Informatyka - Podstawy Programowania w Języku C++
prow. SÅ‚awomir Czarnecki
Zadania na laboratorium nr. 4
1. Dla ustalonej, maÅ‚ej liczby rzeczywistej µ > 0 obliczaj i wyÅ›wietlaj na ekranie kolejne
n
wyrazy szeregu ai oraz sumy cząstkowe sn = n = 0,1, 2,... szeregu nieskończonego
( )
"a
i
i=0
"
"a = a0 + a1 + a2 + ... dopóty dopóki ai > µ , i=0,1,2,... (ostatniÄ… obliczonÄ… sumÄ™ czÄ…stkowÄ…
i
i=0
traktujemy jako przybli\
oną wartość sumy szeregu).
Uwaga ! Zdefiniowany powy\
ej, najprostszy warunek przerwania obliczeń sformułowany
został w oparciu o (nie najlepszy pod względem numerycznym) warunek konieczny
lim ai = 0 zbie\
ności szeregów. Sprawdz
otrzymany wynik z podaną obok wartością ścisłą
i"
sumy nieskończonej (pamiętaj, \
e najczęściej nie są znane  zamknięte wzory na sumy
zbie\
nych szeregów nieskończonych):
1 1 1 i-1 1 1 i
1- + - + ...+
(-1 Ä… ... = ln 2 i e" 1 ( a0 = 1, a1 = - , ai = -ai-1 dla i e" 1)
) ( )
2 3 4 i 2 i +1
2. Dla ustalonej, maÅ‚ej liczby rzeczywistej µ > 0 obliczaj i wyÅ›wietlaj na ekranie wyrazy
1 1 1
ciÄ…gu an = 1+ + + ...+ - ln n , n = 1,2,... dopóty dopóki an - an-1 > µ , n=2,3,... (ostatni
( )
2 3 n
obliczony wyraz an traktujemy jako przybli\
oną wartość granicy tego ciągu, która jest równa
Å‚ = 0.5772156649015328... ).
Uwaga ! Zdefiniowany powy\
ej, warunek przerwania obliczeń sformułowany został w
oparciu o warunek konieczny i dostateczny Cauchy ego zbie\
ności ciągu w przestrzeni
metrycznej zupeÅ‚nej "µ > 0"k " ! "m, n " ! m > k '" n > k Ò! am - an < µ .
( )
1 1 1
ëÅ‚1+ öÅ‚
Mo\
na wykazać, \
e (nazwana stałą Eulera) granica lim + + ...+ - ln n = ł istnieje,
ìÅ‚ ÷Å‚
n"
2 3 n
íÅ‚ Å‚Å‚
pomimo faktu, \
e nie istnieje skończona suma szeregu harmonicznego
1 1 1
1+ + + ...+ + ... = " .
2 3 n
3. Oblicz przybli\
oną wartość nieskończonej sumy następującego szeregu funkcyjnego:
i
"
(-1 x2i+1
) x3 x5 x7
= x - + - + ... = sin x ,
( )
"
2i +1 ! 3! 5! 7!
( )
i=0
w dowolnym, ale ustalonym punkcie x i porównaj ją z wartością obliczoną bezpośrednio na
podstawie funkcji bibliotecznych sin(...). Dla ułatwienia obliczeń, warunek stopu uzale\
nij
tylko od przyjętej a priori wartości n > 0 - liczby sumowanych wyrazów (i = 0, 1, 2,..., n) (w
innym wariancie warunek stopu mo\
na uzale\
nić od ustalonej dokÅ‚adnoÅ›ci µ > 0, podobnie
jak w zadaniu 1).
Wskazówka. Zauwa\
, \
e mamy następują (łatwą do udowodnienia indukcyjnie) zale\
ność
rekurencyjnÄ… na kolejne wyrazy szeregu funkcyjnego:
ai-1
a0 = x , ai = - x2 i e"1, k = 2, 4,6,...
( )
k k +1
( )
4. Dla ustalonej liczby naturalnej n (np. dla n = 10) i ustalonej liczby rzeczywistej x, oblicz
wartość wielomianu stopnia n:
n
W x = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn ,
( )
gdzie ai i = 0,1,..., n oznaczają dowolnie przyjęte wartości współczynników tego
( )
n
wielomianu. Wartość W x oblicz na dwa sposoby:
( )
4a) bezpośrednio, na podstawie podanego wy\
ej wzoru,
4b) korzystając ze schematu Hornera (opartym o rozkład wielomianu na czynniki):
n
W x = anx + an-1 x + an-2 x +...+ a1 x + a0
( ) ( ) )
(
( )
UWAGA ! Zalecana powszechnie (niemal we wszystkich podręcznikach) metoda b) liczenia
wartości wielomianu nie zawsze okazuje się być lepszą od metody a).