Politechnika Poznańska
Instytut Konstrukcji Budowlanych
Zakład Mechaniki Budowli
LINIE WPA
YWOWE SIA
W UKA
ADACH
STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
1
B E L K A
�
ą
ą
�
62 1 4 2 52 1
Przyjęcie układów współrzędnych
X2 X3
D
C
X1
�
ą
VC VD
A B E F
ą
�
62 1 4 2 53 1
2
RA
X2
D
C
X1
V
A B
RA
R
B
63 4
x1 "< 0,9 > x "< 0,11 >
x2 "< 0,4 >
3
(CD)
(CD)
RA (x) = 0
" M = 0 �! VC = 0
D " M = 0
D
V * 4 -1(4 - x2 ) = 0
C
( AB)
" M = 0
B
x
2
V = 1-
C
4
R (x) *6 -1(6 - x1) = 0
A
( AB)
R (x) *6 - 6 + x1 = 0
A
" M = 0
B
x
1 RA (x) * 6 + VC * 3 = 0
R (x) = 1-
A
6
3x
2
R (x) *6 + 3 - = 0
A
4
1 1
R (x) = - + x
A 2
2 8
3
RB
X2
D
C
X1
V
A B
RA
R
B
63 4
korzystam z wyników poprzednich obliczeń
x2 "< 0,9 > x "< 0,4 > x "< 0,11 >
2 3
(CD)
VC = 0
"Y = 0
RB (x) = 0
RA (x) + RB (x) - VC = 0
( AB)
"Y = 0
1 1 x
2
- + x + R (x) -1+ = 0
2 B
RA (x) + RB (x) - 1 = 0
2 8 4
x
3 3
1
R (x) +1- -1 = 0
R (x) = - x
B
B 2
6
2 8
x
1
R (x) =
B
6
4
RF
X2 X3
C D
C D
V V
E F
RR
F
E
4 2 8 1
x3 "< 0,11 > x "< 0,9 >
x2 "< 0,4 >
1
(CD)
(CD)
RF (x) = 0
" M = 0 �! VD = 0
"Y = 0
C
VC + VD -1 = 0
(EF )
" M = 0
E x
2
V =
D
4
- RF (x) *8 -1(2 - x ) = 0
3
(EF )
1 x
" M = 0
3
E
R (x) = - +
F
4 8
- RF (x) * 8 + VD * 2 = 0
- x2
8 * RF (x) =
2
- x
2
R (x) =
F
16
5
RE
X2 X3
C D
C D
V V
E F
RR
F
E
4 2 8 1
x3 "< 0,11 > x "< 0,4 > x "< 0,9 >
2 1
(CD)
"Y = 0
RE (x) = 0
(EF )
"Y = 0
RE (x) + RF (x) - VD = 0
RE (x) + RF (x) - 1 = 0
x x
2 2
R - - = 0
E
1 x
16 4
3
R (x) -1- + = 0
E
4 8
5
R (x) = x
E 2
x 5
16
3
R (x) = - +
E
8 4
6
Przekrój �-�
M M
� �
T�
N�
N�
T�
R
A
RE R
F
RB
62 1 4 2 8 1
x3 "< 0,11 >
x1 "< 0,9 > x "< 0,4 >
2
M = 0
1a) x1 "< 0,8 > " M = 0
�
�
T� = 0
M = 0 - M + R *8 + 2* R = 0
� � A B
T� = 0
1 1
�ł
M = 8*�ł- + x + 2*
�ł �ł
� 2
2 8
�ł łł
3 3
�ł �ł
1b) x1 "< 8,9 >
- x = 0
�ł �ł
2
2 8
�ł łł
" M = 0
�
1
M +1(x - 8) = 0
M = -1+ x
�
� 2
4
M = -x + 8
�
"Y = 0
"Y = 0
T� = 1
T -V = 0
� C
x
2
T = 1-
�
4
7
Przekrój ą-ą
Mą Mą
Tą
Ną
Ną
Tą
RA R
E RF
R
B
63 4 2 5 3 1
x "< 0,9 > x "< 0,4 > x "< 0,11 >
1 2 3
M = 0 " M = 0 1a) x "< 0,7 >
ą ą
=
T = 0 M - R *3 = 0
" M = 0
ą ą F
ą
- 3
M - R *3 = 0
ą F
M = x
ą 2
16
3 3
M = - + x
ą 2
4 8
"Y = 0
"Y = 0
T +V = 0
T + R = 0
ą D
ą F
x
1 x
2
2
T =
T = -
ą
ą
16
4 8
1b) x "< 7,11 >
=
" M = 0
ą
M - R *3 +
ą F
1(x 7) = 0
2
1 5
M = 6 - x
ą 2
4 8
"Y = 0
T + R -1 = 0
ą F
5 x
2
T = + -
ą
4 8
8
WYKRESY
EF
CD
AB ą-ą
�-�
62 1 4 2 53 1
-0,5
R (x) [-]
A
-
+
1
RB(x) [-]
+
1,5
-0,25
-
RF(x) [-]
+
1,125
-0,125
R (x) [-]
E
+
1,25
-0,75
Mą[m]
1,875
-0,125
-0,625
T [m]
ą
0,25
0,375
-1
�
M [m]
T�[m]
1
9
R A M A
x
H(x)
H(x)
A
B
R (x)
R (x)
2 5 3
" M = 0
a
- R (x) *10 +1x = 0
B
x
R (x) =
B
10
" M = 0
B
R (x) *10 -1(10 - x) = 0
A
x
R (x) = 1-
A
10
C
C
H(x)
H(x)
A
R (x) B
R (x)
7 3
10
3
x "< 0,7 > x "< 7,10 >
" M = 0 " M = 0
C C
- R (x) *3 + H (x) *3 = 0 R (x) *7 - H (x) *3 = 0
B A
x 7 7
H (x) = H (x) = - x
10 3 30
M
M
�
�T
�
N
�
N
�
T
�
H(x)
H(x)
A
R (x) B
R (x)
x "< 0,8 > x "< 8,10 >
N = -H (x) N = H (x)
� �
x "< 0,7 > x "< 7,8 >
7 7
x 7 7
N = - + x
N = - N = - + x �
� �
3 30
10 3 30
x
x
T = 1-
�
T = -
�
10
10
11
3
" M = 0 " M = 0
pkt.� pkt.�
M - R (x) * 2 + H (x) *3 = 0 - M - R (x) *8 - H (x) *3 = 0
� B � A
2 8 7
M = x - 3* H (x) M = 8 - x - 7 + x
� �
10 10 10
x "< 0,7 > x "< 7,8 >
1
M = - x +1
�
1 3 1 7
10
M = x - x M = x - 7 + x
� �
5 10 5 10
x 9
M = - M = x - 7
� �
10 10
H(x)
H(x)
A
R (x) B
R (x)
2
8
ą
ą
13
H(x) ą
3
ą
3
ą
siną = = s
13
2
A
R (x)
2
cosą = = c
13
12
3
ą
M
ą
T
ą
N
ą
M
ą
ą
N
T
ą
N
ą
T
x "< 0,2 > x "< 2,10 >
" M = 0 " M = 0
pkt.ą pkt.ą
M - R (x) *8 + H (x) *3 = 0 M - R (x) *8 +1(x - 2) + H (x) *3 = 0
ą B ą B
8 3 1
M = x - x M = - x + 2 - 3* H (x)
ą ą
10 10 5
x "< 2,7 > x "< 7,10 >
1
M = x
ą
1 3 1 7
2
M = - x + 2 - x M = - x + 2 - 7 + x
ą ą
5 10 5 10
1 1
M = - x + 2 M = x - 5
ą ą
2 2
Ną + RA (x) * s + H (x) *c - Ną + RA (x) * s + H (x) *c = 0
x "< 2,7 > x "< 7,10 >
P * s = 0
x x x 7 7
�ł-1 �ł �ł-1 �ł �ł
x
�ł-1+ �ł* s - x
N = + * s - * c N = + * s - - x�ł * c
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
ą ą
Ną = *c + s
�ł �ł
10 10 10 3 30
�ł łł �ł łł �ł łł
10 10
�ł łł
N = 0,027735x - 0,83205 N = +0,212635x - 2,12635
ą ą
Ną = 0,027735x
T = RA (x) *c - H (x) * s
T - R (x) *c + H (x) * s
ą
ą A
x "< 2,7 > x "< 7,10 >
+ P *c = 0
T = -0,138675x + 0,55470 T = 0,138675x -1,386575
ą ą
T = -0,138675x
ą
13
WYKRESY
A ą-ą
�-� B
2 5 1 2
A
R (x)[-]
1
B
R (x)[-]
1
-1,5
Mą[m]
1
-0,7
M�[m]
0,2
-0,78 -0,64
Ną[-]
0,06
-0,7
N�[-]
-0,42
-0,28
Tą[-]
0,28
-0,8
T�[-]
0,2
14
K R A T O W N I C A
6
X
A B
R (X) R (X)
4 4 4 4 4 4
x "< 0,24 >
(x) = 0
"M A "M (x) = 0
B
- RB (x) *16 + 1(x - 4) = 0 - R (x) *16 -1(20 - x) = 0
A
16 * R (x) = x - 4 16 * R (x) = -x + 20
B A
x 1 - x 5
R (x) = - R (x) = +
B A
16 4 16 4
1
siną =
10
ą
40 6
3
cosą =
10
2
15
G
G
E
K1
K1
D1 D1
F
A B
R (X) R (X)
4 4 4 4 4 4
x "< 0,8 > x "<12,24 >
"M (x) = 0 "M (x) = 0
RE RE
cz.p
cz.l
D (x) * 6 - R (x) *10 = 0 - D (x) * 6 - R (x) * 6 = 0
1 B 1 A
x 1
�ł �ł �ł - x 5
�ł
6D (x) - - *10 = 0 6D (x) = + *6 = 0
�ł �ł �ł �ł
1 1
16 4 16 4
�ł łł �ł łł
5 5 - x 5
6D (x) = x - D (x) = +
1 1
8 2 16 4
5 5
D (x) = x -
1
48 12
"M (x) = 0
RF
"M (x) = 0
RF
cz.p
cz.l
G (x) *6 + R (x) * 4 = 0
- G (x) *6 - R (x) *12 = 0
A
B
2
- G (x) - 2R (x) = 0
B
G (x) = - RA (x)
3
- x 1
G(x) = +
x 5
8 2
G(x) = -
24 6
16
6
"Y = 0 "Y = 0
cz.p
cz.l
- K (x) * cosą - R (x) = 0 K (x) * cosą + R (x) = 0
1 B 1 A
x 1 x 5
- K (x) *0,94868 = - + K (x) *0,94868 = -
1 1
16 4 16 4
K (x) = 0,06588x - 0,26352 K (x) = 0,06588x -1,31762
1 1
L
�
M
D2
2 2
1
ł
ł
�
3
K2 10
�
D2
cos � = 0,94868
0,5
1
cos ł = 0,31623
17
3
" =
Y 0
� + =
-K (
x) * cos 0,5-1 0
2
-K ( 0,5 0
x) * 0,94868 - =
2
= -
K 2 ( 0,52703
x)
" =
X 0
- x) - x) * cos 0
ł =
D 2 ( K 2 (
=
D 2 ( 0,16666
x)
L
�
M
ł
0,5
1
"Y = 0
0,5 + M (x) *cos � -1 = 0
M (x) = +0,52705
" X = 0
L(x) + M (x) *cosł = 0
L(x) + 0,52705*0,31623 = 0
L(x) = -0,16666
18
WYKRESY
G
K1
L
K2
M
D2 D1
4 4 4 4 4 4
-0,5
-0,33
0,5 -0,166
G(X) [-]
-0,416
-0,25
D1(X) [-]
0,416 0,5
D2(X) [-]
0,166
-0,416
-0,25
D(X) [-]
0,416 0,5
0,624
-0,527
-0,264
K1(X) [-]
0,264 0,264
-0,527
K2(X) [-]
-0,659
-0,527
-0,264
K(X) [-]
0,264 0,264
-0,166
L(X) [-]
M(X) [-]
0,527
19
O B C I 
Ż E N I E Z E S P O A
E M S I A
R U C H O M Y C H
(wartości ekstremalne)
5 4 3 1 1
- �ł �ł)
T = -(20 * +15 * + 5 * + = -22 [kN]
�ł �ł
ą
8 8 8 8łł 2
�ł
1 3 1 1 3
+ �ł �ł)
T = 20 * + 15 * + 5 * + = 8 [kN]
�ł �ł
ą
4 16 8 16 4
�ł łł
20
-0,125
-0,625
0,375
15 kN20 kN
5 kN/m
0,25
15 kN20 kN
5 kN/m
Obwiednia momentów
A
F H
I
B C D E G J K
Wszystkie wartości podane są w kNm
-180
-135
-101,25
-75,5
-33,75
-20
-15
-10
-5
0
0
0
0
5
10
15
20
22,5 23,125
25
27,5
21
Obliczenia
5 kN/m
15 kN20 kN
5 kN/m
20 kN15 kN
A
-
M = -(20 * 5 + 15 * 4 + 5 * (3 + 1)) = -180 [kNm]
+
M = 20 *1,25 = 25 [kNm]
5 kN/m
15 kN20 kN
5 kN/m
20 kN15 kN
B
-
M = -(20*4 +15*3 + 5*2) = -135 [kNm]
+
M = 20*1 = 20 [kNm]
22
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
1,25
3,00
2,00
1,00
1,00
5 kN/m
20 kN 15 kN
5 kN/m
20 kN 15 kN
C
-
M = -(20 * 3 + 15 * 2,25 + 5 *1,5) = -101,25 [kNm]
+
M = 20 * 0,75 =15 [kNm]
5 kN/m
20 kN 15 kN
5 kN/m
20 kN 15 kN
D
-
M = -(20 * 2 + 15 *1,5 + 5 *1) = -75,5 [kNm]
+
M = 20 * 0,5 =10 [kNm]
23
2,25
1,50
0,75
0,75
1,50
1,00
0,50
0,50
5 kN/m
20 kN 15 kN
5 kN/m
20 kN 15 kN
E
-
M = -(20 *1 + 15 * 0,75 + 5 * 0,5) = -33,75 [kNm]
+
M = 20 * 0,25 = 5 [kNm]
F
-
M = 0
+
M = 0
24
0,75
0,50
0,25
0,25
5 kN/m
20 kN 15 kN
5 kN/m
20 kN 15 kN
G
+
M = 20 * 0,75 + 15 * 0,5 = 22,5 [kNm]
-
M = -(20 * 0,25) = -5 [kNm]
5 kN/m
20 kN 15 kN
5 kN/m
15 kN 20 kN
H
+
M = 20 *1 + 15 * 0,5 = 27,5 [kNm]
-
M = -(20 * 0,5) = -10 [kNm]
25
0,25
0,25
0,50
0,75
0,50
0,50
0,50
1,00
5 kN/m
15 kN 20 kN
5 kN/m
20 kN 15 kN
I
+
M = 20 * 0,75 + 15 * 0,5 + 5 *1* 0,25 * 0,5 = 23,125 [kNm]
-
M = -(20 * 0,75) = -15 [kNm]
5 kN/m
20 kN15 kN
J
+
M = 0
-
M = -(20 *1) = -20 [kNm]
K
+
M = 0
-
M = 0
26
0,75
0,75
0,25
0,50
1,00