PRZYKA
AD 1 (LINIE PIERWIASTKOWE)
Transmitancja operatorowa otwartego układu regulacji z jednostkowym ujemnym
sprzÄ™\
eniem zwrotnym dana jest wzorem:
1
GO = K Å"
s(s + 2)(s + 5)
a) Podaj obraz linii pierwiastkowych układu zamkniętego.
b) Określ krytyczne wzmocnienie K, przy którym układ zamknięty znajduje się na granicy
stabilności oraz podaj odpowiadającą temu pulsację drgań nietłumionych.
RozwiÄ…zanie
Niech:
m oznacza liczbę skończonych zer transmitancji układu otwartego G0(s) ,
n oznacza liczbę jej biegunów.
Dla rozwa\
anej transmitancji G0(s) zachodzi: m = ð0 oraz n = 3.
ð
Biegunami G0(s) sÄ… liczby: p1=-5 , p2 = ð-2 , p3 = 0 .
ð
Liczba asymptot, do których dą\
Ä… linie pierwiastkowe wynosi n-m= ð3.
Kąty między asymptotami mają wartość: 2*180o/3=120o.
Kąty między asymptotami a osią rzeczywistą są równe ą 60o , 180o .
OdciÄ™ta à punktu na osi rzeczywistej, z którego wychodzÄ… asymptoty:
a
n
pi
"
i=1
à = = -2.333.
a
n
Wspólną część linii pierwiastkowych oraz rzeczywistej osi płaszczyzny zespolonej stanowi
prawostronnie domknięta półprosta le\
ąca w lewo od bieguna p1 oraz domknięty odcinek
pomiędzy biegunami p2 i p3 .
Wynika stÄ…d, i\
punkt "odejścia" linii pierwiastkowych od osi rzeczywistej nale\
y do
odcinka [p2,p3].
Współrzędną punktu odejścia znajdujemy na podstawie charakterystycznego równania
układu zamkniętego, wyznaczając maksymalną wartość parametru K, dla której bieguny
układu zamkniętego są rzeczywiste.
Charakterystyczny wielomian W(s) rozwa\
anego układu ma postać
W(s)= s3+7s2+10s+K
Ró\
niczkujÄ…c otrzymujemy:
W(s)= 3s2+14s+10
o następujących pierwiastkach:
s1 = ð-0.8804 oraz s2 = ð-3.7863.
_________________________________________________________________________________________________
1
Powered by xtoff® [e-mail]
Tylko pierwszy z nich wyznacza szukany punkt odejścia: sd = s1 .
Zachodzi bowiem s1=[p2,p3].
Podstawiając s = sd w równaniu W(s) = 0 , otrzymujemy odpowiadającą temu
ð
punktowi wartość Kd wzmocnienia K :
Kd = 4.0607
ð
Krytyczną wartość wzmocnienia KKR , przy której układ zamknięty osiąga granicę
stabilności, obliczyć mo\
na na podstawie równania charakterystycznego W(s) = ð0 , kÅ‚adÄ…c s =
ð
jw ð.
Postępując w ten sposób, uzyskujemy równanie
2 2
jÉn (10 -Én ) - 7Én + KKR = 0
(1)
w którym Én oznacza pulsacjÄ™ odpowiednich drgaÅ„ nietÅ‚umionych.
Przyrównując do zera urojoną część wyra\
enia po lewej stronie tego równania, otrzymujemy:
rad
Én = 10
.
s
Z kolei, po podstawieniu pulsacji Én do równania (1), uzyskujemy równanie, ,z
którego wyznaczamy krytyczną wartość wzmocnienia:
KKR.= 70
ð
Tak uzyskany obraz linii pierwiastkowych pokazano na poni\
szym rysunku:
_________________________________________________________________________________________________
2
Powered by xtoff® [e-mail]
PRZYKA
AD 2 (LINIE PIERWIASTKOWE)
Rozpatrzymy układ ze sprzę\
eniem zwrotnym
W(s) E(s)
Regulator
Obiekt
U(s) Y(s)
Kp
Go(s)

Transmitancja obiektu ma postać
K0
G0(s) =
s(s +1)
Wyznaczyć poło\
enie pierwiastków układu zamkniętego ze względu na Kp.
RozwiÄ…zanie
Wykorzystując przyjęte wcześniej formy zapisu
m=0 b(s)=1 K0=1 K = Kp
n=2 a(s)=s2+s pi = 0, -1
Charakterystyka poło\
enia pierwiastków jest graficznym przedstawieniem pierwiastków
równania:
a(s) + Kb(s) = 0
czyli:
s2 + s + K = 0
Rozwiązania mają postać:
1 1- 4K
s1, s2 = - Ä…
2 2
_________________________________________________________________________________________________
3
Powered by xtoff® [e-mail]
Szkic poło\
enia pierwiastków
1
Dla 0 d" K d" pierwiastki przyjmują wartości rzeczywiste z przedziału (-1,0).
4
1 1
Dla K = istnieją dwa pierwiastki o wartościach równych -
4 2
1 1
Dla K > pierwiastki są liczbami zespolonymi, których część rzeczywista ma wartość - ,
4 2
natomiast część urojona wzrasta proporcjonalnie do K .
Zmieniając wartość K mo\
emy umiejscowić bieguny układu zamkniętego w dowolnych
punktach nale\
ących do charakterystyki pierwiastków.
_________________________________________________________________________________________________
4
Powered by xtoff® [e-mail]
PRZYKA
AD 3 (LINIE PIERWIASTKOWE)
Rozwa\
my transmitancjÄ™:
s +1
GO = K Å"
s(s + 4)(s2 + 2s + 2)
które odpowiada równaniu charakterystycznemu
W(s)=s(s + 4)(s2 + 2s + 2)+ K(s +1)= 0
RozwiÄ…zanie
Konfiguracja zero-biegunowa pokazana jest na rysunku 4. KorzystajÄ…c z poznanych
własności linii pierwiastkowych, kiedy w równaniu charakterystycznym K zmienia się od -"
do +" , wówczas:
1. K = 0: Punkty na linii pierwiastkowej w których K = 0 są biegunami transmitancji
G(s)H(s): s = 0, s=-4, s=-1+j oraz s=-1-j.
2. K = ą ": Punkty na linii pierwiastkowej w których K = ą " są zerami transmitancji
G(s)H(s): s = -1, s = ", s = " oraz s = ".
3. Z równania charakterystycznego widać, \
e będą cztery linie pierwiastkowe, gdy\
równanie
to jest czwartego rzędu.
4. Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych.
5. Poniewa\
liczba biegunów transmitancji G(s)H(s) jest większa od liczby zer transmitancji
G(s)H(s) i ró\
nica ta wynosi trzy ( n - m = 4 - 1 = 3 ), czyli kiedy K = ą ", wówczas
linie pierwiastkowe zmierzają przy s = " wzdłu\
sześciu asymptot. Kąty asymptot przy
K e" 0 są wyznaczane z równania
2i +1
Åši = Å"1800 ,n `" m
n - m
gdzie i = 0, 1, 2, ..., n - m -1;
1800
i = 0 Ò! Åš0 = = 600
3
5400
i = 1 Ò! Åš1 = = 1800
3
9000
i = 2 Ò! Åš2 = = 3000
3
Kąty asymptot przy K d" 0 są wyznaczane z równania:
2i
Åši = Å"1800 ,n `" m
n - m
gdzie i = 0, 1, 2, ..., n - m -1; wynoszÄ… odpowiednio: 0o , 120o oraz 240o .
_________________________________________________________________________________________________
5
Powered by xtoff® [e-mail]
6. Kąty przecięcia asymptot wyznaczane są ze wzoru
n m
pi - z
" " j
i=1 j=1
à =
a
n - m
,gdzie
pi  bieguny transmitancji G(s)H(s)
zj - zera transmitancji G(s)H(s)
(-4 -1-1) - (-1)
Ã1 =
4 -1
Asymptoty linii pierwiastkowych pokazane sÄ… na rysunku 4.
Rys. 4
_________________________________________________________________________________________________
6
Powered by xtoff® [e-mail]