Dla kratownicy o schemacie jak poni\
ej (Rys. 1.1) wyznaczyć linie wpływu zaznaczonych wielkości
statycznych.
S3 - 5 5
1 3 7 9 11 13
S3 - 6 S5 - 6
S7 - 8
4 8 10 12
S4 - 6 6
2 14
6 6 6 6 6 6
18 18
36
Rys. 1.1 Rozpatrywana kratownica
x 36 - x
1 3 5 7 9 11 13
4 6 8 10 12
2 14
18 18
36
Rys. 1.1.1 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczeniem reakcji (sił biernych)
Linie wpływu reakcji podporowych uzyskuje się z równań równowagi statecznej.
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty AlmaMater
4
8
4
4
8
4
M =0 Śą 36 V -P śą36-xźą=0
"
C A
36 V =36 - x /�36
A
x
lw V =1-
A
(1.1.1)
36
Aby graficznie przedstawić powy\
szą funkcję (prostą), potrzebujemy minimum dwa punkty przez które ona
przechodzi.
dla x=0 Śą V =1
A
(1.1.2)
[-]
#" #"
dla x=36 Śą V =0
A
M =0 Śą -36 V �ąP�"x=0
"
A C
36 V =x /�36
C
x
lw V =
C
(1.1.3)
36
Postępując analogicznie jak wcześniej do równania (1.1.3) podstawiamy konkretne wartości:
dla x=0 Śą V =0
C
(1.1.4)
[-]
#" #"
dla x=36 Śą V =1
C
X =0 Śą H -H =0
"
A C
(1.1.5)
H =H =H
A C
Poniewa\
mamy do czynienia z układem trójprzegubowym, musimy rozwa\
yć dwa następujące przypadki:
1o Gdy siła  P działa na lewą część układu (Rys.1.1.3) tzn. na lewo od przegubu, czyli x" )#0 ,18*#
x
1 3 5 7 7 9 11 13
4 6 8 8 10 12
2 14
18 18
x" )#0,18*#
Rys. 1.1.3 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczeniem reakcji (sił biernych), gdy siła działa na lewo od przegubu
Liczymy równowagę z prawej strony (łatwiej - mniej składowych równania):
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty AlmaMater
8
4
4
M =0 Śą -18 V �ą4 H =0
"
B C
4 H =18 V /�4
C
18
lw H = lw V
C
(1.1.6)
4
Po podstawieniu do powy\
szego równania (1.1.6), równania wcześniej ju\
wyprowadzonego (1.1.3)
otrzymamy:
x x
lw H =18�" = (1.1.7)
4 36 8
dla x=0 Śą H =0,0
(1.1.8)
[-]
#" #"
dla x=18 Śą H =2,25
2o Gdy siła  P działa na prawą część układu (Rys.1.1.4) tzn. na prawo od przegubu, czyli x" )#18,36 *#
18 - x
1 3 5 7 7 9 11 13
4 6 8 8 10 12
2 14
18 18
x" )#18,36 *#
Rys. 1.1.4 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczeniem reakcji (sił biernych), gdy siła  P działa na prawo od
przegubu
Liczymy równowagę z lewej strony (łatwiej - mniej składowych równania):
M =0 Śą 18 V -4 H =0
"
B A
4 H =18 V /�4
A
lw H =18 lw V
A
(1.1.9)
4
Po podstawieniu do powy\
szego równania (1.1.9), równania wcześniej ju\
wyprowadzonego (1.1.1)
otrzymamy:
18 x x
lw H = 1- =18 - (1.1.10)
śą źą
4 36 4 8
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty AlmaMater
8
4
4
dla x=18 Śą H =2,25
(1.1.11)
[-]
#" #"
dla x=36 Śą H =0,0
Warto zauwa\
yć, \
e w przegubie (czyli dla x = 18) wartość wyliczona dla układu z jego lewej strony (1.1.8),
równa jest wartości wyliczonej dla układu z prawej strony przegubu (1.1.11). Zgodność ta nie jest
przypadkowa i stanowić mo\
e pewnego rodzaju sprawdzenie poprawności przeprowadzanych obliczeń.
Linie wpływu sił normalnych w prętach kratownicy uzyskuje się, wykorzystując znane metody
rozwiązywania kratownic tzn. metodę równowa\
enia węzłów i metodę Rittera.
1o Gdy siła  P działa na węzły, poło\
one na lewo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.1), czyli
x" )#0 ,6 *#
x
S3 - 5 5
1 3 7 9 11 13
�ą
S3 - 6
�ą
4 8 10 12
S4 - 6 6
2 14
6 6 6 6 6 6
18 18
36
x" )#0 ,6 *#
Rys. 1.2.1 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczonymi siłami wewnętrznymi w badanych prętach, gdy siła  P
działa na węzły poło\
one na lewo od nich
Liczymy równowagę z prawej strony (łatwiej - mniej składowych równania):
- dla pręta S
3-5
M =0 Śą -24 V �ą4 H -4 S3-5=0
"
6 C
4 S3-5=4 H -24 V /�4
C
lw S3-5=lw H -6 lw V
C
(1.2.1)
Po podstawieniu do powy\
szego równania (1.2.1), wielkości wcześniej ju\
wyprowadzone (1.1.3 i 1.1.7)
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty AlmaMater
4
8
4
otrzymamy:
x x x
lw S3-5= -6 =- (1.2.2)
8 36 24
dla x=0 Śą S3-5=0,0
(1.2.3)
[-]
#" #"
dla x=6 Śą S3-5=-0,25
- dla pręta S
4-6
M =0 Śą -30 V �ą8 H �ą4 S4-6=0
"
3 C
4 S4-6=30 V -8 H /�4
C
lw S4-6=15 lw V -2 lw H
C
(1.2.4)
2
Po podstawieniu do powy\
szego równania (1.2.4), wielkości wcześniej ju\
wyprowadzone (1.1.3 i 1.1.7)
otrzymamy:
15�" x x
lw S4-6= -2�"x =- (1.2.5)
2 36 8 24
dla x=0 Śą S4-6=0,0
(1.2.6)
[-]
#" #"
dla x=6 Śą S4-6=-0,25
- dla pręta S
3-6
Do obliczeń potrzebować będziemy kąt zawarty między krzy\
ulcami a pasem dolnym prętów kratownicy
(Rys.1.2.1).
4 4
o
tg �ą= Śą �ą=arctg =33,69
6 6
Stąd:
sin �ą=0,5547
(1.2.7)
cos �ą=0,8320
Y =0 Śą V �ąS3-6�"sin �ą=0
"
C
S3-6�"sin �ą=-V /�sin �ą
C
1
lw S3-6=- lw V
C
(1.2.8)
sin �ą
Po podstawieniu do powy\
szego równania (1.2.8), równania wcześniej ju\
wyprowadzonego (1.1.3)
otrzymamy:
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty AlmaMater
x
lw S3-6=-
(1.2.9)
36 sin �ą
dla x=0 Śą S3-6=0,0
(1.2.10)
[-]
#" #"
dla x=6 Śą S3-6=-0,3
2o Gdy siła  P działa na węzły, poło\
one na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), czyli
x" )#12 ,36 *#
x
S3 - 5 5
1 3 7 9 11 13
�ą
S3 - 6
�ą
4 8 10 12
S4 - 6 6
2 14
6 6 6 6 6 6
18 18
36
x" )#12 ,36 *#
Rys. 1.2.2 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczonymi siłami wewnętrznymi w badanych prętach, gdy siła
 P działa na węzły poło\
one na prawo od nich
Liczymy równowagę z lewej strony (łatwiej - mniej składowych równania):
- dla pręta S
3-5
M =0 Śą 12V -4 H �ą4 S3-5=0
"
6 A
4 S3-5=4 H -12 V /�4
A
lw S3-5=lw H -3lw V
A
(1.2.11)
Po podstawieniu do powy\
szego równania (1.2.11), równania wcześniej ju\
wyprowadzonego (1.1.1)
otrzymamy:
x x
lw S3-5=lw H -3 1- = -3�ąlw H (1.2.12)
śą źą
32 12
Celowo nie podstawiono równania za linie wpływu reakcji  H , gdy\
zale\
nie od poło\
enia siły  P w
stosunku do przegubu jest ono inne. W ten sposób ponownie musimy rozpatrzyć dwa następujące przypadki:
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty AlmaMater
4
8
4
2o1o Gdy siła  P działa na węzły poło\
one na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), ale na lewo od
przegubu, czyli x" )#12 ,18*# . W takim przypadku linia wpływu reakcji  H , wyra\
ona będzie wzorem
(1.1.7) a linia wpływu siły normalnej w rozpatrywanym pręcie przyjmie następującą postać:
x
dla x" )#12 ,18*# Śą lw H =
8
x x 5 x
lw S3-5= -3�ą = -3 (1.2.13)
12 8 24
dla x=12 Śą S3-5=-0,5
(1.2.14)
[-]
#" #"
dla x=18 Śą S3-5=0,75
2o2o Gdy siła  P działa na węzły poło\
one na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), ale na prawo
od przegubu, czyli x" )#18 ,36 *# . W takim przypadku linia wpływu reakcji  H , wyra\
ona będzie
wzorem(1.1.10), a linia wpływu siły normalnej w rozpatrywanym pręcie przyjmie następującą postać:
x 18
dla x" )#18 ,36 *# Śą lw H =- �ą
8 4
x x x x 3
lw S3-5= -3�ą - �ą18 =- �ą (1.2.15)
12 8 8 4 24 2
dla x=18 Śą S3-5=0,75
(1.2.16)
[-]
#" #"
dla x=36 Śą S3-5=0,0
W przegubie (czyli dla x = 18) wartość wyliczona dla układu z jego lewej strony (1.2.14), równa jest
wartości wyliczonej dla układu z prawej strony przegubu (1.2.16).
- dla pręta S
4-6
M =0 Śą 6 V -8 H -4 S4-6=0
"
3 A
4 S4-6=6 V -8 H /�4
A
3
lw S4-6= lw V -2 lw H
A
(1.2.17)
2
Po podstawieniu do powy\
szego równania (1.2.17), równania wcześniej ju\
wyprowadzonego (1.1.1)
otrzymamy:
3 x x 3
lw S4-6= 1- -2 lw H =- �ą -2 lw H (1.2.18)
śą źą
2 36 24 2
Analogicznie jak dla pręta S ponownie musimy rozpatrzyć dwa następujące przypadki:
3-5,
2o1o Gdy siła  P działa na węzły poło\
one na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), ale na lewo od
przegubu, czyli x" )#12 ,18*# . W takim przypadku linia wpływu reakcji  H , wyra\
ona będzie wzorem
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty AlmaMater
(1.1.7), a linia wpływu siły normalnej w rozpatrywanym pręcie przyjmie następującą postać:
x
dla x" )#12 ,18*# Śą lw H =
8
x 3 3
lw S4-6=- �ą -2�"x =-7 x �ą (1.2.19)
24 2 8 24 2
dla x=12 Śą S4-6=-2,0
(1.2.20)
[-]
#" #"
dla x=18 Śą S4-6=-3,75
2o2o Gdy siła  P działa na węzły poło\
one na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), ale na prawo
od przegubu, czyli x" )#18 ,36 *# . W takim przypadku linia wpływu reakcji  H , wyra\
ona będzie
wzorem(1.1.10), a linia wpływu siły normalnej w rozpatrywanym pręcie przyjmie następującą postać:
x 18
dla x" )#18 ,36 *# Śą lw H =- �ą
8 4
x 3 x 5 x
lw S4-6=- �ą -2 - �ą18 = -15 (1.2.21)
śą źą
24 2 8 4 24 2
dla x=18 Śą S3-5=-3,75
(1.2.22)
[-]
#" #"
dla x=36 Śą S3-5=0,0
W przegubie (czyli dla x = 18) wartość wyliczona dla układu z jego lewej strony (1.2.20), równa jest
wartości wyliczonej dla układu z prawej strony przegubu (1.2.22).
- pręta S
3-6
Y =0 Śą V -S3-6�"sin �ą=0
"
A
S3-6�"sin �ą=V /�sin �ą
A
1
lw S3-6= lw V
A
(1.2.23)
sin �ą
Po podstawieniu do powy\
szego równania (1.2.16), równania wcześniej ju\
wyprowadzonego (1.1.1)
otrzymamy:
1 x
lw S3-6= �" 1- (1.2.24)
śą źą
sin �ą 36
dla x=12 Śą S3-6=1,2
(1.2.25)
[-]
#" #"
dla x=36 Śą S3-6=0,0
1o Gdy siła  P działa na węzły, poło\
one na lewo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.1), czyli
x" )#0 ,6 *#
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty AlmaMater
x
S3 - 5 5
1 3 7 9 11 13
S5 - 6
4 6 10 12
S6 - 8 8
2 14
6 6 6 6 6 6
18 18
36
x 0 ,6
Rys. 1.2.3 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczonymi siłami wewnętrznymi w badanych prętach, gdy sił  P
działa na węzły poło\
one na lewo od nich
Liczymy równowagę z prawej strony (łatwiej - mniej składowych równania):
Y 0 V S5 6 0
C
S5 6 V
C
(1.2.26)
lw S5 6 lw V
C
Po podstawieniu do powy\
szego równania (1.2.26), równania wcześniej ju\
wyprowadzonego (1.1.3)
otrzymamy:
lw S5 6 x (1.2.27)
36
dla x 0 S5 6 0,0
(1.2.28)
dla x 6 S5 6 0,17
2o Gdy siła  P działa na węzły, poło\
one na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), czyli
x 12 ,36
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty AlmaMater
4
8
4
x
S3 - 5 5
1 7 9 11 13
3
S5 - 6
4 6 10 12
S6 - 8 8
2 14
6 6 6 6 6 6
18 18
36
x 12 ,36
Rys. 1.2.4 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczonymi siłami wewnętrznymi w badanych prętach, gdy siła  P
działa na węzły poło\
one na prawo od nich
Liczymy równowagę z lewej strony (łatwiej - mniej składowych równania):
Y 0 V S5 6 0
A
S5 6 V
A
lw S5 6 lw V
A
(1.2.29)
Po podstawieniu do powy\
szego równania (1.2.29), równania wcześniej ju\
wyprowadzonego (1.1.1)
otrzymamy:
lw S5 6 x 1 (1.2.30)
36
dla x 12 S5 6 0,67
(1.2.31)
dla x 36 S5 6 0,0
Linie wpływu siły normalnej w tym pręcie, mo\
na wyliczyć w analogiczny sposób jak dotychczas. Mo\
na ją
jednak wyznaczyć bez liczenia, poprzez teoretyczną analizę. Zauwa\
my, \
e je\
eli w nieobcią\
onym węz
le
schodzą się tylko dwa pręty, są to pręty zerowe. Czyli rozpatrywany pręt jest prętem zerowym gdy siła  P
przyło\
ona jest poza przedziałem x � <18,24), tzn. gdy nie działa w węz
le 7. Je\
eli jednak stanie w tym
węz
le to cały skutek jej działania przejmie rozpatrywany pręt (będzie on ściskany). W przedziale między
zakładamy, \
e linia wpływu rozpatrywanego pręta zmienia się liniowo.
x 18 , 24
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty AlmaMater
4
8
4
x 36 - x
S3 - 5 5
1 3 7 9 11 13
S3 - 6 S5 - 6
S7 - 8
4 8 10 12
S4 - 6 6
2 14
6 6 6 6 6 6
18 18
36
lw
0
1- x
36
1
lw
0
x
36
1
lw lw
0 0
lw
x
18 x
-
8
4 8
x
-
0,50 2,25
0,25
24
lw
5 x
0 0
-
3
24 x �ą 3
-
0,75
24 2
3,75
7 x �ą 3
-
24 2
5 x 15
-
24 2
x
-
lw
24 0,25
x
-
0 0
�ą
0,30
36 sin
lw
0
0
1 x
1-
�ą �"
sin 36
1,20
x
-
0,67 1
36
lw
0
0 x
0,17
36
1
lw
0 0
Rys. 1.3.1 Zestawienie wyników
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty AlmaMater
4
8
4