Różniczkowanie numeryczne
1. Wzór Taylora
Wzór na pochodną (dowolną) f(x) wyrażona za pomocą różnic wstecznych
k=1
(1)
k=2
(2)
k=3
(3)
Tablica różnic wstecznych
x f(x)
f(x) f(x)
x0-4h f(x0-4h)
f(x0-3h)
f(x0-2h)
x0-3h f(x0-3h) f(x0- h)
f(x0-2h)
x0-2h f(x0-2h)
f(x0- h)
f(x0)
x0- h f(x0- h) f(x0- h) f(x0)
f(x0)
x0 f(x0)
f(x0)
Przykład (4.1)
Dla funkcji f(x) = ln(x) oblicz wartość dokładną i w przybliżeniu do 1-nej pochodnej w punkcie x0 =1;
x zmienia siÄ™ od x = 0,6 do x = 1 & h=0,1
Tablica różnic wstecznych
X f(x)
f(x) f(x)
0,6 -0,51083
0,15415
-0,02062
0,00487
0,7 -0,35667
0,13353
-0,01575
0,8 -0,22314 -0,00154
0,11778
0,00333
0,9 -0,10536
-0,01242
0,10536
1 0
Wg (1)
Wartość dokładna: ln(x)(1)| x= x0 = 1
Błąd bezwzględny: r = |1 - 0,9988| = 0,0012
2. Wzór Stirlinga
oraz
Tablica różnic centralnych
x f(x)
x0-2h f(x0-2h)
3
2
´ f (x0 - h)
2
´ f (x0 - h)
3
1
x0- h f(x0- h)
´ f (x0 - h)
2
1
4
´ f (x0 - h)
2
2
x0 f(x0)
´ f (x0 )
´ f (x0 )
1
x0+ h f(x0+ h) 3
´ f (x0 + h)
1
2
´ f (x0 + h)
2
2
x0+2h f(x0+ 2h) ´ f (x0 + h)
3
´ f (x0 + h)
2
Przykład:
Dla funkcji f(x) = ln(x) oblicz wartość dokładną i w przybliżeniu do 1-nej pochodnej w punkcie x0 =1;
x zmienia siÄ™ od x = 0,8 do x = 1,2 z kwadratem h = 0,1
Tablica różnic centralnych
X f(x)
0,8 -0,22314
0,11778
-0,01242
0,00237
0,9 -0,10536
0,10536
-0,01005
1 0 0,00062
0,095310
0,00175
1,1 0,09531
-0,00830
0,08701
1,2 0,18232
Wartość dokładna: ln(x)(1)| x= x0 = 1
r= |1-0,99992|=0,00008 tzn. ta metoda jest dokładniejsza
Literatura:
instrukcja powstała na podstawie:
- slajdów dostępnych na serwerze
Katedry Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki
Wydziału Mechanicznego Technologicznego
Politechniki ÅšlÄ…skiej
- książek Wydawnictwa Politechniki Śląskiej