Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
Analiza uchybowa przeprowadzona w tym opracowaniu ograniczona jest tylko do układów
z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym. Sygnały wejściowy i wyjściowy typowego układu
sterowania dyskretnego są funkcjami ciągłymi w czasie, tak jak pokazano to na rysunku 1,
ZOH Proces
r(t) e(t) e*(t) y(t)
Gh0(s) Gp(s)
T
R(s) E(s) E*(s) Y(s)
G(s)
Rys. 1. Schemat blokowy układu sterowania dyskretnego
wobec tego sygnał uchybu mógłby zostać zdefiniowany następująco
e(t) = r(t) - y(t) (1)
gdzie r(t) jest sygnałem wejściowym, natomiast y(t) sygnałem wyjściowym. W związku z tym, że
wewnątrz układu pojawiają się dane dyskretne to do opisu tych układów stosuje się transformatę z lub
równania różnicowe i sygnały wejściowy i wyjściowy reprezentowane są w postaci próbkowanej,
odpowiednio r(kT) oraz y(kT). Wobec tego sygnał uchybu
e(kT)= r(kT)- y(kT) (2)
Uchyb w stanie ustalonym w chwilach próbkowania definiowany jest jako
*
eu = lim e(t)= lim e(kT) (3)
t" k"
Przez zastosowanie twierdzenia o wartości końcowej transformaty z, uchyb w stanie ustalonym
* -1
eu = lim e(kT)= lim(1 - z )E(z) (4)
k" z1
-1
przy założeniu, że (1 - z )E(z) nie ma żadnego bieguna na zewnątrz okręgu jednostkowego na
*
płaszczyz
nie z. Należy zaznaczyć, że prawdziwym uchybem w układzie jest e(t); eu określa uchyb
tylko w chwilach próbkowania. Przez wyrażenie E(z) w zależności od R(z) oraz Gh0G (z) równanie
p
uchybowe zapisywane jest następująco:
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17 � M. Tomera
Teoria sterowania Analiza uchybowa układów dyskretnych
R(z)
* -1
eu = lim e(kT)= lim(1 - z )1 + Gh0G (z) (5)
k" z1
p
Wyrażenie to pokazuje że uchyb w stanie ustalonym zależy zarówno od sygnału odniesienia jak
również od transmitancji w torze bezpośrednim Gh0G (z). Tak jak w układzie ciągłym rozważane są
p
trzy podstawowe typy sygnałów i powiązanych z nimi stałych uchybowych oraz typów układów.
Załóżmy, że transmitancja procesu sterowanego w układzie z rysunku 1, ma postać
K(1 + Tas)(1 + Tbs)...(1 + Tms)
Gp (s)= (6)
N
s (1 + T1s)(1 + T2s)...(1 + Tns)
gdzie N = 0, 1, 2, ... Transmitancja Gh0G (z)
p
ńł �ł
K(1 + Tas)(1 + Tbs)...(1 + Tms)
�ł �ł
-1
Gh0Gp(z)= (1 - z )Z (7)
�ł
N +1
�łs (1 + T1s)(1 + T2s)...(1 + Tns)żł
�ł
ół �ł
2. UCHYB W STANIE USTALONYM PO PODANIU NA WEJŚCIE UKA
ADU REGULACJI SYGNAA
U
ZADANEGO O POSTACI FUNKCJI SKOKOWEJ
Dla sygnału zadanego r(t) o postaci funkcji skokowej o amplitudzie R
r(t) = R �"1(t) (8)
transformata z ma postać
z
R(z) = R (9)
z -1
Podstawiając R(z) do równania (5), otrzymuje się
z
R
R R R
* -1 z -1
eu = lim(1 - z )1 + Gh0Gp (z) = lim = = (10)
*
z1 z1
1 + Gh0Gp (z) 1 + limGh0Gp (z)
1 + K
p
z1
Zakładając, że stała uchybu pozycyjnego będzie definiowana jako
*
K = lim Gh0G (z) (11)
p p
z1
Widać stąd, że uchyb w stanie ustalonym układu sterowania dyskretnego jest odnoszony do stałej
*
uchybu skokowego w taki sam sposób jak w przypadku układu ciągłego z tą różnicą, że K jest
p
wyznaczane w oparciu o równanie (10).
*
Można powiązać stałą K z typem układu. Dla układu typu 0, N = 0 w równaniu (7), czyli
p
ńł K(1 + Tas)(1 + Tbs)...(1 + Tms)
�ł
-1
Gh0Gp (z)= (1 - z )Z (12)
�ł żł
s(1 + T1s)(1 + T2s)...(1 + Tns)
ół �ł
Dokonując rozkładu na ułamki proste funkcji znajdującej się w nawiasie równania (11), otrzymuje się
K
ńł
-1 -1
Gh0G (z)=(1 - z )Z + pozostale�ł =(1 - z )ńł zKz + pozostale�ł (13)
�ł żł �ł żł
p
s -1
ół �ł ół �ł
W związku z tym, że niezerowe bieguny nie zawierają w mianowniku składnika (z -1), stała uchybu
skokowego zapisywana jest jako
* -1
K = lim Gh0Gp (z) = lim(1 - z )zKz1 = K (14)
p
z1
-
z1
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17 � M. Tomera 2
Teoria sterowania Analiza uchybowa układów dyskretnych
Podobnie dla układu typu 1, Gh0G (z) będzie miało czynnik s2 w mianowniku co odpowiada
p
2
*
elementowi (z -1) . Powoduje to że stała uchybu skokowego K będzie nieskończonością. Tak samo
p
będzie dla układów typu większego od 1.
Tabela 1. Stałe uchybu i uchyby w stanie ustalonym po podaniu sygnału zadanego o postaci funkcji skokowej
*
*
Typ układu eu
K
p
0 K
R (1 + K)
1 0
"
2 0
"
3. UCHYB W STANIE USTALONYM PO PODANIU NA WEJŚCIE UKA
ADU REGULACJI SYGNAA
U
ZADANEGO O POSTACI FUNKCJI LINIOWO-NARASTAJ
CEJ
Dla sygnału zadanego r(t) o postaci funkcji liniowo-narastającej o nachyleniu R
r(t) = Rt �"1(t) (15)
transformata z ma postać
Tz
R(z) = R (16)
2
(z -1)
Podstawiając R(z) do równania (5), otrzymuje się
z
RT
2
(z -1) RT R R
* -1
eu = lim(1 - z )1 + Gh0Gp (z) = lim = (17)
*
z1 z1
(z -1)[1 + Gh0Gp (z)]= lim[(z -1) T]Gh0Gp (z)
Kv
z1
Zakładając, że stała uchybu prędkościowego będzie definiowana jako
1
*
Kv = lim[(z -1)Gh0G (z)] (18)
p
z1
T
Stała uchybu prędkościowego jest użyteczna tylko wówczas gdy sygnał wejściowy r(t) jest funkcją
liniowo narastającą i jeśli funkcja (z -1)Gh0G (z) w równaniu (18) nie ma żadnych biegunów na
p
* *
zewnątrz okręgu jednostkowego z =1 . Zależności pomiędzy uchybem w stanie ustalonym eu , Kv ,
a typem układu dla sytuacji w której sygnał zadany ma postać sygnału liniowo-narastającego
o nachyleniu R zawarte są w tabeli 2.
Tabela 2. Stałe uchybu i uchyby w stanie ustalonym po podaniu sygnału zadanego o postaci funkcji liniowo-
narastającej
*
*
Typ układu eu
Kv
00
"
1 K
R K
2 0
"
4. UCHYB W STANIE USTALONYM PO PODANIU NA WEJŚCIE UKA
ADU REGULACJI SYGNAA
U
ZADANEGO O POSTACI FUNKCJI PARABOLICZNEJ
Dla sygnału zadanego r(t) o postaci funkcji parabolicznej i współczynniku R
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17 � M. Tomera 3
Teoria sterowania Analiza uchybowa układów dyskretnych
1
2
r(t) = Rt �"1(t) (19)
2
transformata z ma postać
z(z + 1)
2
R(z) = RT (20)
3
2(z -1)
Podstawiając R(z) do równania (5), otrzymuje się
z(z + 1)
2
RT
3 2
2(z -1) RT (z + 1) R R
* -1
eu = lim(1 - z )1 + Gh0Gp (z) = lim
2 *
2
z1 z1
2
łł Ka
2(z -1) [1 + Gh0Gp (z)]= lim�ł(z -1) T śłGh0Gp (z) = (21)
�ł
z1
�ł �ł
Zakładając, że stała uchybu parabolicznego będzie definiowana jako
1
*
Ka = lim[(z -1)2 Gh0G (z)] (22)
p
2
z1
T
* *
Zależność pomiędzy uchybem eu , Ka oraz typem układu dla przypadku w którym sygnał wejściowy
r(t) ma postać funkcji parabolicznej zebrany jest w tabeli 3.
Tabela 3. Stałe uchybu i uchyby w stanie ustalonym po podaniu sygnału zadanego o postaci funkcji
parabolicznej
*
*
Typ układu eu
Ka
00
"
10
"
2
K R K
3 0
"
Przykład 1
Schemat blokowy układu sterowania impulsowego pokazany jest na rysunku 1.1. Okres
próbkowania T = 0.1 [s].
* * *
a) Wyznacz stałe uchybowe K , Kv , Ka .
p
b) Wyznacz zakres stabilności dla strojonego parametru K.
R(s) E(s) E*(s) H(s) Y(s)
5K
ZOH
s(s+2)
T
Rys. 1.1. Schemat blokowy badanego układu
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności należy przekształcić układ z rysunku 1.1 do postaci
dyskretnej. W tym celu należy wyznaczyć zastępczą transmitancję dyskretną połączenia
kaskadowego ekstrapolatora zerowego rzędu i transmitancji operatorowej procesu.
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17 � M. Tomera 4
Teoria sterowania Analiza uchybowa układów dyskretnych
G (s)
ńł �ł
K(0.0234z + 0.0219) K(0.0234z + 0.0219)
p
-1
Gh0Gp (z) = (1 - z )Z = = (1.1)
�ł żł
2
s (z -1)(z - 0.8187)
z -1.8187z + 0.8187
ół �ł
Po wyznaczeniu transmitancji dyskretnej połączenia kaskadowego ekstrapolatora zerowego
rzędu i procesu, rozpatrywany układ z rysunku 1.1 można przedstawić w postaci układu
pokazanego na rysunku 1.2.
R(z) E(z) Y(z)
0.0234z + 0.0219
K
z2 - 1.8187z + 0.8187
Rys. 1.2. Schemat blokowy badanego układu.
*
Stałą uchybu skokowego K wyznacza się ze wzoru (10) i w tym przypadku
p
K(0.0234z + 0.0219) 0.0453K
*
K = lim Gh0G (z) = lim = = " (1.2)
p p
2
z1 z1
0
z -1.8187z + 0.8187
*
Stałą uchybu prędkościowego Kv wyznacza się ze wzoru (15) i w tym przypadku
1 1 �ł K(0.0234z + 0.0219)łł 0.25K
*
Kv = lim[(z -1)Gh0G (z)]= lim�ł(z -1) = (1.3)
p
śł
z1 z1
T T (z -1)(z - 0.8187) T
�ł �ł
Ze wzoru (1.3) widać, że wartość stałej uchybu prędkościowego z układzie z rysunku 1.1.
zależeć będzie zarówno od wzmocnienia w układzie jak i częstotliwości próbkowania.
*
Stałą uchybu przyśpieszeniowego Ka wyznacza się ze wzoru (18) i dla rozważanego w tym
przykładzie układu
1 1 �ł
*
Ka = lim[(z -1)2 Gh0G (z)]= lim�ł(z -1)2 K(0.0234z + 0.0219)łł = 0 (1.4)
p
śł
2 2
z1 z1
(z -1)(z - 0.8187)
T T
�ł �ł
Pozostaje do wyznaczenia zakres strojonego parametru K pozwalający na stabilną pracę układu.
Równanie charakterystyczne uzyskane na podstawie transmitancji dyskretnej (1.1)
2
M (z) = z + (0.0234K -1.8187)�" z + 0.0219K + 0.8187 = 0 (1.5)
Korzystając z warunku koniecznego kryterium Jury, uzyskuje się następujące warunki
stabilności
M (z =1) = 0.453K > 0 (1.6)
M (z = -1) = -0.0015K + 3.6375 > 0 (1.7)
a0 = 0.0219K + 0.8187 < a2 =1 (1.8)
Na podstawie warunków stabilności (1.6), (1.7) oraz (1.8) wyznacza się zakres parametru K
pozwalający na stabilna pracę układu.
0 < K < 8.2757 (1.9)
Obliczenia wykonane w tym przykładzie zostały uzyskane przy użyciu następującego kodu
programu Matlaba.
clear
close all
echo off
clc
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17 � M. Tomera 5
Teoria sterowania Analiza uchybowa układów dyskretnych
% Parametry transmitancji procesu
numC = 5;
denC = [1 2 0];
sysC = tf( numC, denC);
%sisotool( sysC)
Tp = 0.1; % Okres próbkowania
% Konwersja do postaci dyskretnej
sysD = c2d( sysC, Tp, 'zoh');
[numD, denD] = tfdata( sysD, 'v')
% Współczynniki wielomianu licznika transmitancji dyskretnej
b2z = numD(1); b1z = numD(2); b0z = numD(3);
% Współczynniki wielomianu mianownika transmitancji dyskretnej
a2z = denD(1); a1z = denD(2); a0z = denD(3);
% Współczynniki równania charakterystycznego
Ma2 = [b2z a2z]; Ma1 = [b1z a1z]; Ma0 = [b0z a0z];
% Wyznaczenie wartości M(z)
z = 1;
zz = [z^2 z 1]
MKz = numD*zz'
Mz = denD*zz'
% Wzmocnienie krytyczne
Kkr = (1-a0z)/b0z
Przykład 2
Wyznacz uchyb w stanie ustalonym pojawiający się w układzie regulacji z rysunku 2.1. Okres
próbkowania T = 0.1 [s]. Sygnał zadany ma postać funkcji
2
" r(t) = 5 �" t �"1(t)
E(s) E*(s)
R(s) Y(s)
K(s2 + 15s + 10)
ZOH
s3 + 7s2
T
Rys. 2.1. Schemat blokowy układu regulacji dyskretnej z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym.
Sprawdz
również zakres strojonego parametru K dla którego układ ten jest stabilny i uzyskany
wynik jest poprawny. Dodatkowo wyznacz wzmocnienie krytyczne K oraz ile próbek Nosc
kr
mieści się w jednym okresie oscylacji.
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności należy wyznaczyć postać dyskretną połączenia
kaskadowego ekstrapolatora zerowego rzędu i transmitancji procesu w tym przypadku
2
G (s)
ńł �ł
K(0.1335z - 0.1515z + 0.0252)
p
-1
Gh0Gp (z) = (1 - z )Z = (2.1)
�ł żł
2
s
z3 - 2.4966z + 1.9932z - 0.4966
ół �ł
Dla potrzeb wyznaczania uchybu w stanie ustalonym warto zapisać mianownik wyznaczonej
transmitancję dyskretnej (2.1) w postaci iloczynowej
2
K(0.1335z - 0.1515z + 0.0252)
Gh0Gp (z) = (2.2)
2
(z -1) (z - 0.4966)
Sygnał zadany ma postać funkcji parabolicznej
1
r(t) = 5 �" t2 �"1(t) = �"10 �" t2 �"1(t) (2.3)
2
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17 � M. Tomera 6
Teoria sterowania Analiza uchybowa układów dyskretnych
czyli amplituda tego sygnału wynosi R = 10. Uchyb w stanie ustalonym dla sygnałów zadanych
o postaci funkcji parabolicznej wyznaczany jest ze wzoru (19), wymaga on jednak
*
wcześniejszego wyznaczenia stałej uchybu przyśpieszeniowego Ka ze wzoru (20)
2
�ł łł
1 K(0.1335z - 0.1515z + 0.0252)śł = 0.0072 K
2
*
Ka = lim�ł(z -1) �" =1.4286K (2.4)
2 2 2
z1
0.5034
T T
(z -1) (z - 0.4966)
�ł śł
�ł �ł
i wartość uchybu w stanie ustalonym
R 10 7
*
eu = = = (2.5)
*
1.4286K K
Ka
Uchyb w stanie ustalonym będzie wynosił dokładnie tyle ile wynika ze wzoru (2.5) jeśli układ z
rysunku 2.1. będzie stabilny i dlatego też teraz należy sprawdzić dla jakiego zakresu parametru
strojonego K układ ten będzie stabilny. Sprawdzenie to zostanie wykonane przy użyciu
kryterium Routha. W tym celu najpierw należy znalez
ć transmitancję układu zamkniętego
2
K(0.1335z - 0.1515z + 0.0252)
T (z) = (2.6)
2
z3 + (0.1335K - 2.4966)z + (- 0.1515K + 1.9932)z + 0.0252K - 0.4966
Równanie charakterystyczne
2
z3 + (0.1335K - 2.4966)z + (- 0.1515K + 1.9932)z + 0.0252K - 0.4966 = 0 (2.7)
Stabilność zostanie wyznaczona przy użyciu kryterium Routha po zastosowaniu podstawienia
1 + r
z = (2.8)
1 - r
będącego przekształceniem okręgu jednostkowego na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej z na
lewą półpłaszczyznę zmiennej zespolonej r. Po tym podstawieniu równanie charakterystyczne
(2.7) przyjmuje postać
3 2
(- 0.3103K + 5.9863)�" r + (0.0937K + 2.0137)�" r + 0.2094K �" r + 0.0072K = 0 (2.9)
Tablica Routha
3
r - 0.3103K + 5.9863 0.2094K
2
r 0.0937K + 2.0137 0.0072K
r1 K(0.0218K + 0.3786)
0.0937K + 2.0137
0
r 0.0072K
Układ ten będzie stabilny jeśli wszystkie elementy pierwszej kolumny mają wartość większe od
zera, daje to cztery warunki na parametr strojony K :
1o) - 0.3103K + 5.9863 > 0
2o) 0.0937K + 2.0137 > 0 (2.10)
K(0.0218K + 0.3786)
3o) > 0
0.0937K + 2.0137
4o) 0.0072K > 0
Z rozwiązania układu równań (2.10) uzyskuje się następujące cząstkowe zakresy dla doboru
odpowiedniego wzmocnienie K
1o) K <19.2949
2o) K > -21.4965 (2.11)
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17 � M. Tomera 7
Teoria sterowania Analiza uchybowa układów dyskretnych
3o) - " < K < -17.3302 lub 0 < K < "
4o) K > 0
Po rozwiązaniu układu równań (2.11) okazuje się, że układ regulacji z rysunku 2.1. będzie
stabilny gdy
0 < K <19.2949 (2.11)
Kolejnym problemem w tym zadaniu jest wyznaczenie wzmocnienia krytycznego.
Wzmocnienie krytycznym jest takie wzmocnienie które zeruje współczynnik w pierwszej
kolumnie przy r1 i znajduje się na granicy stabilności. W tym przypadku nie ma takiego
wzmocnienia, dlatego też nie ma przypadku w którym można by uzyskać oscylacje o stałej
amplitudzie. Pomijam taki przypadek w którym uzyskuje się układ z naprzemiennymi próbkami
o stałej amplitudzie ale o przeciwnych znakach.
Przykład 3
Wyznacz uchyb w stanie ustalonym pojawiający się w układzie regulacji z rysunku 3.1. Okres
próbkowania T = 0.2 [s]. Sygnał zadany ma postać funkcji
" r(t) = 4�"1(t)
Y(s)
E(s) E*(s)
R(s)
K(s - 1)
ZOH
s4 + 5s3 + 13s2 + 14s + 6
T
Rys. 3.1. Schemat blokowy układu regulacji dyskretnej z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym.
Sprawdz
również zakres strojonego parametru K dla którego układ ten jest stabilny i uzyskany
wynik jest poprawny. Dodatkowo wyznacz wzmocnienie krytyczne K oraz ile próbek Nosc
kr
mieści się w jednym okresie oscylacji.
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności należy wyznaczyć postać dyskretną połączenia
kaskadowego ekstrapolatora zerowego rzędu i transmitancji procesu w tym przypadku
2
G (s)
ńł �ł
K(0.0010z3 + 0.0017z - 0.0030z - 0.0007)
p
-1
Gh0G (z) = (1 - z )Z = (3.1)
�ł żł
p
4 2
s
z - 3.0122z3 + 3.4664z -1.8162z + 0.3679
ół �ł
Sygnał zadany ma postać funkcji parabolicznej
r(t) = 4 �"1(t) (3.2)
czyli amplituda tego sygnału wynosi R = 4. Uchyb w stanie ustalonym dla sygnałów zadanych o
postaci funkcji skokowej wyznaczany jest ze wzoru (9), wymaga on jednak wcześniejszego
*
wyznaczenia stałej uchybu pozycyjnego K ze wzoru (10)
p
2
�ł łł
K(0.0010z3 + 0.0017z - 0.0030z - 0,0007) - 0.0010
*
K = lim�ł 4 = �" K = -0.1667K (3.3)
P śł
2
z1
0.0058
z - 3.0122z3 + 3.4664z -1.8162z + 0.3679
�ł �ł
i wartość uchybu w stanie ustalonym
R 4
*
eu = = (3.4)
* *
1 + K 1 + K
P P
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17 � M. Tomera 8
Teoria sterowania Analiza uchybowa układów dyskretnych
Uchyb w stanie ustalonym będzie wynosił dokładnie tyle ile wynika ze wzoru (3.4) jeśli układ z
rysunku 3.1. będzie stabilny i dlatego też teraz należy sprawdzić dla jakiego zakresu parametru
strojonego K układ ten będzie stabilny. Sprawdzenie to zostanie wykonane przy użyciu
kryterium Routha. W tym celu najpierw należy znalez
ć transmitancję układu zamkniętego
2
K(0.0010z3 + 0.0017z - 0.0030z - 0.0007)
T (z) = (3.5)
4 2
z + (0.0010K - 3.0122)z3 + (0.0017K + 3.4664)z + (-0.0030K -1.8162)z - 0.0007K + 0.3679
Równanie charakterystyczne
4 2
z + (0.0010K - 3.0122)z3 + (0.0017K + 3.4664)z + (-0.0030K -1.8162)z - 0.0007K + 0.3679 = 0 (3.6)
Stabilność zostanie wyznaczona przy użyciu kryterium Routha po zastosowaniu podstawienia
1 + r
z = (3.7)
1 - r
będącego przekształceniem okręgu jednostkowego na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej z na
lewą półpłaszczyznę zmiennej zespolonej r. Po tym podstawieniu równanie charakterystyczne
(3.6) przyjmuje postać
4 3 2
M (r) = (- 0.0030K + 9.6627 )�" r + (- 0.0053K + 4.9203)�" r + (- 0.0073K + 1.2746)�" r
+ (- 0.0105K + 0.1366)r - 0.0010K + 0.0058 = 0 (3.8)
Tablica Routha
4
r
-0.0030K+9.6627 -0.0073K + 1.2746 -0.0010K + 0.0058
r3
-0.0053K+4.9203 -0.0105K + 0.1366
2
2
r
6.7279 �"10-6 K - 0.1443K + 4.9512
-0.0010K + 0.0058
- 0.0053K + 4.9203
2
r1 9.7378 �"10-8 K3 + 0.0015K + 0.0560K - 0.5356
2
6.7279 �"10-6 K - 0.1443K + 4.9512
0
r 0.00097K + 0.00581
Układ ten będzie stabilny jeśli wszystkie elementy pierwszej kolumny mają wartość większe od
zera, daje to cztery warunki na parametr strojony K :
1o) - 0.0030K + 9.6627 > 0
2o) - 0.0053K + 4.9203 > 0 (3.9)
2
- 0.00000719K - 0.14454172K + 4.95148956
3o) > 0
- 0.0053K + 4.9203
3 2
- 9.738 �"10-8 K + 0.00156472K + 0.05601K - 0.5357
4o)
> 0
4 3 2
5.118 0 �"10-10 K - 8.699 �"10-6 K + 0.007989K - 0.2728 K - 2.636
5o) 0.00097K + 0.00581 > 0
Dla każdej z nierówności (3.9) zakresy K rozwiązań są następujące
1o) K < 3220.9
2o) K > -936.1658 (3.10)
3o) - " < K < 34.3669 lub 21413.6406 < K < "
4o) - 7.8447 < K < 43.7609 lub 16023.9793 < K < "
5o) K < 6
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17 � M. Tomera 9
Teoria sterowania Analiza uchybowa układów dyskretnych
Po wyznaczeniu wspólnego zakresu dla rozwiązań cząstkowych (3.10) okazuje się, że układ
regulacji z rysunku 3.1. będzie stabilny gdy
-7.8447< K < 6 (3.11)
Kolejnym zagadnieniem do rozwiązania jest wyznaczenie wzmocnienia krytycznego.
Korzystając z analizy tablicy Routha, wzmocnieniem krytycznym w rozpatrywanym układzie
jest wartość
Kkr = -7.8447 (3.12)
Podstawiając wartość K z równania (3.12) do równania (3.6) wyznaczone zostanie równanie
charakterystyczne zawierające pierwiastki zespolone znajdujące się na okręgu jednostkowym
4 2
z - 3.0198z3 + 3.4533z -1.7930z + 0.3730 = 0 (3.13)
Rozwiązania równania (3.13) są następujące
j0.2084
1o) p1 = 0.9784 + j0.2069 = e
2o) p2 = 0.9784 - j0.2069 = e- j0.2084 (3.14)
j0.6108
3o) p3 = 0.5316 + j0.3008 = 0.5149e
4o) p4 = 0.5316 - j0.3008 = 0.5149e- j0.6108
Dwa pierwsze bieguny p1 oraz p2 znajdują się dokładnie na okręgu jednostkowym. Do
wyznaczenia poszukiwanej liczby próbek w tym okresie posłuży biegun p1
j0.2084 j� j�T
p1 = 0.9784 + j0.2069 = e = e = e (3.15)
Wyznaczona pulsacja
� 0.2084
� = = =1.0421 (3.16)
T 0.2
Okres oscylacji
2Ą 2Ą
Tosc = = = 6.0291 [s]
� 1.0421
Poszukiwana liczba próbek w wyznaczonym okresie oscylacji
Nosc 6.0291
Nosc = = = 30.1454 [próbek]
T 0.2
Obliczenia wykonane w tym przykładzie zostały uzyskane przy użyciu następującego kodu
programu Matlaba.
clear
close all
echo off
clc
% Parametry transmitancji procesu
numC = [1 -1];
denC = [1 5 13 14 6];
sysC = tf( numC, denC)
%sisotool( sysC)
Tp = 0.2; % Okres próbkowania
% Konwersja do postaci dyskretnej
sysD = c2d( sysC, Tp, 'zoh');
[numD, denD] = tfdata( sysD, 'v')
%rr = roots( denD)
% Wyznaczenie stałej uchybu pozycyjnego Kp
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17 � M. Tomera 10
Teoria sterowania Analiza uchybowa układów dyskretnych
numKp = sum( numD)
denKp = sum( denD)
Kp = numKp/denKp
% Wartość uchybu pozycyjnego
R = 4;
eu = R/(1+Kp)
% Współczynniki wielomianu licznika transmitancji dyskretnej
b4z = numD(1); b3z = numD(2); b2z = numD(3); b1z = numD(4);
b0z = numD(5);
% Współczynniki wielomianu mianownika transmitancji dyskretnej
a4z = denD(1); a3z = denD(2); a2z = denD(3); a1z = denD(4);
a0z = denD(5);
% Wyznaczenie współczynników równania charakterystycznego M(z)
M4z = [b4z a4z]
M3z = [b3z a3z]
M2z = [b2z a2z]
M1z = [b1z a1z]
M0z = [b0z a0z]
% Wyznaczenie współczynników równania charakterystycznego M(r)
M4r = M4z - M3z + M2z - M1z + M0z
M3r = 4*M4z - 2*M3z + 2*M1z - 4*M0z
M2r = 6*M4z - 2*M2z + 6*M0z
M1r = 4*M4z + 2*M3z - 2*M1z - 4*M0z
M0r = M4z + M3z + M2z + M1z + M0z
% Wyznaczenie kolejnych współczynników
% pierwszej kolumny tablicy Routha
b4r = M4r
b3r = M3r
b2r = conv(M3r,M2r) - conv(M4r,M1r)
b1r = conv(conv(M3r,M2r),M1r) - conv(conv(M1r,M1r),M4r)...
 conv(conv(M3r,M3r),M0r)
b0r = M0r
% Wyznaczenie granicznych wartości parametrów dla poszczególnych
% warunków stabilności
a4k = b4r(1); b4k = b4r(2);
Kgr4 = b4k/a4k
a3k = b3r(1); b3k = b3r(2);
Kgr3 = b3k/a3k
rrb2r = roots( b2r);
Kgr2a = rrb2r(1)
Kgr2b = rrb2r(2)
rrb1r = roots( b1r);
Kgr1a = rrb1r(1)
Kgr1b = rrb1r(2)
Kgr1c = rrb1r(3)
a0k = b0r(1); b0k = b0r(2);
Kgr0 = -b0k/a0k
K = rrb1r(3)
MzK = [M4z*[K 1]' M3z*[K 1]' M2z*[K 1]' M1z*[K 1]' M0z*[K 1]']
No = 1;
rMzK = roots( MzK)
M = abs( rMzK( No))
theta = angle ( rMzK( No))
w = theta/Tp
Tosc = 2*pi/w
Nosc = Tosc/Tp
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17 � M. Tomera 11
Teoria sterowania Analiza uchybowa układów dyskretnych
ĆWICZENIA W MATLABIE
M1. Schemat blokowy układu sterowania impulsowego pokazany jest na rysunku M1.Wyznacz uchyb
w stanie ustalonym pojawiający się w tym układzie regulacji. Sprawdz
również zakres strojonego
parametru K dla którego układ ten jest stabilny i uzyskany wynik jest poprawny. Dodatkowo
wyznacz wzmocnienie krytyczne K oraz ile próbek Nosc mieści się w jednym okresie oscylacji.
kr
E(s) E*(s) H(s)
R(s) Y(s)
ZOH Gp(s)
T
Rys. M1. Schemat blokowy układu regulacji dyskretnej z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym.
K(1 - s)
a) Gp (s)= , r(t) = 5 �"1(t) , okres próbkowania T = 0.2 [s].
s3 + 9s2 + 7s + 2
K(s + 2)
b) Gp (s)=
s(s2 + 3s + 2), r(t) = 4t �"1(t) , okres próbkowania T = 0.25 [s].
K(s2 + 2s + 10), r(t) = 3t �"1(t) , okres próbkowania T = 0.1 [s].
2
c) Gp (s)=
s2(s + 6)
K(s + 2), r(t) = 2 �"1(t) , okres próbkowania T = 0.5 [s].
d) Gp (s)=
s3 + 7s2 + 6s + 2
K(s + 3)
e) Gp (s)=
s(s2 + 6s + 4), r(t) = 10 �"1(t) , okres próbkowania T = 0.25 [s].
K(s2 + 4s + 5), r(t) = 20t �"1(t) , okres próbkowania T = 0.1 [s].
f) Gp (s)=
s2(s + 3)
K(s -1)
g) Gp (s)= , r(t) = 15 �"1(t) , okres próbkowania T = 0.5 [s].
s3 + 13s2 + 14s + 6
K(s2 + 3s + 2), r(t) = 12t �"1(t) , okres próbkowania T = 0.25 [s].
h) Gp (s)=
s2(s + 5)
K(s2 - 5s + 2)
i) Gp (s)=
s(s2 + 2s + 10), r(t) = 20t �"1(t) , okres próbkowania T = 0.2 [s].
K(s2 + 38s + 40)
j) Gp (s)= , r(t) = 12 �"1(t) , okres próbkowania T = 0.1 [s].
s3 + 4s2 + 2s + 5
K(s + 3)
k) Gp (s)= , r(t) = 10 �"1(t) , okres próbkowania T = 0.25 [s].
s3 + 9s2 + 10s + 4
K(s2 + 7s + 4), r(t) = 5t �"1(t) , okres próbkowania T = 0.2 [s].
2
l) Gp (s)=
s2(s + 6)
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17 � M. Tomera 12
Teoria sterowania Analiza uchybowa układów dyskretnych
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEC

M1.
2
K(- 0.0108z + 0.0076z + 0.0068), K = 0.5K , eu = 5
* *
a) Gh0G (z)= ;
p p
3 2
1+ 0.5K
z - 2.0336z +1.2062z - 0.1653
Zakres stabilności: -2 < K < 5.6660;
Wzmocnienie krytyczne K = 5.6660; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 35.1624
kr
2
K(- 0.0288z + 0.0090z - 0.0161), Kv = K , eu = 4
* *
b) Gh0G (z) = ;
p
3 2
K
z - 2.3853z +1.8577z - 0.4724
Zakres stabilności: 0 < K < 8.3474
Wzmocnienie krytyczne K = 8.3474; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 9.0638
kr
2
K(- 0.0849z - 0.1469z + 0.0695), K = 1.6667K , eu = 3.6
* *
c) Gh0G (z)= ;
p a
2
K
z3 - 2.5488z + 2.0976z - 0.5488
Zakres stabilności: 0.5279 < K < "
Wzmocnienie krytyczne K = 0.5279; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 69.6315
kr
2
K(0.0666z - 0.0074z - 0.0117) 2
* *
d) Gh0G (z) = , K = K , eu = ;
p p
2
1+ K
z3 -1.6094z + 0.7018z - 0.0302
Zakres stabilności: -1 < K < 24.7619
Wzmocnienie krytyczne K = 24.7619; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 3.5850
kr
2
K(0.0252z + 0.0079z - 0.0094)
* *
e) Gh0G (z) = , K = ", eu = 0 ;
p p
2
z3 - 2.0962z +1.3194z - 0.2231
Zakres stabilności: 0 < K < 20.6061
Wzmocnienie krytyczne K = 20.6061; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 6.5977
kr
2
K(0.1053z - 0.1716z + 0.0706)
* *
f) Gh0G (z)= , Kv = " , eu = 0 ;
p
2
z3 - 2.7408z + 2.4816z - 0.7408
Zakres stabilności: 0 < K < 20.0331
Wzmocnienie krytyczne: brak
2
K(0.0209z - 0.0321z - 0.0047) 15
* *
g) Gh0G (z) = , K = -0.1667K , eu = ;
p p
2
1- 0.1667K
z3 -1.4734z + 0.5701z - 0.0015
Zakres stabilności: -10.7519 < K < 6
Wzmocnienie krytyczne K = -10.7519; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 12.3481
kr
2
K(0.2110z - 0.2953z + 0.1022)
* *
h) Gh0G (z) = , Kv = " , eu = 0 ;
p
2
z3 - 2.2865z +1.5730z - 0.2865
Zakres stabilności: 0 < K < 8.4573
Wzmocnienie krytyczne: brak
2
K(0.0714z - 0.2890z + 0.2304) 100
* *
i) Gh0G (z)= , Kv = 0.2K , eu = ;
p
2
K
z3 - 2.3515z + 2.0218z - 0.6703
Zakres stabilności: 0 < K < 1.8109
Wzmocnienie krytyczne K = 1.8109; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 35.6830
kr
2
K(0.2549z - 0.1631z - 0.0588) 12
* *
j) Gh0G (z)= , K = 8K , eu = ;
p p
2
1+ 8K
z3 - 2.6517z + 2.3261z - 0.6703
Zakres stabilności: -0.0291 < K < 3.7899
Wzmocnienie krytyczne K = 3.7899; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 5.4004
kr
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17 � M. Tomera 13
Teoria sterowania Analiza uchybowa układów dyskretnych
2
K(0.0207z + 0.0032z - 0.0061)10
* *
k) Gh0G (z)= , K = 0.75K , eu = ;
p p
2
1+ 0.75K
z3 -1.8526z + 0.9817z - 0.1054
Zakres stabilności: -1.3333 < K < 52.2678
Wzmocnienie krytyczne K = 52.2678; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji Nosc = 4.4958
kr
2
K(0.2180z - 0.2524z + 0.0531) 15
* *
l) Gh0G (z)= , Ka = 0.6667K , eu = ;
p
2
K
z3 - 2.3012z +1.6024z - 0.3012
Zakres stabilności: 0 < K < 9.9421
Wzmocnienie krytyczne: brak
LITERATURA
1. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A. Feedback Control of Dynamic Systems.
Addison-Wesley Publishing Company, 1986
2. Kuo B. C. Automatic Control of Dynamic Systems, 7th ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995.
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17 � M. Tomera 14