrzyć należy analogiczną belkę bez pomostu (rys. 1.2)
P=1 [-]
B
A C D
3a
2a 4a
Rys. 1.2.
Daną belkę złożoną należy rozdzielić na dwie belki proste dla których przyjmujemy odpowiednie
układy współrzędnych (rys. 1.3).
2
C D
x2
A B
x1
y2
y1
Rys.1.3.
1. Wyznaczenie funkcji reakcji podporowych w zależności od położenia poruszającej się siły P=1 [-].
a) x")# A ;C *# - położenie siły P=1[-] określa współrzędna x1
x1
P=1 [-]
P=1 [-]
C D
C D
x2
x2
A B
A B
x1
x1
VD(x)
VA(x) VB(x)
y2
y1
3a
2a 4a
Rys. 1.4.
V lw V
Wyznaczenie linii wpływu reakcji podporowej -
A A
M 0
"
B
V �"3 a 1�"śą3 a x1źą 0
A
x1 x1
3 a
V 1
A
3 a 3 a 3 a
x1
lwV 1
A
3 a
V lw V
Wyznaczenie linii wpływu reakcji podporowej -
B B
M 0
"
A
V �"3 a 1�"x1 0
B
x1
V
B
3 a
x1
lwV
B
3 a
3
x2
b) x")#C ; D*# - położenie siły P=1[-] określa współrzędna
x2
P=1 [-]
P=1 [-]
C D
C D
x2
x2
A B
A B
x1
x1
VD(x)
VA(x) VB(x)
y2
y1
3a
2a 4a
Rys. 1.5.
V lw V
Wyznaczenie linii wpływu reakcji podporowej -
A A
lwV lwV śąCźą�"lwV
A A C
lwV lwV śą5 aźą�"lwV
A A C
x2
5 a
lwV 1 �" 1
A
śą źą
śą źą
3 a 4 a
x2
2
lwV �" 1
A
śą źą
śą źą
3 4 a
V lw V
Wyznaczenie linii wpływu reakcji podporowej -
B B
lwV lwV śąCźą�"lwV
B B C
lwV lwV śą5 aźą�"lwV
B B C
x2
5 a
lwV �" 1
B
śą źą
śą źą
3 a 4 a
5 �" x2
lwV 1
B
śą źą
3 4 a
V lw V
Wyznaczenie linii wpływu reakcji podporowej -
B B
lwV lwV śąCźą�"lwV
B B C
lwV lwV śą5 aźą�"lwV
B B C
x2
5 a
lwV �" 1
B
śą źąśą źą
3 a 4 a
5 �" x2
lwV 1
B
śą źą
3 4 a
4
V lw V
Wyznaczenie linii wpływu reakcji podporowej -
D D
M 0
"
C
V �"4 a 1�"x2 0
D
x2
V
D
4 a
x2
lwV
D
4 a
Wykres linii wpływu reakcji podporowych przedstawiono na poniższym rysunku.
P=1 [-]
B
A C D
3a
2a 4a
2
-
3
x2
2
- ) (1 - 4a
)
3
lw VA [-]
+
x1
1 -
3a
1
[-]
lw VB
+
+
x
x1 5
(1- 2 )
3 4a
3a
5
3
[-]
lw VD
+
x2
1
1-
4a
Rys. 1.6.
2. Wyznaczenie funkcji sił wewnętrznych w przekroju ą-ą.
ą
C D
D
D
x2
VC(x) ą
VD(x)
VC(x)
A B
x1
VA(x) VB(x)
y2
y1
3
3a
2
2a a
3a
Rys. 2.1.
5
x1
a) x")# A ;C *# - położenie siły P=1[-] określa współrzędna
lwT�ą 0
lwM 0 m
�ą
b) x")#C ; D*# - położenie siły P=1[-] określa współrzędna x2
" 0d"x2"ąa
W celu uproszczenia obliczeń warto skorzystać z równań równowagi części położonej na prawo
od przekroju ą-ą, gdyż nie uwzględnia się wtedy poruszającej się siły.
Mą Tą
VD
3a
Rys. 2.2.
Y 0
"
T V 0
�ą D
T V
�ą D
lwT�ą lwV
D
x2
lwT
�ą
4 a
M 0
"
�ą �ą
V �"3 a M 0
D �ą
M 3 a�"V
�ą D
x2
lwM 3 a�"lwV 3 a�"
�ą D
4 a
3
lwM x2 m
�ą
4
" a"ąx2d"4 a
W celu uproszczenia obliczeń warto skorzystać z równań równowagi części położonej na lewo
od przekroju ą-ą, gdyż nie uwzględnia się wtedy poruszającej się siły.
Mą
Tą
VD
a
Rys. 2.3
6
Y 0
"
T V 0
�ą C
T V
�ą C
lwT�ą lwV
C
x2
lwT 1
�ą
4 a
M 0
"
�ą �ą
V �"a M 0
C �ą
M a�"V
�ą C
lwM a�"lwV
�ą C
x2
lwM a�" 1 m
�ą
śą źą
4 a
Wykres linii wpływu sił wewnętrznych w przekroju ą-ą przedstawiono na poniższym rysunku.
P=1 [-]
ą
B
A C D
ą
3a
2a 3a
a
x2
1
-
-
4a
4
lw Tą [-]
+
x2
1-
4a
3
4
lw Mą [m]
+
+
3
x2
x2
a(1- )
4
4a
3
a
4
Rys. 2.4.
3. Wyznaczenie funkcji sił wewnętrznych w przekroju �-�.
x2
C D
VC(x)
�
a
2a 2a VD(x)
3a
VC(x)
A B
x1
�
VB(x)
y2
VA(x)
y1
Rys. 3.1.
7
" 0d"x1"ąa
W celu uproszczenia obliczeń warto skorzystać z równań równowagi części położonej na prawo
od przekroju �-�, gdyż nie uwzględnia się wtedy poruszającej się siły.
M� T�
VB
2a 2a
Rys. 3.2.
Y 0
"
T V 0
�ą B
T V
�ą B
lwT lwV
�ą B
x1
lwT
�ą
3 a
M 0
"
�ą �ą
V �"2 a M 0
B �ą
M 2 a�"V
�ą B
x1
lwM 2 a�"lwV 2 a�"
�ą B
3 a
2
lwM x1 m
�ą
3
" a"ąx1d"5 a
W celu uproszczenia obliczeń warto skorzystać z równań równowagi części położonej na lewo
od przekroju �-�, gdyż nie uwzględnia się wtedy poruszającej się siły.
M�
T�
VA
a
Rys. 3.3.
.
8
Y 0
"
T V 0
�ą A
T V
�ą A
lwT lwV
�ą A
x1
lwT 1
�ą
3 a
M 0
"
�ą �ą
V �"a M 0
A �ą
M a�"V
�ą A
lwM a�"lwV
�ą A
x1
lwM a�" 1 m
�ą
śą źą
3 a
Wykres linii wpływu sił wewnętrznych w przekroju �-� przedstawiono na poniższym rysunku.
P=1 [-]
�
B
A C D
�
2a
a 2a 4a
- 2
x
3
x1 x1
(- 2 )(1- 2 )
- 1 -
3 4a
- 1
3a 3a
3
lw T�[-]
+
2
3
2
- a
3
x1
x2
2
a(1- 3a )
(- a)(1- )
3 4a
lw M� [m]
+ +
2
x1
3
2
a
3
Rys. 3.4.
4. Wyznaczenie funkcji sił wewnętrznych w przekroju ł-ł.
ł
C D
D
x2
VC(x)
ł
VD(x)
VC(x)
A B
x1
VB(x)
y2
VA(x)
y1
3a
2a 3a
a
Rys. 4.1.
9
" 0d"x2"ą3 a
W celu uproszczenia obliczeń warto skorzystać z równań równowagi części położonej na prawo
od przekroju ł-ł, gdyż nie uwzględnia się wtedy poruszającej się siły.
Mł Tł
VD
a
Rys. 4.2.
Y 0
"
T V 0
ąą D
T V
ąą D
lwT lwV
ąą D
x2
lwT
ąą
4 a
M 0
"
ąą ąą
V �"a M 0
D ąą
M a�"V
ąą D
x2
lwM a�"lwV a�"
ąą D
4 a
x2
lwM m
ąą
4
" 0d"x2"ą3 a
W celu uproszczenia obliczeń warto skorzystać z równań równowagi części położonej na lewo
od przekroju ł-ł, gdyż nie uwzględnia się wtedy poruszającej się siły.
Mł
Tł
VC
3a
Rys. 4.3.
10
Y 0
"
T V 0
ąą C
T V
ąą C
lwT lwV
ąą C
x2
lwT 1
ąą
4 a
M 0
"
ąą ąą
V �"3 a M 0
C ąą
M 3 a�"V
ąą C
lwM 3 a�"lwV
ąą C
x2
lwM 3 a�" 1 m
ąą
śą źą
4 a
Wykres linii wpływu sił wewnętrznych w przekroju ł-ł przedstawiono na poniższym rysunku.
P=1 [-]
ł
B
A C D
ł
3a
2a 3a
a
3
x2
-
-
4
4a
lw Tł [-]
x
1
1- 2
4
4a
lw Mł [m]
+ +
x2
x2
3a(1- )
4a
3
4a
a
4
Rys. 4.4.
5. Wykres linii wpływu zadanych wielkości statycznych dla układu wyjściowego (belki z pomostem
pośrednim) przedstawiono na poniższym rysunku.
Na poniższym rysunku zaznaczono linią ciągłą wykresy zadanych wielkości statycznych dla belki
bez pomostu pośredniego, a linią przerywaną naniesiono na nie linie wpływowe wielkości statycznych
dla belki z pomostem pośrednim. Właściwy wykres dla całego układu belek tworzymy łącząc
odpowiednie wartości rzędnych w punktach połączenia belki z pomostem pamiętając o tym, że w
podporach wartość linii wpływu wielkości statycznej jest równa zero. Proste prowadzimy do miejsca w
którym na pomoście znajduje się przegub.
11
P=1 [-]
a
a
� ą
ł
B C
A D
ą ł
�
2a a a 2a
a a a
2
-
3
lw VA [-]
+
1
[-]
lw VB
+
+
5
3
[-]
lw VD
+ +
1
1
-
4
lw Tą [-]
+
3
4
lw Mą [m]
+
+
3
a
4
- 2
3
- 1
3
lw T�[-]
+
2
3
2
- a
3
lw M� [m]
+
+
2 a
3
- 3
4
lw Tł [-]
1
4
lw Mł [m]
+ +
3
a
4
Rys. 5.1.