Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Nr 59 Politechniki Wrocławskiej Nr 59
Studia i Materiały Nr 26 2006
Układy logarytmujące i wykładnicze, układy funkcyjne
*
Zdzisław NAWROCKIF F
ANALIZA METROLOGICZNA UKA
ADÓW
LOGARYTMUJ
CYCH I WYKA
ADNICZYCH
W pracy wykazano wpływ wejściowego napięcia niezrównoważenia i prądów polaryzacji
wzmacniacza operacyjnego oraz wahań temperatury złącza pn i rezystora na parametry układu loga-
rytmującego.
1. WST
P
Układy logarytmujące i wykładnicze umożliwiają realizację złożonych operacji
nieliniowych . Układy te są wykorzystywane do budowy układów mnożących , dzie-
lących potęgujących pierwiastkujących itp. Dokładność operacji matematycznych
wyżej wymienionych układów determinują błędy układów logarytmujących i wykład-
niczych.
2. ZASADA DZIAA
ANIA UKA
ADÓW LOGARYTMUJ
CYCH
I WYKA
ADNICZYCH
Działanie tych układów jest oparte na zależnościach opisujących złącze tranzystora
bipolarnego. Zgodnie z wyidealizowanym równaniem podanym przez Ebersa i Molla
opisującym złącze pn tranzystora bipolarnego, prąd kolektora jest wyrażony zależno-
ścią (1)
uBE uCB
-
kT kT
q q
ic = ąF IES (e -1) - Ics (e -1) (1)
gdzie: ąF  wzmocnienie prądowe tranzystora w układzie OB,
IES, ICS  zwrotne (wsteczne) prądy nasycenia złącz odpowiednio emiterowe-
go i kolektorowego,
uBE, uCB  napięcia na złączach odpowiednio BE i CB,
__________
*
Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, 50-372 Wrocław
ul. Smoluchowskiego 19, HUZdzisł[e-mail].
q  ładunek elektryczny 1 eV,
k  stała Baltzmanna 8,62�10-5 eV/K,
T  temperatura złącza w K.
iC C E
B
uCB uBE
Rys. 1. Prąd kolektora iC oraz napięcia uCB i uBE na złączach tranzystora npn
Fig. 1. Collector current iC as well as uCB and uBE voltages on transistor junction npn
Jeżeli praca tranzystora zostanie tak zaprogramowana, że kolektor i baza będą mia-
ły ten sam potencjał czyli uCB = 0, to powyższe równanie ma postać
uBE
�# ś#
kT uBE
ś# ź#
�# ś#
iC = IS ś#e q -1ź# = IS ś#e UT -1ź# (2)
ś# ź#
ś# ź#
�# #
ś# ź#
�# #
gdzie: IS  zwrotny (wsteczny) prąd nasycenia tranzystora (przyjmuje się, że dla
tranzystora krzemowego wynosi 0,1 nA, a dla germanowego 0,1źA,
UT  potencjał elektrotermiczny, w temperaturze złącza 300K, UT = 26mV.
Charakterystykę złącza pn dla UT > 100mVz wystarczającą dokładnością opisuje
zależność
kT iC
uBE = ln (3)
q I
S
Zależność ta wskazuje, że tranzystor (złącze pn) może być wykorzystane do pro-
wadzenia operacji logarytmowania i odwrotnej operacji, wykładniczej.
Układy realizujące operacje logarytmowania i wykładniczą pokazano na rysunku
2.
Rys. 2. Układy realizujące operację a) logarytmowania, b) wykładniczą
Fig. 2. Realization of operations a) logarithmic, b) exponential
Układy są opisane odpowiednio zależnościami
Układ logarytmujący Układ realizujący operacje wykładniczą
iC uBE
uBE = UT ln , iC = I �" exp , (4)
S
IS UT
w układach zachodzą zależności
I = ic , uBE = U , I = iC , uBE = U . (5)
we wy we
Po podstawieniu tych relacji do powyższych wzorów otrzymano wyrażenia
U U
we we
U = UT ln , U = RI exp , (6)
wy wy S
RIS UT
które wskazują, że analizowane układy realizują operacje logarytmowania i wykładni-
czą.
3. BA

DY POWODOWANE PRZEZ ELEMENTY UKA
ADÓW
Omówione układy, w przedstawionej postaci nie znajdują zastosowania do prze-
prowadzenia operacji logarytmowania lub wykładniczej, z powodu dużych błędów
powodowanych przez wielkości UT i IS, które w znaczący sposób zależą od temperatu-
ry.
Błędy te minimalizuje się stosując odpowiednie rozwiązania układowe (pary tran-
zystorów o identycznych parametrach), które prowadzą do skrócenia wyrazów:
- UT i IS, (dobre rozwiązanie),
- IS, natomiast UT należy skompensować (gorsze rozwiązanie)
- Błędy układów logarytmujących i delogarytmujących zależą również od:
- wartości wejściowego napięcia niezrównoważenia Vos wzmacniaczy operacyj-
nych,
- wartości prądów IB1,IB2 polaryzujących wzmacniaczy operacyjnych,
- symetrii parametrów zastosowanych tranzystorów,
- rozproszonych rezystancji ree emiterów tranzystorów (dla dużych wartości
prądów iC).
Z postulatów minimalizacji błędów układów logarytmujących i realizujących funk-
cję wykładniczą wynikają następujące wymagania stawiane tranzystorom , wzmacnia-
czom operacyjnym i rezystorom.
3.1 BA

DY POWODOWANE PRZEZ ZA

CZE pn
Napięcie na złączu pn jest określone zależnością
ic
kT
uBE = ln , (7)
q I
S
która wskazuje, że temperatura T oddziaływuje na napięcie na złączu bezpośrednio
oraz pośrednio przez wsteczny prąd nasycenia IS.
Zmiany napięcia na złączu pn pod wpływem zmian temperatury określono z róż-
niczki zupełnej
"uBE "uBE
"uBE = "T + "IS . (8)
"T "IS
Po wyznaczeniu pochodnych cząstkowych uzyskano
"uBE uBE kT "IS
= - . (9)
"T T q IS"T
Uwzględniając relację [ 1 ]
Ego
"IS 3
= + , (10)
2
IS"T T kT
gdzie: Ego  bariera potencjału,
otrzymano
Ego
�# ś#
"uBE uBE ś# k
ź#
= - + . (11)
ś#3 ź#
"T T q qT
�# #
Dla złącza pn wykonanego z krzemu Ego/q = 1,11 V. Wprowadzając tę zależność
do powyższego wzoru, w którym wyróżniono dwa wyrażenia otrzymano
"uBE "uBE(T) "uBE( IS ) uBE 1,11
�#0,26 �"10-3 + ś#
= + = - ś# ź#
. (12)
"T "T "T T T
�# #
Dla temperatury pokojowej T=293K i napięcia uBE =0,542V,
"uBE/"TH" -2,2�10-3 V/K.
Temperaturowy współczynnik napięcia złącza pn spowodowany bezpośrednio
zmianą temperatury wynosi
"uBE (T ) uBE "UT 1
= = = = 3300 �"10-6 = +0,33% K , (13)
uBE"T uBET UT �" "T T
natomiast pośrednio przez zmianę wstecznego prądu nasycenia
ś#
"uBE(IS ) kT "IS �# 0,26 �"10-3 1,11
= - = -ś# ź#
+ H"
ś# ź#
uBE"T uBEq IS"T uBE uBET
�# #
. (14)
2
ś#
H" -�#0,48 �"10-3 + = -0,73% K
ś# ź#
T
�# #
Wypadkowa wartość temperaturowego współczynnika napięcia jest równa
"uBE "uBE(T ) "uBE( IS )
= + = -0,40% K . (15)
uBE"T uBE"T uBE"T
W układach mnożąco-dzielących, potęgujących i pierwiastkujących są wykonywa-
ne operacje logarytmowania i wykładnicze, na monolitycznych parach tranzystorów,
których temperaturowy współczynnik napięcia wynosi 80 ppm/K=0,008 %/K [ 2,3 ].
W układach tych w znaczącym stopniu kompensują się zmiany napięcia, spowodowa-
ne bezpośrednio zmianami temperatury złącza oraz pośrednio wywołane zmianami
wstecznego prądu nasycenia.
Tak dobrej sytuacji nie ma w układach, które wykonują tylko operacje logarytmo-
wania lub wykładnicze. W układach tych kompensują się zmiany temperaturowe
napięcia wywołane wstecznymi prądami nasycenia, natomiast zmiany napięcia wywo-
łane bezpośrednio zmianami temperatury koryguje się za pomocą układów z termisto-
rami.
Względny błąd przetwarzania układu logarytmującego spowodowany zmianami
temperatury złącza pn określony przez temperaturowy współczynnik napięcia podaje
zależność
uBE - uBEP "uBE
�PBE = = �" "Tu , (16)
uBEP uBE "T
gdzie : uBE - napięcie baza-emiter tranzystora,
uBEP - napięcie baza-emiter tranzystora idealnego,
"Tu - zmiana temperatury na złączu baza-emiter.
3.2. BA

DY POWODOWANE PRZEZ WZMACNIACZE OPERACYJNE
Niewłaściwie dobrane wzmacniacze operacyjne w omawianych układach mogą
być z
ródłem znacznych błędów. Błędy powodowane przez wejściowe napięcie nie-
zrównoważenia Vos prąd polaryzacji IB1 wzmacniacza operacyjnego ilustruje rys. 3
iC = IWE - IBI
UWE -V0S
IWE =
R
V0S
R
-
+
UWE
UWY
IBI
IBII
Rys. 3. Ilustracja wpływu wejściowego napięcia niezrównoważenia Vos
i prądu polaryzacji IBI na błędy układu
Fig. 3. Effect of input offset voltage Vos and polarization current IBI to system errors
Zwrot napięcia Vos przyjęto tak, że błędy spowodowane napięciem Vos i prądem IBI
dodają się, przyjmując maksymalną wartość.
Prąd płynący przez kolektor tranzystora określa zależność
U -Vos
we
ic = Iwe - IBI = - I . (17)
BI
R
Gdy wzmacniacz jest idealny to przez kolektor tranzystora płynie prąd
Uwe
icp = . (18)
R
Względna różnica prądów płynących przez kolektor
ic - icp Vos + RIBI
�Ic = = - . (19)
icp Uwe
Błąd układu logarytmującego określa zależność
U -U
wy wyp
�PW = , (20)
U
wyp
gdzie:Uwy  napięcie wyjściowe układu rzeczywistego,
Uwyp  napięcie wyjściowe układu idealnego.
Powyższy wzór po wprowadzeniu zależności (4), (6), (17) i (18) przyjmuje postać
icp �# ś#
Vos RIBI
ic
ś#
lnś#1 - - ź#
UT ln -UT ln
Uwe Uwe ź#
IS IS �#
#
�Pw = = (21)
icp Uwe
ln
UT ln
RIS
IS
i określa błąd przetwarzania spowodowany wejściowym napięciem niezrównoważenia
i prądem polaryzacji wzmacniacza operacyjnego. We wzorze tym można uwzględnić
zmiany tych wielkości w funkcji temperatury.
3.3. BA

DY WPROWADZANE PRZEZ REZYSTORY
Rezystor R przetwarza napięcie wejściowe Uwe na Iwe = ic. Temperaturowy współ-
czynnik rezystancji rezystora (TWR) rzutuje na błąd przetwarzania układu logarytmu-
jącego, zgodnie ze wzorem (20) i zależnościami (17), (18)
ln(1-TWR �" "TR)
�PR = , (22)
Uwe
ln
RIS
gdzie: "TR  zmiany temperatury rezystora,
przy czym temperaturowy współczynnik rezystancji rezystora jest definiowany
"R
TWR = . (23)
R"T
4. WNIOSKI
Wykazano, że błędy układu logarytmującego pokazanego na rys. 2. zależą od:
- zmian temperatury złącza pn,
- zmian temperatury rezystora przez który płynie prąd równy prądowi
kolektora,
- wejściowego napięcia niezrównoważenia i prądów polaryzacji wzmacniaczy ope-
racyjnych.
Z wyprowadzonych zależności wynika, że przy odpowiednim doborze wzmacnia-
cza operacyjnego i rezystorów, znaczący wpływ na błędy układu logarytmującego
mają zmiany napięcia na złączu baza-emiter spowodowane zmianami temperatury. Jak
zasygnalizowano błędy te można zmniejszyć z wartości - 0,40% K do wartości
ą 0,008% K [2,3], a zatem o trzy rzędy, gdy zostaną zastosowane do prowadzenia
operacji matematycznych monolityczne pary tranzystorów w układach, w których
skompensują się zmiany napięcia baza-emiter spowodowane bezpośrednio zmianami
temperatury złącza oraz pośrednio wywołane zmianami wstecznego prądu nasycenia.
W układach realizujących tylko operacje logarytmowania lub wykładnicze, kom-
pensują się tylko zmiany napięcia wywołane zmianami wstecznych prądów nasycenia,
natomiast zmiany napięcia wywołane bezpośrednio zmianami temperatury wynoszące
+0,33%/K koryguje się za pomocą termistorów lub buduje się termostaty elektronicz-
ne, które stabilizują temperaturę złącza pn.
Analogiczne rozważania można prowadzić dla układów realizujących funkcje wy-
kładnicze.
Układy logarytmujące i wykładnicze umożliwiają budowę układów mnożących,
mnożąco-dzielących i wielofunkcyjnych układów operacyjnych o błędzie podstawo-
wym 0,2% oraz układów logarytmujących i wykładniczych o błędzie podstawowym
0,3%.
LITERATURA
[1] GRAEME J.G, TOBEY G.E. HUELSMAN L. P. , Operational amplifiers, design and application,
McGraw-Hill, New York , 1971.
[2] SCHEINGOLD D. H., Nonlinear circuits hand book, Analog Devices, Massachusetts, 1976.
[3] WONG Y. J. OTT W. E., Function circuits, McGraw-Hill, New York, 1976.
METROLOGICAL ANALYSIS OF LOGARITHMIC AND EXPONENTIAL CIRCUITS
The paper presents the impact operational amplifier input offset voltage and input bias current as well
as pn junction temperature fluctuations and resistor on logarithm circuit parameters.