METODA RÓŻNIC
METODA RÓŻNIC
SKOC
CZONYCH
SKOC
CZONYCH
Zastosowania w mechanice
Zastosowania w mechanice
konstrukcji
konstrukcji
Podstawy metody różnic
Podstawy metody różnic
skończonych
skończonych
Metoda różnic skończonych powstała jako
przybliżona, dyskretna metoda rozwiązywania
problemów brzegowych opisanych równaniami
różniczkowymi, a następnie rozszerzono zakres
jej zastosowań na zagadnienia sformułowane w
postaci wariacyjnej.
KMK: Metody komputerowe 2/74
KMK: Metody komputerowe 2/74
Podstawy metody różnic
Podstawy metody różnic
skończonych
skończonych
1)MRS jest numeryczną procedurą którą
można zastosować do rozwiązania równania
różniczkowego lub zadania wariacyjnego
2)RozwiÄ…zanie otrzymujemy w punktach
dyskretnych analizowanego obszaru
KMK: Metody komputerowe 3/74
KMK: Metody komputerowe 3/74
Rozpatrywany obszar
Rozpatrywany obszar
y
Å›ðWð
P
B u 0
( ) = Wð
L u 0
( ) =
x
KMK: Metody komputerowe 4/74
KMK: Metody komputerowe 4/74
Lokalne sformułowanie MRS
Lokalne sformułowanie MRS
obszar
Lu = f Ò! P "śą
Problem
Bu =g Ò! P ""śą
brzeg
D śą Pk źąH" ·Ä…i u śą Pk ƒÄ…i źą
u
"
d2 w
dx2
Punkty wybrane z otoczenia
4 4
"4 w w
ƒÄ…" ƒÄ…" w
" x4 " x2" y2 " y2
KMK: Metody komputerowe 5/74
KMK: Metody komputerowe 5/74
Jednowymiarowe zadanie
Jednowymiarowe zadanie
KMK: Metody komputerowe 6/74
KMK: Metody komputerowe 6/74
Dwuwymiarowe
Dwuwymiarowe
KMK: Metody komputerowe 7/74
KMK: Metody komputerowe 7/74
Sposoby wprowadzenia
Sposoby wprowadzenia
metody
metody
1.ZastÄ…pienie rozwiÄ…zania wielomianem
przechodzÄ…cym przez zadane punkty, oraz
zastąpienie pochodnych występujących w
równaniu różniczkowym przez pochodne
(różniczki) wielomianu,
2.Wykorzystanie rozwinięcia funkcji
wielomianem Taylora do obliczenia
pochodnych rozwiÄ…zania
KMK: Metody komputerowe 8/74
KMK: Metody komputerowe 8/74
Pojęcia podstawowe
Pojęcia podstawowe
Istota tej metody polega na zamianie operatorów
różniczkowych na odpowiednie operatory różnicowe,
określone na dyskretnym zbiorze punktów izolowa-
nych; zbiór ten nazywamy siatką, a jego elementy
siatkÄ…
węzłami. Dzięki takiej aproksymacji funkcji i jej po-
węzłami
chodnych, wyjściowe zagadnienie brzegowe zostaje
sprowadzone do układu równań algebraicznych, w
których niewiadomymi są dyskretne wartości funkcji
KMK: Metody komputerowe 9/74
KMK: Metody komputerowe 9/74
KMK: Metody komputerowe 10/74
KMK: Metody komputerowe 10/74
Ilorazy różnicowe
Ilorazy różnicowe
centralny
centralny
wprzód
wprzód
wstecz
wstecz
KMK: Metody komputerowe 11/74
KMK: Metody komputerowe 11/74
Szereg Taylora
Szereg Taylora
KMK: Metody komputerowe 12/74
KMK: Metody komputerowe 12/74
Budowa ilorazów różnicowych
Budowa ilorazów różnicowych
u ( x )
u u u
i- 1 i i + 1
x
x x
x
i- 1 i + 1
i
h h
KMK: Metody komputerowe 13/74
KMK: Metody komputerowe 13/74
Iloraz różnicowy  w przód
Iloraz różnicowy  w przód
uiƒÄ…1-ui
du
#"x= xia"u' = ƒÄ…0 śą h źą
u ( x )
i
dx h
u u u
i- 1 i i + 1
d
#"x= xiH"1 śą0 Śą-1 Śą1 źą
x
dx h x x
x
i- 1 i + 1
i
h h
KMK: Metody komputerowe 14/74
KMK: Metody komputerowe 14/74
Iloraz różnicowy  w przód
Iloraz różnicowy  w przód
- szereg Taylora
- szereg Taylora
KMK: Metody komputerowe 15/74
KMK: Metody komputerowe 15/74
Iloraz różnicowy  wstecz
Iloraz różnicowy  wstecz
ui-ui-1
du
#"x= xia"u' = ƒÄ…0 śąhźą
i
dx hu ( x )
u u u
i- 1 i i + 1
d
x
#"x= xiH"1 śą-1 Śą1 Śą0 źą
x x
x
i- 1 i + 1
i
dx h
h h
KMK: Metody komputerowe 16/74
KMK: Metody komputerowe 16/74
Iloraz różnicowy  wstecz
Iloraz różnicowy  wstecz
- szereg Taylora
- szereg Taylora
h
KMK: Metody komputerowe 17/74
KMK: Metody komputerowe 17/74
Iloraz różnicowy  centralny
Iloraz różnicowy  centralny
uiƒÄ…1-ui-1
du
#"x= xia"u' = ƒÄ…0 śą h2 źą
i
u ( x )
dx 2h
u u u
i- 1 i i + 1
x
d 1
x x
x
#"x=x H" śą-1 Śą 0 Śą 1 źą
i- 1 i + 1
i
i
dx 2h
h h
KMK: Metody komputerowe 18/74
KMK: Metody komputerowe 18/74
ui -1
du#" 1
H" [-1, 0, 1 ]
ui
x=xi
dx 2h
{ }
uiƒÄ…1
KMK: Metody komputerowe 19/74
KMK: Metody komputerowe 19/74
Przykład
Przykład
uiƒÄ…1-ui
du
wprzód
wprzód
#"x= xia"u' = ƒÄ…0 śą h źą
i
dx h
Funkcja
Pierwsza
pochodna
KMK: Metody komputerowe 20/74
KMK: Metody komputerowe 20/74
KMK: Metody komputerowe 21/74
KMK: Metody komputerowe 21/74
Błąd ilorazu wprzód
Błąd ilorazu wprzód
BÅ‚Ä…d
x h=1 h=1/2 h=1/4
-2 1 0.5 0.25
-1 1 0.5 0.25
0 1 0.5 0.25
1 1 0.5 0.25
2 1 0.5 0.25
KMK: Metody komputerowe 22/74
KMK: Metody komputerowe 22/74
Wzory różnicowe wyższych
Wzory różnicowe wyższych
pochodnych funkcji
pochodnych funkcji
Wzory różnicowe wyższych pochodnych
otrzymujemy poprzez składanie wzorów
na pierwsze pochodne
u ( x )
p w
Druga
du du
-
śą źą śą źą
pochodna
dx dx
u u u
i- 1 i i + 1
dx
x
x x
x
i- 1 i + 1
i
h h
2
ui-1-2u ƒÄ…uiƒÄ…1
d u#"
i
a"u' ' = ƒÄ…0 śą hźą
i
x= xi
2
dx h2
KMK: Metody komputerowe 23/74
KMK: Metody komputerowe 23/74
Schematy różnicowe
Schematy różnicowe
1
śą źą
-1 Śą1 Śą0
h
d
1
#"x= xiH"
śą-1 Śą 0 Śą1 źą
dx
2h
1
{
śą0 Śą-1 Śą1 źą
h
d2 1
#"x= xiH" śą1 Śą-2 Śą1źą
dx2 h2
KMK: Metody komputerowe 24/74
KMK: Metody komputerowe 24/74
Wyższe pochodne
Wyższe pochodne
d3 1
#"x=xiH" śą-1 Śą2 Śą 0 Śą-2 Śą 1źą
dx3 2h3
d4 1
#"x= xiH" śą1 Śą-4 Śą 6 Śą-4 Śą1źą
dx4 h4
KMK: Metody komputerowe 25/74
KMK: Metody komputerowe 25/74
Składanie schematów
Składanie schematów
różnicowych
różnicowych
Schemat różnicowy dla dowolnego operatora
Schemat różnicowy dla dowolnego operatora
różnicowego można otrzymać przez złożenie
różnicowego można otrzymać przez złożenie
schematów różnicowych
schematów różnicowych
dla poszczególnych pochodnych
dla poszczególnych pochodnych
Lu =u' 'ƒÄ…a u'ƒÄ…bu
1 ah ah
2
L u#"x =x iH" 1 - Śą-2ƒÄ…bh Śą 1ƒÄ…
śą źą
2 2
h2
KMK: Metody komputerowe 26/74
KMK: Metody komputerowe 26/74
Generacja równań różnicowych
Generacja równań różnicowych
W sformułowaniu MRS równania generujemy metodą
W sformułowaniu MRS równania generujemy metodą
kollokacji we wszystkich węzłach wewnątrz obszaru
kollokacji we wszystkich węzłach wewnątrz obszaru
m-1
Lu#"iH" B u = f , Ò! i=1, ...,r
"
jśą iźą jśą iźą i
j=0
KMK: Metody komputerowe 27/74
KMK: Metody komputerowe 27/74
Uwzględnienie warunków
Uwzględnienie warunków
brzegowych
brzegowych
Warunki brzegowe uwzględniamy przy tworzeniu sche-
Warunki brzegowe uwzględniamy przy tworzeniu sche-
matów różnicowych odpowiadających węzłom brzegowym
matów różnicowych odpowiadających węzłom brzegowym
Warunek brzegowy narzucony W warunku brzegowym wystÄ™
Warunek brzegowy narzucony W warunku brzegowym wystÄ™
puje operator różniczkowy
tylko na funkcjÄ™
puje operator różniczkowy
tylko na funkcjÄ™
m-1
u śą Pi źą=gi dla Pi "śą
Śą
Lu#"iH" B u = f ,
"
jśą iźą jśą iźą i
j=0
Ò! i=1, ... ,r
KMK: Metody komputerowe 28/74
KMK: Metody komputerowe 28/74
Dyskretyzacja operatora różnicz-
Dyskretyzacja operatora różnicz-
kowego na brzegu obszaru
kowego na brzegu obszaru
Dwa podejścia
Dwa podejścia
2)
2)
1)
1)
Wprowadzenie różnych
Wprowadzenie różnych
schematów różnicowych
schematów różnicowych
Wprowadzenie dodatkowych
Wprowadzenie dodatkowych
zbudowanych wyłącznie
zbudowanych wyłącznie
tzw. fikcyjnych węzłów
tzw. fikcyjnych węzłów
na węzłach leżących
na węzłach leżących
leżących poza rozpa-
leżących poza rozpa-
wewnÄ…trz obszaru lub
wewnÄ…trz obszaru lub
trywanym obszarem
trywanym obszarem
na jego brzegu
na jego brzegu
KMK: Metody komputerowe 29/74
KMK: Metody komputerowe 29/74
Konwekcja-dyfuzja ciepła
Konwekcja-dyfuzja ciepła
L
Ác u
d2 T dT
v
- =0
2
k dx
dx
śą źą
T 0 =T
0
śą źą
T L =0
KMK: Metody komputerowe 30/74
KMK: Metody komputerowe 30/74
d 1
śą źą
#"x=xiH" -1 Śą 0 Śą1
dx 2 h
PrzyjmujÄ…c
Ác uh
d2 1
v
#"x= H" śą1 Śą-2 Śą1źą
Pe=
k
dx2 xi h2
Pe
-T ƒÄ…2 T -T ƒÄ…
śą-T ƒÄ…T źą=0
i-1 i i ƒÄ…1 i-1 iƒÄ…1
2
KMK: Metody komputerowe 31/74
KMK: Metody komputerowe 31/74
Równanie różnicowe
Równanie różnicowe
T T
Å„"
i-1 i-1
Pe Å„"
ƒÄ… =0
-1 2 -1 T -1 0 1 T
i i
2
[ ] [ ]
{ } { }
Å„" Å„"
T T
iƒÄ…1 iƒÄ…1
warunki
warunki n=20 , i=0 ï"20
brzegowe T =1, T =0
brzegowe
0 20
KMK: Metody komputerowe 32/74
KMK: Metody komputerowe 32/74
RozwiÄ…zanie
RozwiÄ…zanie
1
0.8
Pe=1
1.8 0.6
1.6
0.4
1.4
1.2
0.2
1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.8
x
0.6
Pe=10
0.4
0.2
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x
KMK: Metody komputerowe 33/74
KMK: Metody komputerowe 33/74
T(x)
T(x)
Belka swobodnie podparta
Belka swobodnie podparta
x
w
w
0
w
w 3 w = w
1
2 4 0
l / 4 l / 4 l / 4 l / 4
w
2
d w ql2 x2 l l
=-M śą x źą , M śą x źą=- śą1 -4 źą dla x " - ,
[ ]
8 EJ 2 2
dx2 l2
KMK: Metody komputerowe 34/74
KMK: Metody komputerowe 34/74
Schemat różnicowy
Schemat różnicowy
d2w
d2 1
=-M śą xźą
#"x= H" śą1 Śą-2 Śą1źą
dx2 xi h2
dx2
2
l
wi-1-2wiƒÄ…wiƒÄ…1= Mi , Ò! i=0,1 ,2
śą źą
4
KMK: Metody komputerowe 35/74
KMK: Metody komputerowe 35/74
Układ równań różnicowych
Układ równań różnicowych
w0-2w1ƒÄ…w2=3 Q ,
4
4
w1-2w2ƒÄ…w1=Q , gdzie Qa"ql
128EJ
w1=-5 Q=20 w1 ścisłe,
4 19
w2=-7 Q=21 w2 ścisłe.
4 20
KMK: Metody komputerowe 36/74
KMK: Metody komputerowe 36/74
Dyskretyzacja warunków
Dyskretyzacja warunków
brzegowych
brzegowych
q l
IV
w = ; w=0 i w' '=0 dla x=Ä…
EJ 2
d4 1
#"x= H" śą1 Śą-4 Śą 6 Śą-4 Śą1źą
dx4 xi h4
IV
w =h-4śąwi-2-4wi-1ƒÄ…6wi-4wiƒÄ…1ƒÄ…wiƒÄ…2źąƒÄ…0 śąhźą
KMK: Metody komputerowe 37/74
KMK: Metody komputerowe 37/74
Podejście 1
Podejście 1
w w w
- 1 0 1
1
0
- 1
d2 1
#"x= H" śą1 Śą-2 Śą1źą
dx2 xi h2
w' '=h-2śą w-1-2w ƒÄ…w1źąƒÄ…0 śą h źą
0 0
KMK: Metody komputerowe 38/74
KMK: Metody komputerowe 38/74
Podejście 2
Podejście 2
h-2 śą w0-2w1ƒÄ…w2źą ƒÄ…0 śą h źą
h-2śą 2w0-5w1ƒÄ…4w -w3źą ƒÄ…0 śą h2źą
©
2
w©=
0
1
{
h-2śą 35 w0-10 w1ƒÄ…114 w2-56 w3ƒÄ…11 w4źąƒÄ…0 śą h3źą
12
Przypadek w1 1536 EJ/ql4 w2 1536 EJ/ql4
Przypadek w1 1536 EJ/ql4 w2 1536 EJ/ql4
1 15 21
1 15 21
2a 1.5 3
2a 1.5 3
Wynik
2b 6 9
2b 6 9
ścisły
2c 14.25 20
2c 14.25 20
KMK: Metody komputerowe 39/74
KMK: Metody komputerowe 39/74
Belka na sprężystym podłożu
Belka na sprężystym podłożu
KMK: Metody komputerowe 40/74
KMK: Metody komputerowe 40/74
Model matematyczny
Model matematyczny
Równanie
Warunki
brzegowe
KMK: Metody komputerowe 41/74
KMK: Metody komputerowe 41/74
Równania różnicowe
Równania różnicowe
d4 1
#"x= H" śą1 Śą-4 Śą 6 Śą-4 Śą1źą
dx4 xi h4
KMK: Metody komputerowe 42/74
KMK: Metody komputerowe 42/74
Warunki brzegowe
Warunki brzegowe
d 1
#"x=xiH" śą-1 Śą0 Śą1 źą
d x 2 h
KMK: Metody komputerowe 43/74
KMK: Metody komputerowe 43/74
d2 1
#"x= H" śą1 Śą-2 Śą1źą
dx2 xi h2
KMK: Metody komputerowe 44/74
KMK: Metody komputerowe 44/74
6
- 1 0 1 2 3 4 5 7 8 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
p1
i=1 Ò! śą w-1-4w0ƒÄ…6w1-4w2ƒÄ…w3źąƒÄ…K w1=
EJ EJ
w-1=w1
p2
K
i=2 Ò! śą w0-4w1ƒÄ…6w2-4w3ƒÄ…w4źąƒÄ… w2=
EJ EJ
p3
K
i=3 Ò! śą w1-4w2ƒÄ…6w3-4w4ƒÄ…w5źąƒÄ… w3=
EJ EJ
KMK: Metody komputerowe 45/74
KMK: Metody komputerowe 45/74
p4
K
i=4 Ò! śą w2-4w3ƒÄ…6w4-4w5ƒÄ…w6źąƒÄ… w4=
EJ EJ
p5
K
i=5 Ò! śą w3-4w4ƒÄ…6w5-4w6ƒÄ…w7źąƒÄ… w5=
EJ EJ
p6
i=6 Ò! śąw4-4w5ƒÄ…6w6-4w7ƒÄ…w8źąƒÄ…K w6=
EJ EJ
w9=-w7
p7
K
i=7 Ò! śąw5-4w6ƒÄ…6w7-4w8ƒÄ…w9źąƒÄ… w7=
EJ EJ
Żą
p7
i=7 Ò! śąw5-4w6ƒÄ…5w7źąƒÄ…K w7=
EJ EJ
KMK: Metody komputerowe 46/74
KMK: Metody komputerowe 46/74
RozwiÄ…zanie
RozwiÄ…zanie
pi
K
=1
=0 .5
Aw=b Ò! w= A-1 b
EJ
EJ
7.5 -4 1 0 0 0 0 1
0 .6 0 4 7
-4 6.5 -4 1 0 0 0 1
1 .3 5 2 3
1 -4 6.5 -4 1 0 0 1 1 .8 7 4 0
A= b=
w=
2 .1 2 4 8
0 1 -4 6.5 -4 1 0 1
2 .1 2 3 0
0 0 1 -4 6.5 -4 1 1
{} { }
1 .8 2 4 2
[0 0 0 1 -4 6.5 -4 ] 1
1 .1 2 2 5
0 0 0 0 1 -4 5.5 1
KMK: Metody komputerowe 47/74
KMK: Metody komputerowe 47/74
Matlab
Matlab
A=[7.5 -4 1 0 0 0 0; b=[1; 1; 1; 1; 1; 1; 1]
A=[7.5 -4 1 0 0 0 0; b=[1; 1; 1; 1; 1; 1; 1]
-4 6.5 -4 1 0 0 0;
-4 6.5 -4 1 0 0 0;
w=A^-1*b
w=A^-1*b
1 -4 6.5 -4 1 0 0;
1 -4 6.5 -4 1 0 0;
2.5
wi=[0; w; 0]
wi=[0; w; 0]
0 1 -4 6.5 -4 1 0;
0 1 -4 6.5 -4 1 0;
0 0 1 -4 6.5 -4 1;
0 0 1 -4 6.5 -4 1;
2
x=0:1:8
x=0:1:8
0 0 0 1 -4 6.5 -4;
0 0 0 1 -4 6.5 -4;
1.5
0 0 0 0 1 -4 5.5]
0 0 0 0 1 -4 5.5]
plot(x,wi)
plot(x,wi)
1
0.5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
KMK: Metody komputerowe 48/74
KMK: Metody komputerowe 48/74
Belka ciągła
Belka ciągła
x
q = 45 P = 160
M = 200
y
6
6 4
6
6 4
4
4
KMK: Metody komputerowe 49/74
KMK: Metody komputerowe 49/74
Belka ciągła  obciążenie :
Belka ciągła  obciążenie :
siła skupiona
siła skupiona
x
P = 160
y
6
6 4
6
6 4
4
4
KMK: Metody komputerowe 50/74
KMK: Metody komputerowe 50/74
Siatka metody
Siatka metody
x
h = 2
y
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
6
6 4
6
6 4
4
4
KMK: Metody komputerowe 51/74
KMK: Metody komputerowe 51/74
Siatka metody
Siatka metody
x
h = 2
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
6
6 4
6
6 4
4
4
KMK: Metody komputerowe 52/74
KMK: Metody komputerowe 52/74
Model matematyczny
Model matematyczny
4
d w q
=-
Równanie
4
EI
dx
wśą0 źą=0 wśą20źą=0
Warunki
brzegowe
w' 'śą0 źą=0 w'śą20źą=0
wśą6 źą=0
wśą12źą=0
KMK: Metody komputerowe 53/74
KMK: Metody komputerowe 53/74
Równanie różnicowe
Równanie różnicowe
d4 1
#"x= xiH" śą1 Śą-4 Śą 6 Śą-4 Śą1źą
dx4 h4
1
śąw -4wi-1ƒÄ…6wi-4wiƒÄ…1ƒÄ…wiƒÄ…2źą=-Ep #"i
i-2
I
h4
KMK: Metody komputerowe 54/74
KMK: Metody komputerowe 54/74
p1
i=1 Ò! śą w-1-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w3 źą= h4
0 1 2
EJ
p2
i =2 Ò! śą w0-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w4 źą= h4
1 2 3
EJ
p3
i =3 Ò! śą w1-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w5źą= h4
2 3 4
EJ
p4
i =4 Ò! śą w2-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w6 źą= h4
3 4 5
EJ
p5
i =5 Ò! śą w3-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w7 źą= h4
4 5 6
EJ
p6
i =6 Ò! śą w4-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w8 źą= h4
5 6 7
EJ
p7
i =7 Ò! śą w5-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w9 źą= h4
6 7 8
EJ
p8
i =8 Ò! śą w6-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w10 źą= h4
7 8 9
EJ
p9
i =9 Ò! śą w7-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w11 źą= h4
8 9 10
EJ
KMK: Metody komputerowe 55/74
KMK: Metody komputerowe 55/74
Warunki brzegowe
Warunki brzegowe
w0=0 w10=0
wśą0 źą=0 wśą20źą=0
Warunki
brzegowe
w' 'śą0 źą=0 w'śą20źą=0
w-1=-w1
w11=w9
wśą6 źą=0
wśą12źą=0
w3=0 w6=0
KMK: Metody komputerowe 56/74
KMK: Metody komputerowe 56/74
p1
i=1 Ò! śą w-1-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w3 źą= h4
0 1 2
EJ
w-1=-w1
p2
i =2 Ò! śą w0-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w4 źą= h4
1 2 3
EJ
p3
i =3 Ò! śą w1-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w5źą= h4
2 3 4
EJ
p4
i =4 Ò! śą w2-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w6 źą= h4
3 4 5
EJ
p5
i =5 Ò! śą w3-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w7 źą= h4
4 5 6
EJ
p6
i =6 Ò! śą w4-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w8 źą= h4
5 6 7
EJ
p7
i =7 Ò! śą w5-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w9 źą= h4
6 7 8
EJ
p8
i =8 Ò! śą w6-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w10 źą= h4
7 8 9
EJ
w1 =w9 p9
i =9 Ò! śą w7-4w ƒÄ…6w -4w ƒÄ…w1 źą= h4
8 9 10 11
EJ
KMK: Metody komputerowe 57/74
KMK: Metody komputerowe 57/74
Układ równań
Układ równań
i=1 Ò! śą 5w1-4w źą=0
2
i=2 Ò! śą-4w1ƒÄ…6w2ƒÄ…w3źą=0
i=4 śą 3 źą Ò! śą w2ƒÄ…6w3-4w źą=0
4
i=5 śą 4 źą Ò! śą-4w ƒÄ…6w4ƒÄ…w5źą=0
3
i=7 śą 5 źą Ò! śą w4ƒÄ…6w -4w6ƒÄ…w7źą=0
5
p8
i=8 śą 6 źą Ò! śą-4w5ƒÄ…6w6-4w7źą= h4
EJ
i=9 śą 7 źą Ò! śą w5-4w ƒÄ…7w7źą=0
6
KMK: Metody komputerowe 58/74
KMK: Metody komputerowe 58/74
Obciążenie
Obciążenie
½*80*4=160
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
KMK: Metody komputerowe 59/74
KMK: Metody komputerowe 59/74
Macierze
Macierze
K=
b=
5 -4 0 0 0 0 0
0
-4 6 1 0 0 0 0
0
0 1 6 -4 0 0 0
0
0 0 -4 6 1 0 0
1.0e-003 *
0
0 0 0 1 6 -4 1
0
0 0 0 0 -4 6 -4
-0.1214
0 0 0 0 1 -4 7
0
KMK: Metody komputerowe 60/74
KMK: Metody komputerowe 60/74
Ugięcie belki
Ugięcie belki
-5
x 10
-5
4 x 10
4
2
2
0
0
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
-12
-12
-14
-14
-16
-16 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
KMK: Metody komputerowe 61/74
KMK: Metody komputerowe 61/74
ugiecie
ugiecie
Moment zginajÄ…cy
Moment zginajÄ…cy
2
d w M
=-
2
EI
dx
2
EI
d 1
#"x=x H" śą1 Śą-2 Śą1źą
Mi=-
śąw -2wiƒÄ…wiƒÄ…1źą
i-1
i
h2
dx2
h2
KMK: Metody komputerowe 62/74
KMK: Metody komputerowe 62/74
 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0
*w
M=
0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1 -2 0
0 0 0 0 0 0 0 0 2 0
KMK: Metody komputerowe 63/74
KMK: Metody komputerowe 63/74
Wykres
Wykres
Moment zginajacy
250
200
150
100
Moment zginajacy
50
250
0
200
-50
150
-100
100
-150
50
-200
0
-250
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -50
-100
-150
-200
-250
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
KMK: Metody komputerowe 64/74
KMK: Metody komputerowe 64/74
Ilorazy różnicowe  2D
Ilorazy różnicowe  2D
y
y
j- 2
i,j+ 2
d
y
j- 1
i- 1 ,j+ 1
i,j+ 1 i+ 1 ,j+ 1
d
y
j
i- 2 ,j i- 1 ,j i,j i+ 1 ,j i+ 2 ,j
d
y
j+ 1
i- 1 ,j- 1 i,j- 1 i+ 1 ,j- 1
d
y
j+ 2
i,j- 2
h h h h
x
x x x x x
i- 2 i- 1 i i+ 1 i+ 2
KMK: Metody komputerowe 65/74
KMK: Metody komputerowe 65/74
Różniczki pierwszego rzędu
Różniczki pierwszego rzędu
"u#" =uiƒÄ…1, -ui-1, ƒÄ…0 śąh2źą
j j
i , j
"x 2h
"u#" =ui -ui
, jƒÄ…1 , j-1
ƒÄ…0 śą d2źą
i , j
" y 2 d
KMK: Metody komputerowe 66/74
KMK: Metody komputerowe 66/74
Wyższe pochodne
Wyższe pochodne
"2u#" =ui-1, -2ui ƒÄ…uiƒÄ…1, ƒÄ…0 śąh2źą
j , j j
" x2 i , j h2
-2ui , jƒÄ…ui , jƒÄ…1
"2 u#" =ui
, j-1
ƒÄ…0 śą d2źą
" y2 i , j d2
"2u#" = ui-1,j-1-ui-1 ƒÄ…uiƒÄ…1,jƒÄ…1-uiƒÄ…1 ƒÄ…0 śąhdźą
, jƒÄ…1 ,j-1
i , j
"xy 4 hd
KMK: Metody komputerowe 67/74
KMK: Metody komputerowe 67/74
Wyższe pochodne  c.d.
Wyższe pochodne  c.d.
"4u#" =ui-2, -4ui-1, ƒÄ…6ui -4uiƒÄ…1, ƒÄ…uiƒÄ…2, ƒÄ…0 śą h4źą
j j , j j j
" x4 i , j h4
-4ui , j-1ƒÄ…6ui , j-4ui , jƒÄ…1ƒÄ…ui , jƒÄ…2
"4 u#" =ui
, j-2
ƒÄ…0 śąd4źą
" y4 i , j d4
KMK: Metody komputerowe 68/74
KMK: Metody komputerowe 68/74
Operator różnicowy Laplace a
Operator różnicowy Laplace a
"2 h2
1
h
1 - 4 1
"2 1
#"x=xiH" śą1 Śą-2 Śą1źą
" x2 h2
h
"2 "2
1
"2= ƒÄ…
" x2 " y2
h h
KMK: Metody komputerowe 69/74
KMK: Metody komputerowe 69/74
Ulepszony  siatka kwadratowa
Ulepszony  siatka kwadratowa
1 /6 2 /3 1 /6
"2 h2
h
- 1 0
2 /3 2 /3
3
h
1 /6 2 /3 1 /6
"2 "2
"2= ƒÄ…
h h
" x2 " y2
KMK: Metody komputerowe 70/74
KMK: Metody komputerowe 70/74
Standardowy - siatka trójkątna
Standardowy - siatka trójkątna
2 /3 2 /3
"2 h2
h h
h h
2 /3 2 /3
- 4
h h
2 /3 2 /3
KMK: Metody komputerowe 71/74
KMK: Metody komputerowe 71/74
Operator różnicowy biharmoniczny
Operator różnicowy biharmoniczny
1
"4 h4
h
2 - 8 2
h
1 - 8 2 0 - 8 1
h
2 - 8 2
h
1
h h h h
KMK: Metody komputerowe 72/74
KMK: Metody komputerowe 72/74
Ulepszony  siatka kwadratowa
Ulepszony  siatka kwadratowa
1 / 1 /
2 /9 1 /2 2 /9
3 6 3 6
"4 h4
h
2 /9 2 /9 2 /9 2 /9
- 4
h
1 /2 1 /2
- 4 1 3 - 4
h
2 /9 2 /9 2 /9 2 /9
- 4
h
1 / 1 /
2 /9 1 /2 2 /9
3 6 3 6
h h h h
KMK: Metody komputerowe 73/74
KMK: Metody komputerowe 73/74
KONIEC CZ
ÅšCI 2
KONIEC CZ
ÅšCI 2
Metoda różnic skończonych
Metoda różnic skończonych