POLITECHNIKA ŚWI
TOKRZYSKA
ZAKA
AD BADAC
OPERACYJNYCH I SYSTEMÓW
STEROWANIA
LABORATORIUM TEORII STEROWANIA
I SYSTEMÓW
INSTRUKCJA
ĆWICZENIE LABORATORYJNE NR 6
Temat:
Analiza układów liniowych
KIELCE 1999
 2
Analiza układów liniowych
Badanie układów regulacji
1.Cel ćwiczenia.:
Celem ćwiczenia jest analiza układu wielowymiarowego ze szczególnym
uwzględnieniem stabilności, sterowalności, obserwalności oraz zapisu w przestrzeni stanów.
2.Wprowadzenie teoretyczne
2.1 Opis układów dynamicznych
2.1.1.Pojęcie układu dynamicznego.
W zagadnieniach automatyki mamy do czynienia z ró\
nymi procesami fizycznymi,
które interesują nas z punktu widzenia mo\
liwości celowego wpływania (sterowania) na
zachodzące w nich zmiany za pośrednictwem określonych wielkości. Przewa\
nie nie ma
potrzeby wchodzić w naturę fizyczna tych procesów ;odgrywa ona istotną rolę jedynie przy
ustaleniu opisu matematycznego. Sposoby opisu, a zwłaszcza metody analizy zachowania się
w czasie, są ogólne. Dowolny układ fizyczny rozpatrywany z punktu widzenia jego
zachowania się w czasie, a więc z punktu widzenia zachodzących w nim procesów
dynamicznych, nazywamy układem dynamicznym. Informacji o zachowaniu się układu
w czasie dostarczają przebiegi wielkości fizycznych podlegających pomiarom takich:
napięcie, prąd, temperatura, poło\
enie, prędkość, ciśnienie itd. Nazywamy te wielkości
sygnałami, są bowiem nośnikami informacji o stanie układu. Czynniki zewnętrzne
oddziaływujące na układ nazywamy sygnałami wejściowymi lub wymuszeniami, zaś miejsca
ich oddziaływania-wejściami układu. Wielkości charakteryzujące zachowanie się układu
nazywamy jego współrzędnymi. Te z nich które oddziałują na inne układy, nazywamy
sygnałami wyjściowymi, miejsca w których je obserwujemy-wyjściami układu (patrz rys 1.1).
Wejścia u1(t) Y1(t) Wyjścia
Układ
i sygnały u2(t) Y2(t) i sygnały
dynamiczny
wejściowe un(t) Ym(t) wyjściowe
Rys.1.1.Schemat blokowy ukladu dynamicznego
Zbiór sygnałów wejściowych definiujemy odpowiednio jako :wektor sygnałów wejściowych,
a zbiór sygnałów wyjściowych jako wektor sygnałów wyjściowych. Układ przedstawiony na
rys.1.1 mo\
e być określony mianem układu o r wejściach i o m wyjściach, bądz
układem
o wektorze sygnałów wejściowych u(t) i wyjściowych y(t). Opis matematyczny układu
dynamicznego sprowadza się do podania związku między wektorem sygnałów wejściowych
i wyjściowych- na przykład w postaci równania ró\
niczkowego, całkowego, czy te\

zale\
ności operatorowej. Występujące w tych równaniach parametry zale\
ą od takich
parametrów układu fizycznego jak :masa, współczynnik tarcia, pojemność itp. Mogą one być
stałe lub zale\
ne od czasu oraz od współrzędnych układu. Przykładem zale\
ności od czasu
mo\
e być zmiana współczynnika wzmocnienia lampy elektronowej na skutek jej starzenia się.
Jako przykład zale\
ności od współrzędnych mo\
na podać zale\
ność napięcia Zenera od
temperatury złącza. Parametry układu mogą zale\
eć od współrzędnych geometrycznych-
mówimy wtedy, \
e jest to układ o parametrach rozło\
onych- w przeciwieństwie do układu
o parametrach skupionych. W dalszym ciągu niniejszego rozdziału zajmować się będziemy
układami o parametrach stałych, niezale\
nych ani od czasu, ani od współrzędnych układu.
Wyró\
niamy dosyć
 3
Analiza układów liniowych
szeroką klasę układów dynamicznych, dla których związki między sygnałami wejściowymi,
wyjściowymi oraz innymi współrzędnymi układu mogą być przedstawione w postaci
liniowych równań ró\
niczkowych zwyczajnych o stałych parametrach. Układy te nazywamy
układami liniowymi stacjonarnymi o parametrach skupionych. Mo\
na dla nich wprowadzić
pojecie stanu układu dynamicznego. Jak wiadomo rozwiązanie liniowego równania
ró\
niczkowego zale\
y od postaci funkcji wymuszającej(sygnału wejściowego), od
parametrów występujących w równaniu i od warunków początkowych. Przez znajomość
wartości wyró\
nionych współrzędnych układu w danej chwili mo\
emy zastąpić znajomość
sygnałów oddziaływujących na układ w  przeszłości . Najmniejszy liczebnie zespół
współrzędnych, wystarczający do przewidywania zachowania się układu w przeszłości przy
wykorzystaniu znajomości sygnałów wejściowych i parametrów układu nazywany jest
stanem układu dynamicznego.
2.1.2.Przykład układu dynamicznego.
Dla prostego układu elektrycznego z rys.1.2 obowiązuje równanie spadków napięć
V2(t)+R*i(t)=V1(t)
Rys.1.2.Układ inercyjny.
t
1
V2 (t) =
+"i(t)dt
C
-"
Za sygnał wejściowy przyjmijmy V1=u, za sygnał wyjściowy V2=y.W celu wyrugowania
zmiennej i z powy\
szego równania wykorzystamy zale\
ność
lub równowa\
ną
dV2(t)
i(t) = C�
dt
otrzymując w rezultacie równanie ró\
niczkowe
dy
RC� + y = u
dt
Występujące w tym równaniu stałe R i C są parametrami układu. Sygnał wyjściowy y mo\
na
przyjąć jako stan układu, poniewa\
rozwiązanie równania ró\
niczkowego jest dane
zale\
nością
t
t - t0
1 t - �
�ł
y(t) = y(t0 ) � exp(- ) + exp�ł- �ł
� u(� )d� (1.1)
�ł
+"
RC RC
t0 �ł RC łł
 4
Analiza układów liniowych
Czyli nie zale\
y w sposób jawny od u(t) w przedziale t d" t0. Przy tradycyjnym rozró\
nieniu
oznaczeń stanu układu(x) i sygnału wyjściowego (y) model matematyczny naszego układu
dynamicznego mo\
emy zapisać w tzw. postaci normalnej
dx
= ax + bu y = x (1.2)
dt
1
przy czym : a = -
RC
1
b =
RC
A
atwo zauwa\
yć, \
e na współrzędną stanu moglibyśmy przyjąć ładunek kondensatora:
t
z = � =
+"i(t)dt
-"
Równania układu miałyby wówczas postać
dz
= az + b1u (1.3)
dt
y = c1z
1
przy czym : a = -
RC
1
b1 =
R
1
c1 =
C
Powy\
sze spostrze\
enie daje się uogólnić. Wybór współrzędnych stanu układu jest zwykle
niejednoznaczny. Ten sam układ dynamiczny mo\
e być opisany za pomocą ro\
nych postaci
równań, przy czym związek między sygnałami wyjściowymi a wejściowymi jest niezmienny.
2.1.3.Równania układu dynamicznego.
Dla układu liniowego stacjonarnego o parametrach skupionych odpowiedni jest opis
w postaci następujących równań macierzowych, zwanych równaniami układu
x (t)=Ax(t)+Bu(t)
y(t)=Cx(t)+Du(t) (1.4)
Związek między stanem układu x a sygnałem wejściowym u nosi nazwę równania stanu, zaś
drugi związek wyra\
ający sygnał wyjściowy y przez kombinacje liniową stanu układu
i sygnału wejściowego  równania wyjścia.
 5
Analiza układów liniowych
Z definicji stanu wynika, \
e stan jest pojęciem niejednoznacznym i ró\
ne współrzędne mogą
pretendować do nazwy współrzędnych stanu. Wa\
nym staje się więc pojęcie układów
równowa\
nych. Dwa liniowe układy dynamiczne nazywamy równowa\
nymi, jeśli istnieje
macierz nieosobliwa P taka, \
e
x(t)=Pz(t)
przy czym x(t) i z(t)- odpowiednio stany jednego i drugiego układu.
Pojęcie układu równowa\
nego jest bardzo u\
yteczne, bowiem podstawowe właściwości
układów dynamicznych są niezmienne dla klasy układów równowa\
nych. Zauwa\
my, \
e dwa
równowa\
ne układy dynamiczne (1.2) i (1.3) mają identyczne równanie charakterystyczne
równania ró\
niczkowego:
-a=0
a więc i całkę równania jednorodnego. Wniosek ten jest słuszny dla wszystkich
równowa\
nych układów dynamicznych rzędu pierwszego. Przez analogie do przypadku
skalarnego dla równania macierzowego (1.4) mo\
emy zapisać równanie charakterystyczne.
det(I-�)=0
Pierwiastki tego równania  wartości własne układu  są identyczne dla układów
równowa\
nych. Związek między wektorem sygnałów wejściowych, wektorem stanu
i wektorem sygnałów wyjściowych, dany przez równania układu (1.4), jest tylko jednym
z mo\
liwych sposobów opisu układu dynamicznego. Rozwią\
my te równania. Dla
uproszczenia zróbmy to jedynie dla układu o jednokrotnych i rzeczywistych wartościach
własnych. W tym przypadku istnieje taka macierz M, zwana macierzą modalną, \
e po
przekształceniu (tzw. przekształceniu podobieństwa)
x=Mz
otrzymujemy
"
-1
z = � z+ M B u
_ _ _ _ _ _
przy czym � jest macierzą diagonalną podobną do macierzy A :
�=M-1A M
Rozwiązanie równania jednorodnego
"
z = � z
_ _ _
przez analogie do przypadku skalarnego, mo\
emy zapisać w postaci
�(t-t0 )
_
z(t) = e � z(t0 )
_ _
a rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego (por. (1.1)) w postaci
t
�(t-t0 ) �(t-� )
_ _ -1
z(t) = e � z(t0 ) +
+"e � M_ Bu(� )d�
_ _ _ _
t0
Korzystając z obowiązującego dla funkcji macierzy wzoru
� t � t
_ _
e = M e M-1 (1.5)
_ _
otrzymujemy ogólną postać rozwiązania równania stanu
 6
Analiza układów liniowych
t
x(t)=eA(t-to) x(t0) + eA(t-�) B u(�)d� (1.6)
+"
t0
Wzór (1.6)  obowiązujący w przypadku ogólnym  daje nam szukany związek
między stanem układu w chwili t, stanem początkowym x(t0), funkcją wymuszenia u(t)
i macierzą eA(t-to). Ta ostatnia macierz zwana macierzą podstawową transformuje stan układu
w chwili początkowej t0 w stan układu w dowolnej chwili. Zawiera ona wszystkie informacje
dotyczące zachowania się układu dynamicznego swobodnego (bez działania wektora
sygnałów wejściowych u(t)).
Sygnałowi wejściowemu mo\
na  przy danym stanie początkowym jednoznacznie
przyporządkować sygnał wyjściowy. Operator dokonujący tego przyporządkowania jest na
mocy wzorów (1.4) i (1.6) określony wyra\
eniem:
t
y(t)=CeA(t-to) x(t0) + CeA(t-�) B u(�)d� + D u(t). (1.7)
+"
t0
Przy standardowym sygnale wymuszającym u(t) funkcja y(t) nosząca nazwę
odpowiedzi układu na to wymuszenie charakteryzuje w pełni właściwości samego układu
dynamicznego. Pierwszy jej składnik, niezale\
ny od sygnału wejściowego, natomiast zale\
ny
od stanu początkowego, zwany jest często odpowiedzią swobodną. Drugą część, niezale\
ną
od stanu początkowego, lecz zale\
ną od sygnału sterującego w całym przedziale sterowania
(t0, t), nazywamy odpowiedzią wymuszoną.
2.1.4 Charakterystyki układu
Układ dynamiczny liniowy stacjonarny mo\
e być określony przez podanie jego
odpowiedzi wymuszonych na standardowe sygnały wejściowe. Odpowiedzi te określamy
mianem charakterystyk czasowych układu. Do najczęściej u\
ywanych zaliczamy
charakterystykę skokową, tj. odpowiedz
na skokową zmianę sygnału wejściowego
o unormowanej amplitudzie (u(t)=1(t)) i charakterystykę impulsową, tj. odpowiedz
otrzymaną
w wyniku wprowadzenia na wejście hipotetycznego sygnału w postaci impulsu Diraca
(u(t)=�(T)).
Do powszechnie stosowanych sygnałów wejściowych zaliczamy równie\
sygnał
sinusoidalnie zmienny. Wymagamy tu jednak, zamiast zerowych warunków początkowych,
dojścia układu do tzw. stanu ustalonego. Przez stan ustalony rozumiemy potocznie przebieg
sygnału wyjściowego uzyskiwany po zakończeniu przebiegu przejściowego, czyli po
dostatecznie długim czasie od chwili doprowadzenia wymuszenia. Stan ustalony istnieje tylko
dla procesów stabilnych (patrz dalej  1.2.1). Dla wymuszenia sinusoidalnie zmiennego, za
sygnał w stanie ustalonym uwa\
amy sygnał y(t) sinusoidalnie zmienny, o pulsacji
wymuszenia, taki, \
e:
lim�ły(t) - y*(t)łł = 0
�ł śł
�ł �ł
t "
gdzie y*(t)  odpowiedz
wymuszona.
Iloraz amplitud sinusoidalnych sygnałów wyjściowego i wejściowego (dla stanu
ustalonego) jest nazywany częstotliwościową amplitudową A(�), zaś przesunięcie fazowe
między odpowiedzią a wymuszeniem  charakterystyką częstotliwościową fazową układu
�(�). W podobny sposób definiuje się charakterystyką częstotliwościową rzeczywistą R(�)
jako iloraz amplitudy składowej sygnału wyjściowego, zgodnej w fazie z sygnałem
wejściowym, do amplitudy tego sygnału, i charakterystyką częstotliwościową urojoną Q(�) 
dla składowej przesuniętej o 90�.
 7
Analiza układów liniowych
W ogólnym przypadku do opisu właściwości układu dynamicznego potrzebna jest
znajomość pary charakterystyk częstotliwościowych: amplitudowej i fazowej, bądz

rzeczywistej i urojonej. Dla dosyć szerokiej klasy układów, tzw. minimalnofazowych,
wystarcza znajomość tylko jednej charakterystyki  druga wynika z pierwszej.
Charakterystyki częstotliwościowe mo\
na wyznaczyć eksperymentalnie. Jest przy tym
obojętne, czy mierzyć charakterystyki amplitudową i fazową, czy rzeczywistą i urojoną. Przy
pomiarach nale\
y jednak
Lm(�) A(�)
uwzględnić jedynie składową
wymuszoną odpowiedzi,
2
odczekując dostatecznie długo,
1 2 5 10 20 50 100 �
a\
do zaniknięcia składowej
0 1 2 lg�
przejściowej. Badany układ
0,5
musi być oczywiście stabilny,
bowiem tylko wtedy składowa
przejściowa odpowiedzi zanika
w czasie. Charakterystyki
częstotliwościowe układu
-20
podajemy przewa\
nie w postaci
wykresów, przy czym zwykłe
wykresy, przy u\
yciu liniowej
skali częstotliwości i liniowej
skali wartości charakterystyk, stosuje się
rzadko ze względu na trudności przy
1 2 5 10 20 50 100 �
póz
niejszym wykorzystywaniu
0o
charakterystyk. Znacznie wygodniejsze
1 2 lg�
jest przyjęcie skali logarytmicznej.
-50o
Najczęściej układ dynamiczny określamy
przez podanie charakterystyk
logarytmicznych: amplitudowej
i fazowej(patrz rys. 1.3).
-100o
�(�)
Rys. 1.3. Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne.
Charakterystykę fazową wykreśla się stosując skalę liniową dla wartości �(�), zaś
logarytmiczną dla częstotliwości (pulsacji: �=2Ąf); dziesięciokrotną zmianę częstotliwości
nazywa się dekadą. Charakterystykę amplitudową wykreśla się w skali logarytmicznej
zarówno dla częstotliwości jak i dla wartości A(�). Wprowadza się przy tym tzw. moduł
logarytmiczny:
Lm(�) = 20 log A(�).
Jednostką modułu logarytmicznego jest decybel [dB].
2.1.5 Transmitancje: operatorowa i widmowa.
Do opisu i analizy liniowych i stacjonarnych układów dynamicznych stosowane jest
często przekształcenie operatorowe Laplace a. Wprowadz
my transformatę Laplace a sygnału
 8
Analiza układów liniowych
wejściowego u(s) i sygnału wyjściowego y(s) przy zało\
eniu zerowego stanu początkowego.
Iloraz tych transformat nazwany jest transmitancją operatorową układu:
y(s)
G(s) =
u(s)
Z transmitancją mają ścisły związek charakterystyki: skokowa h(t) i impulsywna g(t),
a mianowicie:
g(t) = Ł-1[G(s)],
h(t) =Ł-1[1/s G(s)]. (1.8)
Ponadto transmitancja operatorowa ma związek z charakterystykami
częstotliwościowymi. Nie wnikając w szczegóły matematyczne, jeśli podstawimy s = j�, to
otrzymamy tzw. transmitancję widmową G(j�), która mo\
e być równie\
definiowana jako
stosunek transformat Fouriera odpowiednich sygnałów wyjściowego i wejściowego.
Występują następujące związki transmitancji widmowej z charakterystykami
częstotliwościowymi układu:
A(�) = ćłG(j�)ćł,
�(�) = arg G(j�),
R(�) = Re[G(j�)], (1.9)
Q(�) = Im[G(j�)].
Wprowadzone pojęcia transmitancji, jak i uprzednio pojęcia charakterystyk
czasowych i charakterystyk częstotliwościowych, zakładają, \
e w zasadzie mamy do
czynienia z układem o jednym sygnale wyjściowym i jednym wejściowym. Nic nie stoi na
przeszkodzie, aby pojęcie transmitancji uogólnić na układy o większej liczbie wejść i wyjść,
definiując odpowiednie transmitancje macierzowe. Je\
eli układ jest opisany równaniami (1.4)
i znajduje się w chwili 0- w stanie równowagi przy braku wymuszeń, to równania te mo\
na
poddać przekształceniu Laplace a. W wyniku tego (porównaj równie\
wzór (1.7)) otrzymamy
związek:
y(s) = {C(sI  A)-1 B + D}u(s).
Macierz :
G(s) = C(sI  A)-1 B + D (1.10)
nazywamy transmitancją operatorową macierzową układu. Analogicznie mo\
na wprowadzić
pojęcie transmitancji widmowej macierzowej oraz mówić o macierzach charakterystyk
czasowych.
2.2 PODSTAWOWE WA
AŚCIWOŚCI UKA
ADÓW DYNAMICZNYCH
2.2.1 Stabilność.
Pewne właściwości układów dynamicznych odgrywają kluczową rolę w teorii
sterowania. Podstawową właściwością układów dynamicznych jest stabilność. Intuicyjnie,
pojęcie stabilności wią\
e się z pojęciem trwałej równowagi układu. O ile w przypadku
ogólnym dla układów nieliniowych mo\
emy podać kilka ró\
nych sposobów określenia
 9
Analiza układów liniowych
stabilności, o tyle w przypadku układu liniowego stacjonarnego wystarczy tylko określić
stabilność zwykłą i asymptotyczną. Liniowy układ dynamiczny nazywamy stabilnym je\
eli
dla wszystkich (ograniczonych) stanów początkowych x(t0) przy braku wymuszeń (zerowym
sygnale wejściowym) sygnał wyjściowy pozostaje ograniczony zaś asymptotycznie stabilnym,
je\
eli równie\
przy dowolnym ograniczonym sygnale wejściowym sygnał wyjściowy
pozostaje ograniczony.
Charakter przebiegu sygnału wyjściowego zale\
y od macierzy podstawowej układu
(por.(1.7)) i jest określony przez wartości własne macierzy A. Aby układ był stabilny, musi
istnieć granica eAt przy
t". Elementy macierzy podstawowej są w przypadku jednokrotnych i rzeczywistych
wartości własnych kombinacją liniową wyra\
eń typu:
e1t, e2t, ..., ent.
Wynika to ze wzoru (1.5), w którym występują człony mi eit zwane modami układu, przy
czym mi oznacza odpowiednie kolumny macierz modalnej  wektory własne. Warunkiem
koniecznym stabilności jest więc, by wartości własne były niedodatnie układ
o jednokrotnych, rzeczywistych wartościach własnych jest stabilny asymptotycznie wtedy
i tylko wtedy, gdy te wartości są ujemne.
W ogólnym przypadku, dla zespolonych i wielokrotnych wartości własnych, mamy do
czynienia z kombinacją liniową wyra\
eń o postaci:
tki  1eit dla 1d" ki d" li,
tki  1e�jt cos(�jt + �j) dla 1d" kj d" lj,
przy czym: li - krotność i-tej rzeczywistej wartości własnej,
lj  krotność pary zespolonych sprzę\
onych wartości
własnych o części rzeczywistej �j i urojonej �j.
Układ dynamiczny jest stabilny asymptotycznie, je\
eli wszystkie wartości własne
mają ujemne części rzeczywiste.
2.2.2 Sterowalność i obserwowalność.
Podczas zbierania informacji o modelu układu, tzw. identyfikacji parametrów modelu
interesuje nas w zasadzie tylko składowa wymuszona odpowiedzi, gdy\
tylko na nią mo\
emy
w celowy sposób wpływać.
Do identyfikacji stosuje się praktycznie sygnały ograniczone. Ponadto stawiane zwykle
wymagania asymptotycznej stabilności układu(ograniczenie sygnału wyjściowego jest
po\
ądane podczas procesu identyfikacji) sprawia, \
e składowa swobodna odpowiedzi układu
zanika w czasie, czyli \
e po dostatecznie długim czasie obserwacji nawet nieznany stan
początkowy układu nie wpływa na jego odpowiedz. Nie dla wszystkich jednak układów na
podstawie obserwacji odpowiedzi wymuszonej, nawet przy pełnej swobodzie wyboru
sterowania, mo\
emy wyznaczyć macierz podstawową układu, która charakteryzuje w pełni
właściwości układu dynamicznego, a w szczególności pozwala na określenie jego stanu.
 10
Analiza układów liniowych
Zauwa\
my, \
e na przykład dla układu o jednokrotnych i rzeczywistych wartościach
własnych-kiedy to
t t
ę(t-� ) �(t-� )
_ _
C M e M_ -1 Bu(� )d�
+"-C e Bu(� )d� = +"
_ _ _ _ _
t0 t0
_ _
Je\
eli któraś z kolumn macierzy CM, lub któryś z wierszy macierzy 1/MB są zło\
one
it
z elementów zerowych, to nie mo\
emy wyznaczyć odpowiadającej im składoweje .Gdy\

nie ma przebiegu o tym charakterze w \
adnej ze składowych sygnału wyjściowego. Po prostu
struktura badanego układu jest taka, \
e nie mo\
emy w pełni oddziaływać (sterować ) na stan
układu lub obserwować go por. (1.6) i (1.7). Wprowadza się w związku z tym pojęcia
sterowalności i obserwowalności liniowego układu dynamicznego.
Układ sterowalny jest to układ, który stosując ograniczone, przedziałami ciągłe
Sterowanie mo\
na przeprowadzić z dowolnie zadanego stanu początkowego do początku
układu współrzędnych przestrzeni stanów w skończonym czasie. Pojęcie-układ
obserwowalny oznacza, \
e przy dowolnie zadanym sterowaniu istnieje skończony przedział
czasu taki, \
e na podstawie znajomości sterowanie i odpowiedzi w tym przedziale mo\
na
wyznaczyć stan początkowy tego układu.
Układ liniowy stacjonarny jest sterowany wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy Q
utworzonej z macierzy B,-A - B,........An-1B
jest równy n (wymiarowi wektora stanu), czyli gdy istnieje zbiór n wektorów liniowo
niezale\
nych będących kolumnami Q. Czytelnik zechce porównać to wymaganie
z postulowaną w omawianym przypadku szczególnym niezerowością wierszy macierzy M-1B.
Przykłady układów niesterowalnych pokazano na rys.1.4.
a) b)
u x1
x1
+"
+"
u y
+ y +
+ +
x2
x2
+"
+"
c)
u x2 + x1 y
+" +"
+ + -
Rys.1.4. Przykłady układów niesterowalnych.
 11
Analiza układów liniowych
Podobnie jak w przypadku badania sterowalności, przy badaniu obserwowalności układów
liniowych stacjonarnych sprawdzamy rząd macierzy R określonej przez relację:
n-1
R =[CT MAT CT M...M(AT) CT]
gdzie T oznacza transpozycję macierzy.
Sterowalny i
obserwowalny
u(t)
Sterowalny lecz
nieobserwowaln
y(t)
y
Niesterowalny lecz
obserwowalny
Niesterowalny i
nieobserwowalny
Rys.1.5. Podział układu dynamicznego ze względu na sterowalność i obserwowalność.
Układ jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd ten jest równy n.
Praktyczne znaczenie pojęć sterowalności i obserwowalności ilustruje na rys.1.5 podział
układu dynamicznego na cztery podukłady. Jedyne powiązanie pomiędzy wejściem
a wyjściem układu występuje za pośrednictwem podukładu sterowalnego i obserwowalnego.
Wyznaczając transmitancję  wejście  wyjście uwzględniamy więc jedynie tę część układu -
transmitancja nie mówi nam nic o pozostałych częściach układu.
2.3.PODSTAWOWE CZA
ONY DYNAMICZNE.
Mo\
na wyró\
nić szereg układów o dość prostej dynamice, których właściwości są dokładnie
zbadane. Znajomość właściwości tych typowych układów, zwanych podstawowymi członami
dynamicznymi, mo\
na wykorzystać przy badaniu bardziej zło\
onych układów. Do grupy
podstawowych członów dynamicznych zaliczamy przede wszystkim układy o jednej
wielkości wejściowej i jednej wyjściowej, opisane równaniem stanu liniowym rzędu
co najwy\
ej drugiego. Przykłady takich układów zebrano w tablicy 1.1. podano w niej,
oprócz równania układu, transmitancje operatorowe, ze względu na jednoznaczność tych
ostatnich. Wybór wektora stanu jest bowiem, jak to kilkakrotnie podkreślano,
niejednoznaczny i ten sam obiekt mo\
e być opisany ró\
nymi układami równowa\
nych
równań.
Tablica nie wyczerpuje wszystkich przykładów członów o co najmniej dwóch współrzędnych
stanu. Nie ma w niej np. członów niestabilnych. Mo\
e być jednak wykorzystana przy analizie
bardziej zło\
onych układów, jak to pokazano w dalszym przykładzie (patrz p.1.5).
Niektóre układy zaliczane zwykle do grupy podstawowych członów dynamicznych
nie dają się opisać w sposób przedstawiony w tablicy. Np. człon opóz
niający jest układem
 12
Analiza układów liniowych
o parametrach rozło\
onych, a opisujące go równanie oraz transmitancja są odmiennego typu,
mianowicie
y(u) = k u(t - T0 )
p
o
G(s) = k e-sT
p
Chcąc stosować w tym przypadku formalizm przestrzeni stanów musielibyśmy zało\
yć
nieskończoną wymiarowość wektora stanu.
 13
Analiza układów liniowych
Nazwa transmita Charakterystyki Charakterystyka skokowa Rząd Wartości Przykładowe
członu ncja częstotliwościowe równa własne równania
operatoro ń układu
wa stanu
0 y = kp u
Bezinercyjny kp
|proporcjonal
ny|
.
x= u
kr
1  = 0 y= kp x
s
Całkujący
.
1 Tx =-x+u
1
k
p
 = -
y= kp x
T
Ts +1
Inercyjny
.
Tdx= -ąx +ąu
ą
 = -
1 y= -ąx+ąu
Td s
Td
Ró\
niczkują.
Td
rzeczywisty
s +1
ą
 14
Analiza układów liniowych
.
Tx=u
�ł �ł
1
�ł �ł
k
p 1 y = kpx + kpu
�ł1+ Tl s �ł
�ł łł
=0
.
1 Tx=-x+u
1- Ts
1
1+ Ts
 = -
y = 2x - u
T
.
T1x1=-x1+u
1
 = -
1
2 .
k
p T1
T2x2=x1-x2
(T1s +1)(T2 +1)
y = kp x2
1
 = -
2
T2
.
x1=�n2x2
1=(-ś - j 1-ś2)�Ą
2 .
2=(-ś + j 1-ś2)�Ą
x2=-x1-2��Ą
k�1 2
s2 + 2��ns +�12
y=kx1
Całkuj
ą
cy
Proporcjonalno-
Przesuwnik
fazowy
dwuinercyjny
Oscylacyjny
 15
Analiza układów liniowych
2.4. ZAPIS W PRZESTRZENI STANÓW
Identyfikacja transmitancji jest w praktyce często łatwiejsza ni\
bezpośrednia identyfikacja
równań stanu, zwłaszcza ze względu na sens fizyczny charakterystyk częstotliwościowych.
W związku z tym powstaje problem przejścia od określonej transmitancji do określonych
równań stanu (układu). Jednocześnie trzeba nadać pojęciu stanu pewne znaczenie fizyczne.
Na początku zajmiemy się wyborem współrzędnych stanu układu, którego transmitancja jest
funkcją wymierną i zawiera tylko bieguny. Układ taki jest opisany transmitancją:
b0
G(s) =
sn + an-1 sn-1 + ... + a1s + a0
a więc i równaniem ró\
niczkowym
{Dn + an-1Dn-1 + ... + a1D + a0}y(t) = b0u(t), (1.11)
w którym operator D =d / dt oznacza ró\
niczkowanie względem t.
Chcąc rozwiązać to równanie ró\
niczkowe, musimy znać n warunków początkowych,
a mianowicie y(0), ż(0),...,y(n-1)(0).
mo\
emy więc przypuszczać, \
e reprezentują one stan w chwili początkowej.
Zdefiniujmy wektor
y (t )
�ł łł
�ł " śł
�ł y (t ) śł
�ł śł
�ł " śł
x(t ) =
�ł śł
�ł " śł
�ł śł
�ł " śł
�ł śł
(n-1)
y (t )�ł
�ł śł
�ł
Ma on następującą właściwość
"
x(t) = xi+1(t) dla i = 1,......, n -1,
a poniewa\
z równania (1.11) wynika, \
e
"
x (t) = -a0x1(t) - a1x2 (t) -......- an-1xn (t) + b0u(t)
n
otrzymujemy ostatecznie
 16
Analiza układów liniowych
�ł0 1 0 .... 0 łł
�ł śł
�ł0 łł
�ł śł
�ł0 śł
�ł0 0 1 .... 0 śł
" "
�ł..................................... śłx(t) + �ł śł u(t) (1.12)
x(t) =
�ł... śł
�ł śł
�ł0 śł
�ł śł
0 0 0 .... 1
�łb śł
�ł śł
�ł śł
�ł- a0 - a1 - a2..... - an-1śł �ł 0 �ł
�ł �ł
�ł1 0 .... 0łłx(t).
y(t0 =
�ł śł
�ł �ł
Mo\
na wykazać w sposób formalny, \
e wektor x(t) jest wektorem stanu powy\
szego
układu, tzn., \
e znajomość x(0) i u(t) dla t > 0 wystarcza do określenia zarówno x(t) jak
i sygnału wyjściowego y(t) dla ka\
dego t > 0 .
Jako ilustracja sensu fizycznego tak przyjętego wektora stanu i równań układu słu\
y rys.1.6,
przedstawiający schemat strukturalny ( model analogowy ) równań (1.12).
o
xn(t)
+ y(t)
xn-1(t) x3(t) x1(t)
u(t) xn (t) x2 (t)
b0
+" +" +" +"
-
an-1 an-2 a1 a0
+ + +
+ + +
Rys. 1.6. Schemat blokowy układu, uzyskany metodą bezpośrednią.
Ze względu na niejednoznaczność wektora stanu ka\
dy wektor otrzymany przez pomno\
enie
macierzy nieosobliwej przez wektor x(t) mo\
e być wektorem stanu. W szczególnym
przypadku, gdy bieguny transmitancji G(s)
(równe 1,2,.....,n ) są rzeczywiste i jednokrotne, istnieje macierz modalna
 17
Analiza układów liniowych
�ł łł
1 1 .... 1
�ł śł
�ł śł
1 2 .... n śł
�ł
�ł śł
2
V = �ł 1 2 .... 2 śł
n
2
�ł śł
�ł................................. śł
�ł śł
n
1-1 n-1 .... n-1śł
n
�ł
2
�ł śł
�ł �ł
zwana macierzą Vandermonde a, taka \
e wektor stanu
-1x(t)
z(t) = V
spełnia równanie ró\
niczkowe
"
-1b
z(t) = �x(t) +V u(t)
przy czym � jest macierzą diagonalną zawierającą wartości własne układu.
Na rys. 1.7 zilustrowano modelowanie tego wektorowego równania ró\
niczkowego.
Dla wielokrotnych biegunów transmitancji diagonalizacja macierzy � jest na ogół
niemo\
liwa.
z1(t)
+
k
1 +"
+
1
z2(t)
+
k2
+"
+
.
u (t ) + + y (t )

.
2
.
+
.
.
.
.
zn(t)
+
kn
+"
+
- 1
K = V b
n
Rys. 1.7. Schemat blokowy układu w postaci równoległej.
 18
Analiza układów liniowych
bm
bm-1
o
(t )
u(t) x xn-1(t) x2 (t) y(t)
+ n xn (t) x1 (t )
b0
+" +" +"
- -
an-1
an-2
a0
Rys. 1.8. Schemat blokowy układu, którego transmitancja zawiera zera (m=n-1)
W przypadku, gdy transmitancja jest funkcją wymierną właściwą, ale zawiera
zarówno zera jak i bieguny, tzn. ma postać
bmsm +.....+ b1s + b0
G(s) = m < n
sn + an-1sn-1 +.....+ a1s + a0
zmienne stanu mo\
na wybrać korzystając z metody bezpośredniej zilustrowanej na rys.1.8.
Mo\
emy równie\
przedstawić transmitancję jako sumę ułamków prostych, co
doprowadzi, w przypadku rzeczywistych i jednokrotnych biegunów transmitancji, do
schematu podobnego jak przedstawiony na rys.1.7. W przypadku gdy bieguny są wielokrotne
bądz
zespolone, w gałęziach równoległych muszą wystąpić człony przedstawione na rys.1.9.
 19
Analiza układów liniowych
"rzeczywisty podwójny"
x2 (t)
x1 (t )
+ +
h11
+" +"
+ +
+
+
1 1
h12
"rzeczywisty pojedyńczy"
+
+
x3 (t)
y (t )
+
+
h3
+"
+
+
+
3
"zespolony pojedyńczy"
+
h41
+
+ x5(t) x4(t)
h42
+" +"
- -
1 +2 1 �" 3
Rys. 1.1. Schemat blokowy układu o biegunach wielokrotnych i zespolonych.
1.4.2. Ustalenie rzędu wektora stanu na podstawie odpowiedzi układu
W p.1.4.1 przyjęliśmy, \
e w wyniku procesu identyfikacji otrzymujemy transmitancję
operatorową układu. Rzeczywiście transmitancja ta jest związana z charakterystyką skokową
układu i jego charakterystykami częstotliwościowymi ( por. wzory ( 1.8 ) i ( 1.9 ) ) i mo\
e
być na ich podstawie obliczona. W praktyce jednak dysponujemy zarówno charakterystykami
czasowymi jak i częstotliwościowymi w postaci wykresów, a nie wyra\
eń analitycznych. Stąd
typowe jest postępowanie polegające na zało\
eniu postaci transmitancji  najczęściej ( 1.13 )
 a następnie określeniu jedynie występujących w takim wyra\
eniu parametrów. Na początku
trzeba zdecydować, jaki przyjąć rząd układu  n. Pomocne tu mogą się okazać twierdzenia
o wartości początkowej i końcowej w przekształceniu Laplace a.
Na mocy tych twierdzeń, jeśli odpowiednie granice istnieją, mamy
 20
Analiza układów liniowych
h(0) = limG(s),
s"
dh
(0) = lim[sG(s)],
s"
dt
2
d h
(0) = lim[s2G(s)],
2
s"
dt
lim h(t) = limG(s),
t" s0
dh(t)
lim = lim[sG(s)].
t" s0
dt
W konsekwencji  przebieg odpowiedzi skokowej zale\
y od ró\
nicy stopni licznika
i mianownika transmitancji, co pokazano na rys. 1.10.
Je\
eli charakter przebiegu odpowiedzi skokowej układu jest podobny do pokazanego na
rys. 1.10c, to mo\
emy wnioskować, \
e układ jest co najmniej drugiego rzędu. Podobnie
b0
je\
eli, istnieje granica lim h(t) , to mo\
emy na jej podstawie ocenić stosunek ; je\
eli
t"
a0
dh(t) b0
granica ta nie istnieje, a istnieje granica lim , to mo\
emy wyznaczyć , jeśli i ta
t"
dt a1
granica nie istnieje, oznacza to, \
e mianownik transmitancji jest co najmniej stopnia drugiego
 zawiera wolny czynnik s2 . Dalszymi z
ródłami informacji o rzędzie układu mo\
e być
obecność składowej oscylacyjnej, poło\
enie punktów przegięcia wykresu odpowiedzi
skokowej itd. Ustalenie jednak rzędu układu wy\
szego ni\
trzeci na podstawie bezpośrednich
cech odpowiedzi jest praktycznie niemo\
liwe.
b) c)
a)
h(t) h(t)
h(t)
t t t
Rys. 1.10. Typowe postacie odpowiedzi skokowej przy t 0 :
a) n - m = 0; b) n - m = 1; c) n - m e" 2
Tak\
e na podstawie przebiegu charakterystyk częstotliwościowych mo\
na wyciągnąć
wnioski odnośnie rzędu układu. Jeśli bowiem a0 > 0 i b0 > 0, to dla bardzo małych
częstotliwości
 21
Analiza układów liniowych
b0 b0
Lm(�) H" 20log , �(�) = 00
G( j�) H" ,
a0 a0
Przybli\
ona charakterystyka amplitudowa jest tu prostą poziomą, zaś przesunięcie
fazowe przyjmuje wartość zerową.
Jeśli natomiast b0 > 0, a0 = a1 = .... = ak -1 = 0, ak > 0, to w tym samym zakresie
częstotliwości
b0 b0
, Lm(�) H" 20log - k �" 20log�, �(�) H" -k �"900
G( j�) H"
ak ( j�)k a0
Przybli\
ona logarytmiczna charakterystyka amplitudowa jest w tym przypadku linią
prostą o nachyleniu - k �" 20 dB / dekadę .
Linią prostą, lecz o innym nachyleniu, jest tak\
e przybli\
ona charakterystyka
logarytmiczna dla rozpatrywanej transmitancji przy bardzo du\
ych częstotliwościach, bowiem
dla bm > 0 oraz � " obowiązuje wzór
bm
, Lm(�) H" 20logbm - (n - m) �" 20log�,
G( j�) H"
( j�)n-m
�(�) H" -(n - m)900.
Nachylenie charakterystyki amplitudowej przy � " wynosi więc
(n - m)20 dB / dekadę .
Rozumując w podobny sposób, mo\
na cały przebieg charakterystyki amplitudowej
aproksymować łamaną, zwaną charakterystyką asymptotyczną. Składa się ona z odcinków o
nachyleniach będących całkowitą wielokrotnością 20 dB/dekadę. Dla przypadku, gdy
transmitancję widmową daje się przedstawić w postaci
�ł �ł�ł �ł �ł �ł
� � �
�ł �ł�ł �ł �ł �ł
b0�ł1+ j j ....
�1b �ł�ł1+ �2b �ł �ł1+ �mb �ł
�ł łł�ł łł �ł łł
G( j�) =
�ł �ł�ł �ł �ł �ł
� � �
�ł �ł�ł �ł �ł �ł
a0�ł1+ j j ....
�1a �ł�ł1+ �2a �ł �ł1+ �na �ł
�ł łł�ł łł �ł łł
 22
Analiza układów liniowych
punktami załamania charakterystyki asymptotycznej są punkty odpowiadające
częstotliwościom �1b ,....,�mb , �1a ,....,�na .
Lm(�)
[dB]
10
20log b0 /a0
-20 dB/dek
20
1 2 4 log �
� � � 3 �
1 2 3 4
0
�
10 100 1000 10000
-40 dBB/dek
-20
Rys. 1.11. Przykład charakterystyki częstotliwościowej asymptotycznej.
Liczba punktów załamania charakterystyki informuje nas o stopniach licznika
i mianownika transmitancji. Przykładową charakterystykę asymptotyczną przedstawiono na
rys. 1.11.
2.5. PRZYKA
AD ZAPISU W PRZESTRZENI STANÓW
W p. 1.4.1 przedstawiono sposoby wyboru współrzędnych stanu dla obiektów o jednej
wielkości sterującej i jednym sygnale wyjściowym. Podobne algorytmy mo\
na sformułować
dla obiektów wielowymiarowych. Nie będziemy ich tutaj podawać w sposób
sformalizowany, ale rozwa\
ymy jedynie przykład identyfikacji równań układu na podstawie
pomierzonych charakterystyk częstotliwościowych.
Dla danego obiektu o dwóch wejściach i dwóch wyjściach w wyniku eksperymentu
otrzymano charakterystyki częstotliwościowe jak na rys. 1. 12. Na podstawie tych
charakterystyk mo\
emy ustalić, posługując się np. Tablicą 1.1, macierzową transmitancję
operatorową. Widać, \
e elementowi g11 odpowiada rzeczywisty człon ró\
niczkujący,
elementowi g12 człon inercyjny, elementowi g21 czlon proporcjonalny, a elementowi g22
przesuwnik fazowy. Wobec tego operatorowa transmitancja macierzowa ma postać
s 10
�ł łł
�ł śł
s +1 s +1
G =
�ł
2s - 4śł
�ł 1 śł
�ł s + 2 �ł
 23
Analiza układów liniowych
Elementy tej macierzy są funkcjami
wymiernymi i występują w nich tylko dwa
bieguny pojedyncze ( -1 i - 2 ).
Wnioskujemy stąd, \
e układ mo\
na opisać
równaniami o postaci
x = A x + B u
y = C x + D u
przy czym wymiar wektorów : stanu,
wyjścia i sterowań  jest równy dwa.
Przyjęcie większej wartości wektora stanu 
choć mo\
liwe  prowadzi do układu
niesterowalnego bądz
nieobserwowalnego.
Związek między macierzą G a macierzami
A, B, C i D jest dany wzorem ( 1.10 ).
To równanie macierzowe daje nam
jednak mniej warunków wią\
ących nieznane
elementy macierzy A, B, C i D ni\
jest tych
elementów, o czym czytelnik mo\
e się łatwo
przekonać przez rozpisanie tego równania
wektorowego. Dlatego te\
określone
elementy macierzy A, B, C mo\
na przyjąć
dowolne. Jest to potwierdzenie wniosku
o pewnej swobodzie wyboru współrzędnych
stanu. Dowolność ta nie dotyczy jednak
elementów macierzy D. We wzorze ( 1.10 )
wyra\
enie C ( s I  A )-1 B jest macierzą
o elementach będących ułamkami
właściwymi. Wobec tego po wydzieleniu
ułamków właściwych w macierzy G
otrzymamy
1 0
�ł łł
D =
�ł1 2śł .
�ł �ł
Rys.1.12. Charakterystyki częstotliwościowe przykładowego
obiektu
Korzystając ze swobody w wyborze współrzędnych stanu za\
ądajmy, aby
współrzędne stanu były składowymi wyjścia, tzn. C = I. Wobec tego po przekształceniu
wzoru ( 1.10 ) otrzymamy
B-1 ( s I  A ) = ( G (s )  D )-1,
czyli
�ł -1 10 20
łł �ł-1 -10
łł �ł1 łł
�łs +1 s +1śł �ł śł �ł śł
8 8
B-1 ( s I  A ) = = s - .
�ł śł �ł śł �ł śł
- s -1 2
�ł 0 śł �ł 0 śł �ł śł
0
�ł s + 2�ł �ł 8 �ł �ł 8 �ł
Stąd mamy
-1
�ł-1 -10
łł
�ł śł
8
B =
�ł śł
-1
�ł 0 śł
�ł 8 �ł
oraz
 24
Analiza układów liniowych
�ł-1 0
łł
A = .
�ł
0 - 2śł
�ł �ł
Dany układ dynamiczny mo\
ne więc być opisany równaniami
�ł-1 0
łł �ł-1 10
łł
x = x + u
�ł
0 - 2śł �ł 0 - 8śł
�ł �ł �ł �ł
1 0 1 0
�ł łł �ł łł
y =
�ł0 1śł x + �ł1 2śł u.
�ł �ł �ł �ł
Przyjmując inne zało\
enia co do elementów macierzy C lub narzucając wybrane
elementy macierzy A lub B, otrzymalibyśmy inną postać równań układu. Zawsze jednak
musiałoby być spełnione równanie
det ( s I  A ) = ( s + 1 ) ( s + 2 ),
czyli równania stanu byłyby równowa\
ne.
Innym ze sposobów wyznaczania równania stanu układu opisanego przez
transmitancję macierzową G ( s ) jest narysowanie schematu blokowego układu. Wówczas
sygnały wyjściowe integratorów są zbiorem zmiennych stanu układu. Równanie stanu w tym
przypadku mo\
na wyznaczyć bezpośrednio ze schematu blokowego. Wystąpić wtedy mo\
e
jednak problem przyjęcia zbyt du\
ej wymiarowości układu i związane z tym niesterowalności
lub nieobserwowalności układu. Realizację  sposób wyboru zmiennych stanu 
zapewniającą najni\
szy wymiar macierzy A nazywamy realizacją minimalną, jest ona
sterowalna i obserwowalna.
 25
Analiza układów liniowych
4. OPIS STANOWISKA LABORATORYJNEGO
Schemat płyty czołowej modelu laboratoryjnego pokazano na rys. 1.14. Struktura modelu
odzwierciedla równania macierzowe (1.4 ), przy wariantach poszczególnych macierzy 2 x 2.
Pozwala to na badanie liniowych układów dynamicznych do rzędu drugiego. Elementy
macierzy A, B, C i D mogą przybierać wartości : A  od 0 do ą 7 (wagi poszczególnych
przycisków sumują się ), B  0 lub 1, C  0, +1, -1, D  0 lub -1.
1
Całkowite, zaznaczone schematycznie blokiem macierzy jednostkowej pomno\
onej przez ,
s
mo\
e odbywać się w dwóch skalach czasu  naturalnej (1/sekundę ) i przyśpieszonej
(100/sekundę ). W drugim przypadku wartości macierzy A i B nale\
y pomno\
yć przez 100.
Rys.1.14. Schemat modelu badanego w ćwiczeniu
Przycisk ROZW.  CZAS START wyznacza chwilę t0, od której liczy się rozwiązanie.
W poło\
eniu spoczynkowym, tego przycisku mo\
na ustawiać warunki początkowe x10 i x20
współrzędnych stanu układu. Wartości współrzędnych stanu (x1 i x2 ) lub wyjścia ( y1 i y2 )
mo\
na mierzyć na odpowiednich zaciskach lub orientacyjnie obserwować na wbudowanych
wskaz
nikach. Do układu mo\
na doprowadzić sygnały wymuszające (sterujące ) poprzez
zaciski u1 i u2 ; mo\
na równie\
wprowadzać sygnały skokowe ( stałe ) o regulowanych
amplitudach u10 i u20 wskazywanych na miernikach ; przy czym sygnały u1 i u2 oraz u10 i u20
sumują się odpowiednio.
Do badania układu słu\
y przyrząd lub zestaw przyrządów do analizy charakterystyk
częstotliwościowych. W tym celu sygnał sinusoidalny z generatora o nastawianej
częstotliwości nale\
y wprowadzić na kolejne wejścia u1 i u2 ( najlepiej przy u10 = u20 = x10
i x20 = 0 ), zaś na kolejnych wyjściach y1 i y2 mierzy się za pomocą wspomnianych
przyrządów składową zgodną w fazie R i przesuniętą o 90o  Q. Odpowiada to, przy znanej
amplitudzie wymuszenia, pomiarowi charakterystyk częstotliwościowych rzeczywistej
 26
Analiza układów liniowych
i urojonej. Zaleca się stosowanie amplitudy wymuszenia 1 V, zaś częstotliwość najlepiej
w postępie geometrycznym 1, 2, 4, 8,. .... Hz przy skali czasu modelu 100/s  ułatwia to
wykreślenie charakterystyk logarytmicznych. Ponadto do badania charakterystyk czasowych
stosuje się rejestrator dwukanałowy o przesuwie taśmy ok. 5 mm / s przy naturalnej skali
modelu. Przebiegi czasowe mo\
na równie\
obserwować na oscyloskopie.
Pytania kontrolne:
Pytania pochodzą ze skryptu T. Stefański "Teoria Sterowania" Tom. I.
1. Omówić podstawowe zasady zapisu układów przestrzeni stanów.
2. Co to są wartości własne układu.
3. Podać warunek konieczny i wystarczający stabilności asymptotycznej układu.
4. Podać warunek konieczny i dostateczny sterowalności oraz obserwowalności układu, gdy
znane jest jego równanie stanu..
5. Podać warunek konieczny i dostateczny sterowalności oraz obserwowalności układu, gdy
znana jest jego transmitancja.
6. Zadanie:
Mając podaną transmitancję (podaje prowadzący laboratorium) wyznaczyć zmienne
stanu.
1.8 INSTRUKCJA ROBOCZA
1. Zaprojektować w postaci transmitancji operatorowej:
a) układ stabilny,
b) układ niestabilny,
Zarejestrować przebiegi czasowe dla obiektów niestabilnych w przypadkach,
gdy jedna lub dwie wartości własne są rzeczywiste i dodatnie oraz przy
wartościach własnych zespolonych o częściach rzeczywistych dodatnich. Zbadać
ró\
nicę pomiędzy stabilnością zwykłą a asymptotyczną (wartości własne o
częściach rzeczywistych zerowych). Rejestrować odpowiedzi na warunki
początkowe.
c) na granicy stabilności,
d) układ sterowalny i niesterowalny,
e) układ obserwowalny i nieobserwowalny.
2. Badanie podstawowych członów dynamicznych
Nastawić parametry modelu tak, aby uzyskać poszczególne człony podstawowe
wymienione w tablicy 1.1. Zaobserwować (zarejestrować ) ich odpowiedzi na skok sygnału
wejściowego a tak\
e na niezerowe warunki początkowe  przy skali czasu 1/s. Sprawdzić
zale\
ności ilościowe ( stałe czasowe, okresy oscylacji itp.).
Zakres sprawozdania:
1. Przeanalizować wpływ m parametrów macierzy A na stabilność układu.
2. Określić wpływ macierzy na sterowalność i obserwowalność.
3. Wyznaczyć stałe czasowe z wykresu i porównać je z transmitancjami.