Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
POLITECHNIKA POZNAC
SKA
Instytut Konstrukcji Budowlanych
Zakład Mechaniki Budowli
Projekt nr 1
LINIE WPA
YWOWE SIA
W UKA
ADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
BELKI
Zadanie 1: Dla belki pokazanej na rys.1.1. wyznaczyć linie wpływowe zaznaczonych wielkości statycznych.
� ą
C
B D
E F
A
ą
�
3,0 m 1,0 m 4,0 m 2,0 m 3,0 m 1,0 m
5,0 m
5,0 m
5,0 m
Rys.1.1
Rozwiązanie:
1. Przyjmuję współrzędne x , x oraz x określające poło\
enie siły P=1 jak na rys.1.2
1 2 3
x2
RD x3
RC
x1
RD
RC
RB
RE RF
RA
3,0 m 1,0 m 4,0 m 2,0 m 3,0 m 1,0 m
5,0 m
5,0 m
5,0 m
Rys.1.2
Przy czym : x1 ")#0 ;9 *#
x2 ")#0 ; 4 *#
x3 ")#0 ;6 *#
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 1/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
2. Wyznaczenie funkcji reakcji podporowych w zale\
ności od współrzędnej poło\
enia siły P=1 [-]
a) x1 ")#0 ;9 *#
RD
RC
x1 P=1 [-]
RD
RC
RB
RE RF
RA
3,0 m 1,0 m 4,0 m 2,0 m 3,0 m 1,0 m
5,0 m
5,0 m
5,0 m
Rys.1.3
Z warunków równowagi dla belki statycznie wyznaczalnej:
" dla części środkowej belki: RC=0 [-] oraz RD=0 [-]
" dla części prawej belki: RE=0 [-] oraz RF=0 [-]
x1 x1
" dla części lewej belki: [-] oraz
M =0 : RB= Y =0 : RA=1- [-]
" "
A
8 8
b) x2 ")#0 ; 4 *#
x2
P=1 [-]
RD
RC
RD
RC
RB
RE RF
RA
3,0 m 1,0 m 4,0 m 2,0 m 3,0 m 1,0 m
5,0 m
5,0 m
5,0 m
Rys.1.4
Z warunków równowagi dla belki statycznie wyznaczalnej:
x2 x2
" dla części środkowej belki: [-] oraz
M =0: RD= Y =0: RC=1- [-]
" "
C
4 4
x2 5 �"x2
" dla części prawej belki: [-]
M =0: RF=- [-] oraz
Y =0: RE=
" "
E
6 12
x2
9 �"śą1- x2 źą [-]
" dla części lewej belki: [-] oraz
M =0 : RA=1 �"śą -1źą M =0 : RB=
" "
B A
8 4 8 4
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 2/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
c) x3 ")#0 ;6 *#
RD
RC
x3
P=1 [-]
RD
RC
RB
RE RF
RA
3,0 m 1,0 m 4,0 m 2,0 m 3,0 m 1,0 m
5,0 m
5,0 m
5,0 m
Rys.1.5
Z warunków równowagi dla belki statycznie wyznaczalnej:
" dla części środkowej belki: RC=0 [-] oraz RD=0 [-]
1 �"śą 1 �"śą5-x źą [-]
" dla części prawej belki: M =0: RF= x3-2źą [-] oraz Y =0: RE=
" "
E 3
3 3
" dla części lewej belki: RA=0 [-] oraz RB=0 [-]
d) zestawienie funkcji reakcji podporowych w zale\
ności od wartości współrzędnej x
współrzędna
x1 ")#0 ;9 *# x2 ")#0 ; 4 *# x3 ")#0 ;6 *#
reacja
R [-]
A
x1
1 �"śą x2 -1źą
1-
8 8 4 0
R [-]
B
x1
9 �"śą1- x2 źą
8 8 4 0
R [-]
E
5 �"x2 1 �"śą5-x źą
3
3
0 12
R [-]
F
x2 1
�"śą x3-2źą
-
3
0 6
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 3/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
3. Wykreślenie linii wpływowych reakcji podporowych
-0,125
RA(x)[-]
0
+
1
1
0
8,0 m 1,0 m 4,0 m 2,0 m 3,0 m 1,0 m
RB(x)[-]
0
0 +
+
1
1,125
-0,333
0
0
-
RE(x)[-]
+ +
1
1,667
RF(x)[-]
0
- - 0
+
1
-0,667
1,333
Rys.1.6
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 4/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
4. Wyznaczenie funkcji sił przekrojowych w przekroju �-� w zale\
ności od współrzędnej poło\
enia siły P=1 [-]
Rachunki przeprowadzam dla belki ABC, na której określony jest przekrój �-� jak na rys.1.7
�
RC
�
RB
RA
5,0 m 3,0 m 1,0 m
Rys.1.7
a) x1")#0 ;5 *# - siła przed przekrojem �-� , rys.1.8
M�(x)
M�(x)
RC=0
P=1 [-]
T�(x) T�(x)
x1
x1
RA=1-
RB=
8
8
3,0 m 1,0 m
5,0 m
Rys.1.8
Z warunków równowagi dla belki:
-x1
3
*dla części prawej: [-] oraz M =0 : M śą xźą= x1 [m]
Y =0 :T śą xźą=
"
"
�ą-�ą �ą
�ą
8
8
b) x1")#5 ;9 *# - siła za przekrojem �-� , rys.1.9
M�(x)
M�(x)
RC=0
P=1 [-]
T�(x)
T�(x)
x1
x1
RA=1-
RB=
8
8
3,0 m 1,0 m
5,0 m
Rys.1.9
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 5/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
Z warunków równowagi dla belki:
x1 x1
*dla części lewej: [m]
Y =0 :T śą xźą=1- [-] oraz
M =0 : M śą xźą=5 �"śą1- źą
" "
�ą �ą-�ą �ą
8 8
c) x2")#0 ; 4 *# - rys.1.10
M�(x)
M�(x)
x2
RC=1-
4
T�(x)
x2 T�(x)
1 x2
9
RA= �"śą -1źą
RB= �"śą1- źą
8 4
8 4
3,0 m 1,0 m
5,0 m
Rys.1.10
Z warunków równowagi dla belki:
x2 x2
*dla części lewej: [-] oraz [m]
Y =0 :T śą xźą=1 �"śą -1źą M =0 : M śą xźą=5 �"śą -1źą
" "
�ą �ą-�ą �ą
8 4 8 4
d) x3")#0 ;6 *# - rys.1.11
M�(x)
M�(x)
RC=0
T�(x)
T�(x)
RA=0
RB=0
3,0 m 1,0 m
5,0 m
Rys.1.11
Z warunków równowagi dla belki:
*dla części lewej: Y =0 :T śą xźą=0 [-] oraz M =0 : M śą xźą=0 [m]
" "
�ą �ą-�ą �ą
e) zestawienie funkcji sił przekrojowych w przekroju �-� w zale\
ności od wartości współrzędnej x
współrzędna
x1 ")#0 ;5 *# x1 ")#5 ;9 *# x2 ")#0 ; 4 *# x3 ")#0 ;6 *#
siła wewnętrzna
T [-]
�-�
-x1 x1
1 �"śą x2-1źą
1-
8 8 8 4 0
M [m]
�-�
3 x1
5 �"śą x2 -1 źą
x1
5 �"śą1- źą
8
8 8 4 0
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 6/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
5. Wykreślenie linii wpływowych sił przekrojowych w przekroju �-�
-0,625
-0,125
T�-�(x)[-]
0
0
-
+
0,375
5,0 m 4,0 m 4,0 m 6,0 m
-0,625
M�-�(x)[m]
- -
0
0
+
+
1,875
Rys.1.12
6. Wyznaczenie funkcji sił przekrojowych w przekroju ą-ą w zale\
ności od współrzędnej poło\
enia siły P=1 [-]
Rachunki przeprowadzam dla belki DEF, na której określony jest przekrój ą-ą jak na rys.1.13
ą
RD
ą
RE RF
2,0 m 3,0 m 1,0 m
Rys.1.13
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 7/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
a) x1")#0 ;9 *# - rys.1.14
Mą(x)
Mą(x)
RD=0
Tą(x)
Tą(x)
RE=0
RF=0
2,0 m
3,0 m 1,0 m
Rys.1.14
Z warunków równowagi dla belki:
*dla części lewej: Y =0 :T śą xźą=0 [-] oraz M =0 : M śą xźą=0 [m]
" "
�ą �ą-�ą �ą
b) x2")#0 ; 4 *# - rys.1.15
Mą(x)
Mą(x)
x2
RD=
4 Tą(x)
Tą(x)
5
-x2
RE= x2
12 RF=
6
2,0 m
3,0 m 1,0 m
Rys.1.15
Z warunków równowagi dla belki:
-x2 -x2
*dla części lewej: [-] oraz [m]
Y =0 :T śą xźą= M =0 : M śą xźą=
" "
�ą �ą-�ą �ą
4 2
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 8/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
c) x3")#0 ; 2 *# - siła przed przekrojem ą-ą , jak na rys.1.16
P=1 [-]
Mą(x)
Mą(x)
RD=0
Tą(x)
Tą(x)
1
1
RE= �"śą5-x3źą
RF= śą x3-2źą
3
3
2,0 m
3,0 m 1,0 m
Rys.1.16
Z warunków równowagi dla belki:
*dla części lewej: Y =0 :T śą xźą=-1 [-] oraz M =0 : M śą xźą=x3-2 [m]
" "
�ą �ą-�ą �ą
d) x3")#2 ;6 *# - siła za przekrojem ą-ą , jak na rys.1.17
P=1 [-]
Mą(x)
Mą(x)
RD=0
Tą(x)
Tą(x)
1
1
RE= �"śą5-x3źą
RF= śą x3-2źą
3
3
2,0 m
3,0 m 1,0 m
Rys.1.17
Z warunków równowagi dla belki:
*dla części lewej: Y =0 :T śą xźą=0 [-] oraz M =0 : M śą xźą=0 [m]
" "
�ą �ą-�ą �ą
e) zestawienie funkcji sił przekrojowych w przekroju �-� w zale\
ności od wartości współrzędnej x
współrzędna
x1 ")#0 ;9 *# x2 ")#0 ; 4 *# x3 ")#0 ; 2 *# x3 ")#2 ;6 *#
siła wewnętrzna
Tą-ą
[-]
0 -x2 -1
4 0
Mą-ą
[m]
0 -x2 x3-2
2 0
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 9/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
1. Wykreślenie linii wpływowych sił przekrojowych w przekroju ą-ą
Tą-ą(x)[-]
-1 -1
0
-
0 0
9,0 m 4,0 m 2,0 m 4,0 m
-2
-
M (x)[m]
-
0
0
0
-ą
Rys.1.18
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 10/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
Projekt nr 1
LINIE WPA
YWOWE SIA
W UKA
ADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
A
UKI I RAMY TRÓJPRZEGUBOWE
Zadanie : Dla łuku trójprzegubowego parabolicznego pokazanego na rys.2.1. wyznaczyć linie wpływowe zaznaczonych
wielkości statycznych.
ą
C
�
ą
�
A B
3,0 m 2,0 6,0 5,0 3,0 3,0
Rys.2.1
Rozwiązanie:
1. Przyjmuję układ współrzędnych x,y określających poło\
enie siły P=1 [-] jak na rys. 2.2.
x
ą
C
�
ą
y �
HA(x) HB(x)
B
x
RA(x) RB(x)
3,0 m 2,0 6,0 5,0 3,0 3,0
Rys.2.2.
Przy czym :
x")#0 ;16 *#
Aby wyznaczyć linie wpływowe wielkości statycznych w przypadku łuku z pomostem pośrednim jako miejscem
działania siły jednostkowej P, początkowo nale\
y przeprowadzić rozwa\
ania dla analogicznej konstrukcji bez pomostu
pośredniego, jak na rys.2.3:
x
P=1[-]
� C
y �
HA(x) HB(x)
B
x
RA(x) RB(x)
2,0 6,0 5,0 3,0
Rys. 2.3.
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 11/37
5,0 m
5,0 m
5,0 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
Wykonanie wykresów linii wpływowych sił reakcji oraz sił przekrojowych dla łuku  uproszczonego oraz
naniesienie na nich drobnych zmian zgodnie z określonymi zasadami doprowadzi do uzyskania wykresów linii wpływu
sił w wyjściowym układzie.
Poniewa\
przekroje ą-ą oraz �-� w wyjściowym łuku le\
ą bardzo blisko siebie w przypadku łuku bez pomostu
pośredniego ograniczam sie do wyznaczenia sił przekrojowych w przekroju �-�.
2. Wyznaczenie równania paraboli łuku:
Ogólna postać równania paraboli:
y=ax2�ąbx�ąc
W tym przypadku parabola przechodzi przez trzy punkty, których współrzędne łatwo określić:
Aśą0,0źą Bśą16,0źą C śą8,5źą
Z układu trzech równań:
0=a�"0 �ąb�"0 �ąc
0=a�"162�ąb�"16 �ąc
5=a�"82�ąb�"8�ąc
Otrzymam współczynniki: a=-5 b=5
c=0
64 4
5
Stąd równanie paraboli ma postać: y=-5 x2�ą x
64 4
W miejscu przekroju x=2 [m], y=2,1875 [m]
Aby obliczyć kąt Ć nachylenia stycznej (rys.2.4) w przekroju �-� korzystam z własności:
dy
tg �ą= śą2źą
dx
C
�
Ć
y
�
B
x
Rys.2.4.
dy -5 5 dy 15
= x�ą a więc: śą2źą= =tg �ą
dx 32 4 dx 16
stąd:
�ą=43,15o
oraz sin �ą=0,6839
cos�ą=0,7295
4. Wyznaczenie funkcji reakcji podporowych w zale\
ności od poło\
enia siły P=1 [-]
4.1.Dla układu jako całości :
mamy H śą xźą=H śą xźą=H śą xźą [-]
X =0
" A B
x
mamy
M =0 RBśą xźą= [-]
"
A
16
x
mamy RAśą xźą=1- [-]
Y =0
"
16
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 12/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
4.2. Dla łuku przeciętego przez przegub:
a)
x")#0 ;8 *#
x
Hc(x)
Vc(x)
P=1[-]
Vc(x)
HC(x)
HA(x) HB(x)
B
RA(x) RB(x)
2,0 6,0 5,0 3,0
Rys.2.5.
Z równowagi strony prawej:
x
P
stąd H śą xźą= [-]
M =5 H śą xźą=8 RBśą xźą
"
C
10
b)
x")#8 ;16 *#
Hc(x)
Vc(x) P=1[-]
Vc(x)
HC(x)
HA(x) HB(x)
B
RA(x) RB(x)
2,0 6,0 5,0 3,0
Rys.2.6.
Z równowagi strony lewej mamy:
8 x
L
stąd H śą xźą= - [-]
M =0 :5 H śą xźą=8 RAśą xźą
"
C
5 10
c) Zestawienie fukcji reakcji podporowych w zale\
ności od wartości współrzędnej x
współrzędna
x")#0 ;8 *# x")#8 ;16 *#
reakcja
RA [-] x x
1- 1-
16 16
RB [-] x x
16 16
H [-]
x 8 - x
10 5 10
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 13/37
5,0 m
5,0 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
5. Wykreślenie linii wpływowych reakcji podporowych w łuku bez pomostu pośredniego
RA(x) [-]
+
1
2,0 6,0 5,0 3,0
RB(x) [-]
+
1
+
+
H(x) [-]
0,8
Rys.2.7
6. Wykreślenie linii wpływowych reakcji podporowych w łuku wyjściowym
C
A B
3,0 m 2,0 6,0 5,0 3,0 3,0
0
RA(x) [-]
+
1 0,1875
0,875
0
RB(x) [-]
+
0,125
1
0,8125
0
H(x) [-]
+
+
0,2
0,3
0,55
Rys.2.8
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 14/37
5,0 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
7. Wyznaczenie funkcji sił przekrojowych w zale\
ności od współrzędnej poło\
enia siły P=1[-]
Analogicznie jak w przypadku reakcji naprzód wyznaczamy funkcje sił przekrojowych oraz kreślimy linie wpływu tych
sił dla łuku bez pomostu pośredniego, następnie poprzez odpowiednią modyfikację wykresów otrzymamy linie
wpływowe sił przekrojowych dla łuku z pomostem pośrednim. W zadaniu przekroje ą-ą i �-� znajdują sie
nieskończenie blisko siebie. Dla łuku bez pomostu pośredniego mo\
emy traktować je jako identyczne, stąd
wystarczające jest określenie funkcji sił przekrojowych tylko dla jednego z nich.
Wyznaczam funkcje sił przekrojowych w przekroju �-� jak na rys.2.3.
a)
x")#0 ; 2 *#
P=1[-] M�(x)
M�(x)
N�(x)
Ć
N�(x)
Ć
T�(x)
T�(x)
HB(x)
HA(x)
RB(x)
RA(x)
6,0 5,0 3,0
2,0
x
Rys.2.9
Z warunków równowagi :
* dla strony prawej: Śą N =0 : N śą xźą=RBśą xźąsin �ą-H śą xźącos �ą
"
�ą �ą
ŚąT =0 :T śą xźą=-RBśą xźącos�ą-H śą xźąsin �ą
"
�ą �ą
Śą M =0 : M śą xźą=RBśą xźą�"14 -H śą xźą�"2,1875
"
�ą �ą
Przy czym:
Śą N =0 oznacza sumę rzutów na kierunek siły normalnej w przekroju ;
�ą
"
�ą
ŚąT =0 oznacza sumę rzutów na kierunek siły tnącej w przekroju ;
�ą
"
�ą
Śą M =0 oznacza sumę momentów względem przekroju �ą
"
�ą
x x
dla sin �ą=0,6839 cos�ą=0,7295 RBśą xźą= [-], Hśą xźą= [-] otrzymujemy:
, ,
16 10
N śą xźą=-0,03 x [-]
�ą
T śą xźą=-0,114 x [-]
�ą
M śą xźą=0,656 x [m]
�ą
b)
x")#2 ;16 *#
P=1[-]
M�(x)
M�(x)
N�(x)
Ć
N�(x)
Ć
T�(x)
T�(x)
HB(x)
HA(x)
RB(x)
RA(x)
6,0
2,0 5,0 3,0
x
Rys.2.10
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 15/37
2,1875 m
2,1875 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
Z warunków równowagi :
* dla strony lewej: Śą N =0 : N śą xźą=-RAśą xźąsin �ą-H śą xźącos�ą
"
�ą �ą
ŚąT =0 :T śą xźą=RAśą xźącos�ą-H śą xźąsin �ą
"
�ą �ą
Śą M =0 : M śą xźą=RAśą xźą�"2 -H śą xźą�"2,1875
"
�ą �ą
b.1.)
x")#2 ;8 *#
x x
dla sin �ą=0,6839 cos�ą=0,7295 RAśą xźą=1- [-], H = [-] otrzymujemy:
, ,
śąxźą
16 10
N śą xźą=-0,03 x-0,684 [-]
�ą
T śą xźą=-0,114 x�ą0,7295 [-]
�ą
M śą xźą=2-0,344 x [m]
�ą
b.2)
x")#8 ;16 *#
x 8 - x
dla sin �ą=0,6839 cos�ą=0,7295 RAśą xźą=1- [-], H = [-] otrzymujemy:
, ,
śą xźą
16 5 10
N śą xźą=-1,85�ą0,116 x [-]
�ą
T śą xźą=-0,365�ą0,023 x [-]
�ą
M śą xźą=-1,5�ą0,094 x [m]
�ą
c) zestawienie funkcji sił przekrojowych w zale\
ności od wartości współrzędnej x
współrzędna
x")#0 ; 2 *# x")#2 ;8 *# x")#8 ;16 *#
siła
N [-] -0,03 x -0,03 x-0,684 0,116 x-1,85
�ą
T [-] -0,114 x -0,114 x�ą0,7295 0,023 x-0,365
�ą
M [m] 0,656 x 2-0,344 x 0,094 x-1,5
�ą
8. Wykreślenie linii wpływowych sił przekrojowych w przekroju �-� dla łuku bez pomostu pośredniego:
-0,744
-0,924
-0,06
-0,06
- -
N�(x) [-]
0
0
2,0 6,0 5,0 3,0
-0,228
-0,18
-
-
0
0
T�(x) [-]
+
-0,75
0,5
-
0
0
M�(x) [m]
+
1,312
Rys.2.11
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 16/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
9. Wykreślenie linii wpływowych sił przekrojowych w przekroju �-� (dla tego przekroju pręt wspierający pomost
pośredni znajduje sie po prawej stronie) w łuku danymw zadaniu z pomostem pośrednim.
C
�
�
A B
3,0 m 2,0 6,0 5,0 3,0 3,0
-0,924
-0,744
-0,35
-
-
N�(x) [-]
0
-0,18
-0,0675
- 0
-
T�(x) [-]
0,5
+
-0,28
-
M�(x) [m]
0
0
+
1,312
Rys.2.12
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 17/37
5,0 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
10. Wykreślenie linii wpływowych sił przekrojowych w przekroju ą-ą (dla tego przekroju pręt wspierający pomost
pośredni znajduje sie po lewej stronie) w łuku danym w zadaniu z pomostem pośrednim.
ą
C
ą
A B
3,0 m 2,0 6,0 5,0 3,0 3,0
-0,924
-0,06
-0,35
-
-
Ną(x) [-]
0
-0,228
-0,18
-0,0675
-
- 0
-
Tą(x) [-]
-0,18
-
0
Mą(x) [m]
0
+
1,312
Rys.2.13
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 18/37
5,0 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
Projekt 1
LINIE WPA
YWOWE W UKA
ADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
KRATOWNICE
Zadanie: Dla kratownicy pokazanej na rys.3.1. wyznaczyć linie wpływowe zaznaczonych wielkości statycznych.
A B
6 x 3,0 m
Rys.3.1
Rozwiązanie:
1. Przyjmuję układ współrzędnych określających poło\
enie siły P=1 [-] jak na rys.3.2.:
x
G1(x)
S1(x)
K1(x)
S2(x)
P=1[-]
HA(x) D1(x)
A B
RA(x)
RB(x)
6 x 3,0 m
Rys.3.2
Przy czym:
x")#0 ;18 *#
2. Wyznaczenie funkcji reakcji podporowych w zale\
ności od współrzędnej poło\
enia siły P=1[-].
Z warunków równowagi dla kratownicy:
X =0 : H =0 [-]
"
A
x
M =0 : RB= [-]
"
A
18
x
Y =0 : RA=1- [-]
"
18
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 19/37
2 x 2,0 m
2 x 2,0 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
3. Wykreślenie linii wpływowych reakcji podporowych:
0
HA(x) [-]
0
RA(x) [-]
+
1
0
RB(x) [-]
+
1
Rys. 3.3
4. Wyznaczenie funkcji sił w określonych prętach w zale\
ności od współrzędnej poło\
enia siły P=1[-]
Przekroje pomocnicze do wyznaczania sił w prętach pokazano na rys. 3.4:
x
ą ł
�  S Ć
�
�
�
HA(x)
B
A
�
 Ć
ł �
ą
RA(x)
RB(x)
6 x 3,0 m
Rys.3.4
4.1.1. Wyznaczenie funkcji G (x) oraz D (x)  przekrój ą-ą :
1 1
a)
x")#0 ;3 *#
x
G1(x)
RD G1(x) RD
S1(x)
S1(x)
K1(x)
S2(x)
S2(x)
P=1[-]
RG D1(x) RG
D1(x)
RA(x)=1-x /18 [-]
RB(x)=x /18 [-]
3,0 m 3,0 m 12,0 m
Rys.3.5
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 20/37
2 x 2,0 m
2 x 2,0 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
Z równowagi części prawej:
M =0: D1śą xźą=15 RBśą xźą [-]
"
RD
4
M =0:G1śą xźą=-15 RBśą xźą [-]
"
RG
4
b)
x")#6 ;18 *#
x
G1(x)
RD G1(x) RD
S1(x)
S1(x)
K1(x)
S2(x)
S2(x)
P=1[-]
RG D1(x) RG
D1(x)
RA(x)=1-x /18 [-]
RB(x)=x /18 [-]
3,0 m 3,0 m 12,0 m
Rys.3.6
Z równowagi części lewej:
3
M =0: D1śą xźą= RAśą xźą [-]
"
RD
4
M =0:G1śą xźą=-3 RAśą xźą [-]
"
RG
4
4.1.2.Zestawienie funkcji sił w prętach D i G w zale\
ności od współrzędnej x:
1 1
pręt współrzędna
x")#0 ;3 *# x")#6 ;18 *#
D1 [-] 15 3
RBśą xźą RAśą xźą
4 4
G1 [-]
-15 RBśą xźą -3 RAśą xźą
4 4
4.1.3.Wykreślenie linii wpływowych sił w prętach D i G (z wykorzystaniem linii wpływowych reakcji jak na rys.3.3)
1 1
3,0 m 3,0 m 12,0 m
0
0
D1(x) [-]
+
0,5
0,625
-0,5
-0,625
-
0 0
G1(x) [-]
Rys.3.7
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 21/37
2 x 2,0 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
4.2.1.Wyznaczenie funkcji S (x)  przekrój �-� :
1
x
G1(x)
S1(x)
G1(x)
Rs
S1(x)
K1(x)
P=1[-]
RA(x)=1-x /18 [-]
RB(x)=x /18 [-]
3,0 m 3,0 m 12,0 m
Rys.3.8
Z równowagi odciętej części górnej:
M =0 : S1śą xźą=-2 G1śą xźą [-]
"
RS
3
4.2.2.Wykreślenie linii wpływowej siły w pręcie S (z wykorzystaniem linii wpływowej siły w pręcie G jak na rys.3.7)
1 1
3,0 m 3,0 m 12,0 m
0
0
S1(x) [-]
+
0,333
0,417
Rys.3.9
4.3.1.Wyznaczenie funkcji K (x)  przekrój ł-ł :
1
a)
x")#0 ;3 *#
x
G1(x) G1(x)
ą
K1(x) K1(x)
K2(x)
K2(x)
P=1[-]
RK D1(x) RK
D1(x)
RA(x)=1-x /18 [-]
RB(x)=x /18 [-]
3,0 m 3,0 m 12,0 m
Rys.3.10
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 22/37
2,0 m
2 x 2,0 m
2 x 2,0 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
Dla kąta ą określam wartości sin oraz cos :
3,0
ą
2,0
13
Rys.3.11
2 13 3 13
sin cos
13 13
Z równowagi części prawej:
15
dla G1 x RB x [-]
4
M 0: G1 x 4 4 K1 x cos 12 RB x 0
RK
13
stąd: [-]
K1 x RB x
4
b)
x 6 ;18
x
G1(x) G1(x)
ą
K1(x) K1(x)
K2(x)
K2(x)
P=1[-]
RK D1(x) RK
D1(x)
RA(x)=1-x /18 [-]
RB(x)=x /18 [-]
3,0 m 3,0 m 12,0 m
Rys.3.12
Z równowagi części lewej:
3
dla G1 x RA [-]
4
M 0:G1 x 4 2 K1 x cos 3 K1 x sin 6 RA x 0
RK
13
stąd: [-]
K1 x RA x
4
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 23/37
2 x 2,0 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
4.3.2.Zestawienie funkcji siły w pręcie K w zale\
ności od współrzędnej x:
1
pręt współrzędna
x")#0 ;3 *# x")#6 ;18 *#
K1 [-]
13 13
ćą ćą
RBśą xźą - RAśą xźą
4 4
4.3.3.Wykreślenie linii wpływowej siły w pręcie K (z wykorzystaniem linii wpływowych reakcji jak na rys.3.3):
1
3,0 m 3,0 m 12,0 m
-0,6
-
0
0
+
K1(x) [-]
0,15
Rys. 3.13
4.4.1Wyznaczenie funkcji G (x)  przekrój Ć-Ć :
2
a)
x")#0 ;9 *#
x
G2(x) G2(x)
P=1[-]
RG
RG
RA(x)=1-x /18 [-]
RB(x)=x /18 [-]
12,0 m 6,0 m
Rys.3.14
Z równowagi części prawej: M =0:G2śą xźą=-1,5 RBśą xźą [-]
"
RG
b)
x")#12 ;18 *#
x
G2(x) G2(x)
P=1[-]
RG
RG
RA(x)=1-x /18 [-]
RB(x)=x /18 [-]
6,0 m
12,0 m
Rys.3.15
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 24/37
2 x 2,0 m
2 x 2,0 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
Z równowagi części lewej:
M =0:G2śą xźą=-3 RAśą xźą [-]
"
RG
4.4.2.Zestawienie funkcji siły w pręcie G w zale\
ności od współrzędnej x:
2
pręt współrzędna
x")#0 ;9 *# x")#12 ;18 *#
G2 [-] -1,5 �"RBśą xźą -3 �"RAśą xźą
4.4.3.Wykreślenie linii wpływowej siły w pręcie G (z wykorzystaniem linii wpływowych reakcji jak na rys.3.3):
2
9,0 m 3,0 m 6,0 m
-1
-0,75
-
0
0
G2(x) [-]
Rys.3.16
4.5.1Wyznaczenie funkcji K (x)  przekrój �-� :
2
a)
x")#0 ;9 *#
x
G2(x) G2(x)
ą
K2(x)
K2(x)
ą
P=1[-]
RK
RK
RA(x)=1-x /18 [-]
RB(x)=x /18 [-]
9,0 m
9,0 m
Rys.3.17
Z równowagi części prawej:
M =0:-G2śą xźą�"4 -2 �"K śą xźącos �ą-3 �"K śą xźąsin �ą-9 RBśą xźą=0 [-]
"
RK 2 2
dla G2śą xźą=-1,5 �"RBśą xźą [-]
13�"R śą xźą [-]
ćą
mamy:
K śą xźą=-
2 B
4
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 25/37
2 x 2,0 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
b)
x")#12 ;18 *#
x
G2(x) G2(x)
ą
K2(x)
K2(x)
ą
P=1[-]
RK
RK
RA(x)=1-x /18 [-]
RB(x)=x /18 [-]
9,0 m 9,0 m
Rys.3.18
Z równowagi części lewej:
M =0:9 �"RAśą xźą�ą4 �"G2śą xźą�ą4 �"K śą xźącos �ą=0 [-]
"
RK 2
dla G2śą xźą=-3 �"RAśą xźą [-]
13�"R śą xźą [-]
ćą
mamy:
K śą xźą=
2 A
4
4.5.2.Zestawienie funkcji siły w pręcie G w zale\
ności od współrzędnej x:
2
pręt współrzędna
x")#0 ;9 *# x")#12 ;18 *#
K [-]
13�"R śą xźą 13�"R śą xźą
ćą ćą
2
-
B A
4 4
4.5.3.Wykreślenie linii wpływowej siły w pręcie K (z wykorzystaniem linii wpływowych reakcji jak na rys.3.3):
2
9,0 m 3,0 m 6,0 m
- -0,45
0
0
+
0,3 K2(x) [-]
Rys.3.19
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 26/37
2 x 2,0 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
4.6.1.Wyznaczenie funkcji G (x)  przekrój - :
3
a)
x")#0 ;6 *#
x
G3(x)
G3(x)
P=1[-]
RG
RG
RA(x)=1-x /18 [-]
RB(x)=x /18 [-]
12,0 m
6,0 m
Rys.3.20
Z równowagi części prawej: M =0 :G3śą xźą=-3 �"RBśą xźą [-]
"
RG
b)
x")#9 ;18 *#
x
G3(x)
G3(x)
P=1[-]
RG
RG
RA(x)=1-x /18 [-]
RB(x)=x /18 [-]
6,0 m 12,0 m
Rys.3.21
Z równowagi części lewej: M =0:G3śą xźą=-3 �"RAśą xźą [-]
"
RG
2
4.6.2.Zestawienie funkcji siły w pręcie G w zale\
ności od współrzędnej x:
3
pręt współrzędna
x")#0 ;6 *# x")#9 ;18 *#
G3 [-] -3 �"RBśą xźą -1,5 �"RAśą xźą
4.6.3.Wykreślenie linii wpływowej siły w pręcie G (z wykorzystaniem linii wpływowych reakcji jak na rys.3.3):
3
6,0 m 3,0 m 9,0 m
-1
-0,75
-
0
0
G3(x) [-]
Rys.3.22
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 27/37
2 x 2,0 m
2 x 2,0 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
4.7.1.Wyznaczenie funkcji K (x)  przekrój �-� :
3
a)
x")#0 ;6 *#
x
G3(x)
G3(x)
ą ą
K3(x)
K3(x)
ą
P=1[-]
RK
RK
RA(x)=1-x /18 [-]
RB(x)=x /18 [-]
9,0 m 9,0 m
Rys.3.23
Z równowagi części prawej:
M =0:-4 �"K3śą xźącos �ą-4 �"G3śą xźą-9 �"RBśą xźą=0
"
RK
dla G3śą xźą=-3 �"RBśą xźą [-]
13�"R śą xźą [-]
ćą
mamy:
K3śą xźą=
B
4
b)
x")#9 ;18 *#
x
G3(x)
G3(x)
ą
ą
K3(x)
K3(x)
ą
P=1[-]
RK
RK
RA(x)=1-x /18 [-]
RB(x)=x /18 [-]
9,0 m 9,0 m
Rys.3.24
Z równowagi części lewej:
M =0: 4 �"G3śą xźą�ą2 �"K3śą xźącos �ą�ą3 �"K3śą xźąsin �ą�ą9 �"RAśą xźą=0
"
RK
dla G3śą xźą=-1,5 �"RAśą xźą [-]
13�"R śą xźą [-]
ćą
mamy:
K3śą xźą=-
A
4
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 28/37
2 x 2,0 m
2 x 2,0 m
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
4.7.2.Zestawienie funkcji siły w pręcie K w zale\
ności od współrzędnej x:
3
pręt współrzędna
x")#0 ;6 *# x")#9 ;18 *#
K [-]
13�"R śą xźą 13�"R śą xźą
ćą ćą
3
-
B A
4 4
4.7.3.Wykreślenie linii wpływowej siły w pręcie K (z wykorzystaniem linii wpływowych reakcji jak na rys.3.3):
3
6,0 m 3,0 m 9,0 m
-0,45
-
0
0
0,3
+
K3(x) [-]
Rys.3.25
4.8.1.Wyznaczenie funkcji S (x)  z równowagi węzła S [patrz rys.3.4.]
2
W tym przypadku uwzględniam dwie sytuacje: gdy siła P=1[-] znajduje się w przedziałach
x")#0 ;6 *#
i (wówcza określone są fukcje sił w prętach G , G , K i K ) oraz osobno ustawienie siły P=1 [-]
x")#12 ;18 *# 2 3 2 3
w punkcie x=9 (wówczas mogę określić konkretne wartości ww. prętów w węz
le S). Otrzymuję zatem:
a) oraz
x")#0 ;6 *# x")#12 ;18 *#
G3(x) G2(x)
ą ą
K3(x)
K2(x)
S2(x)
Rys.3.26
Y =0 :-K3śą xźąsin �ą-K śą xźąsin �ą-S2śą xźą=0
"
2
zatem: S2śą xźą=-sin �ąśą K śą xźą�ąK3śą xźąźą
2
Uwzględniając wartości K śą xźą oraz K3śą xźą na zadanych przedziałach otrzymuję:
2
S2śą xźą=0 [-]
b)
x=9
-0,75 -0,75
ą ą
-0,45
-0,45
S2(x)
Rys.3.27
Y =0 :-śą-0,45źąsin �ą-śą-0,45źąsin �ą-S2śą xźą=0
"
zatem S2śą xźą=0,5 [-]
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 29/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
4.8.2.Zestawienie funkcji siły w pręcie S w zale\
ności od współrzędnej x:
2
pręt współrzędna
x")#0 ;6 *# x=9 x")#12 ;18 *#
S2 [-] 0 0,5 0
4.8.3.Wykreślenie linii wpływowej siły w pręcie S :
2
6,0 m 3,0 m 3,0 m 6,0 m
0
0
+
+
0,5
S2(x) [-]
Rys.3.28
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 30/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
Projekt nr 1
LINIE WPA
YWOWE SIA
W UKA
ADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
EKSTREMALNE WARTOŚCI WIELKOŚCI STATYCZNYCH
Zadanie: Dla belki pokazanej na rys. 4.1. przy obcią\
eniu zespołem sił ruchomych jak na rys. 4.2. obliczyć ekstremalne
wartości momentu zginającego w przekroju �-�.
�
�
3,0 m 1,0 m 4,0 m 2,0 m 3,0 m 1,0 m
5,0 m
5,0 m
5,0 m
Rys. 4.1.
Zadany zespół sił ruchomych:
10 kN/m
30 kN
1,0 m 2,0 m
Rys.4.2.
Rozwiązanie:
Dana belka jest analogiczna do belki z rys. 1.1, stąd te\
wykres linii wpływu momentu zginającego w przekroju �-� jest
taki jak na rys. 1.12.
Wykres linii wpływu momentu zginającego w przekroju �-�:
-0,625
M�-�(x)[m]
- -
0
0
+
+
1,875
Rys.4.3.
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 31/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
Wyznaczenie ekstremalnych wartości momentu zginającego :
M�-� [m]
1. Wartość maksymalna momentu wystąpi przy poło\
eniu zespołu sił jak na rys.4.4.:
10 kN/m
30 kN
-0,625
M�-�(x)[m]
-0,469-0,313
-0,156
0 0
0
0,375
+
0,75 0,625
1,125
1,25
1,5
1,875
Rys.4.4.
0,75 1,5
M max 30 1,875 10 2 78,75 kNm
2
2. Wartość minimalna momentu wystąpi przy poło\
eniu zespołu sił jak na rys.4.5.:
10 kN/m
30 kN
-0,625
M�-�(x)[m]
-0,469-0,313
-0,156
0 0
0
0,375
+
0,75
0,625
1,125
1,25
1,5
1,875
Rys.4.5
0,469 0,156
M min 30 0,625 10 2 25 kNm
2
Zestawienie wyników:
M�-�
Dla zadanej belki, przy obcią\
eniu zespołem sił jak na rys.4.2 ekstremalne wartości momentu zginającego :
M max 78,75 kNm
M min 25 kNm
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 32/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
Projekt nr 1
LINIE WPA
YWOWE SIA
W UKA
ADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
OBWIEDNIA MOMENTÓW
Zadanie: Dla belki pokazanej na rys.5.1 obcią\
onej zespołem sił ruchomych jak na rys. 5.2. wyznaczyć obwiednię
momentów.
3,0 m 4,0 m 2,0 m
Rys.5.1
Zespół obcią\
eń:
10 kN/m
30 kN
1,0 m 2,0 m
Rys.5.2
Rozwiązanie:
Aby wykreślić obwiednię momentów w pierwszej kolejności wyznaczam linie wpływowe oraz ekstremalne wartości
momentu zginającego dla ka\
dego z przyjętych przekrojów. Przekroje ustanawiam co 1m jak na rys. 5.3.:
1 2 3 8
0 4 7
5 6 9
3,0 m 4,0 m 2,0 m
Rys.5.3
Na rysunkach poni\
ej przedstawiono linie wpływowe momentu zginającego dla ka\
dego z przekrojów 0-9. Kolorem
czarnym przedstawiono poło\
enie danego zespołu obcią\
eń, przy którym moment zginający ma wartość maksymalną,
natomiast kolorem czerwonym poło\
enie, dla którego moment zginający jest minimalny. Pod ka\
dym z rysunków
wykonano obliczenia ekstremalnych wartości momentu.
Przekrój 0
0
M x m
0
Rys.5.4
M max M min 0 kNm
0 0
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 33/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
Przekrój 1
10 kN/m
30 kN
-1
0
M x m
1
Rys. 5.5.
M max 0 kNm
1
M min 30 1 30 kNm
1
Przekrój 2
10 kN/m
30 kN
-2 -1
0
M x m
2
Rys.5.6.
M max 0 kNm
2
1 1
M min 30 2 10 65 kNm
2
2
Przekrój 3
10 kN/m
30 kN
-3
-2
-1
0
M x m
3
Rys.5.7
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 34/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
M max 0 kNm
3
2 2
M min 30 3 10 110 kNm
3
2
Przekrój 4
10 kN/m
30 kN
10 kN/m
30 kN
-2,25
-1,5
-0,25 -0,5
-0,75
0
M x m
4
0,25
0,5
0,75
Rys.5.8
2 0,5
M max 30 0,75 10 27,5 kNm
4
2
2 1,5
M min 30 2,25 10 82,5 kNm
4
2
Przekrój 5
10 kN/m
30 kN
10 kN/m
30 kN
-1
-0,5
-1,5
-1 -0,5
0 0
M x m
5
0,5
0,5
1
Rys.5.9
1 0,5 1 0.5
M max 30 1 10 30 1 30 kNm
5
2 2
2 1
M min 30 1,5 10 55 kNm
5
2
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 35/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
Przekrój 6
30 kN
10 kN/m
30 kN
-1,5
-0,75
-0,5
-0,75
-0,25
0 0
M x m
6
0,25
0,5
0,75
Rys.5.10
2 0,5
M max 30 0,75 10 27,5 kNm
6
2
M min 30 1,5 45 kNm
6
Przekrój 7
30 kN
10 kN/m
-2
-1
0
0
M x m
7
Rys.5.11
M max 0 kNm
7
1 1
M min 30 2 10 65 kNm
7
2
Przekrój 8
30 kN
-1
0 0
M x m
8
Rys.5.12
M max 0 kNm
8
M min 30 1 30 kNm
8
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 36/37
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 05.11.04
Przekrój 9
0
M x m
9
Rys.5.13
M max M min 0 kNm
9 9
Wykreślenie obwiedni momentów na podstawie powy\
szych obliczeń:
-110
-82,5
-65
-65
-55
-45
-30
-30
0
0
obw M [kNm]
0 0
0 0 0
0 0
27,5
27,5
30
Rys.5.14
Anna Zielona gr.3 KBI - Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych 37/37