Zastosowanie rachunku
macierzowego w mechanice
1. Metoda różnic skończonych
Problem: Jak przedstawić ciągłe (nieskończone)
zagadnienie opisane równaniem różniczkowym, w
postaci dyskretnej (nieciągłej)
 że spełniony jest następujący układ równań:
Rozwiązując powyższy układ równań,
otrzymujemy:
otrzymamy:
Stąd I oraz II różnica skończona przybiera postać:
Analogicznie można zbudować III oraz IV różnice
skończone :
2) Metoda różnic skończonych: 1-szy przykład
zastosowania
gdzie:
Mk - moment siły w k-tym przekroju
belki (obciążenie belki)
E - moduł Younga (materiał belki)
Jk - moment bezwładności k-tym
przekroju belki
Dð x - skala podziaÅ‚u belki (przyjÄ™ta z
góry)
Przykład:
Zbadać ugięcie belki (rys)
gdzie:
a) dana belka
b) wykres momentów
c) ugięcie belki
 zał.:
Z rys a) określamy wartość momentów w p. 1, 2,.....,5
Wyznaczamy równania różnicowe w p. 1,
2, 3, 4, 5 :
Daje to następujący układ równań:
 układ 5 równań z 5 niewiadomymi
W postaci macierzowej:
RozwiÄ…zanie (np. za pomocÄ… pakietu Mathematica 2.2):
Więc
ostatecznie:
co jest wynikiem ścisłym (zgodnym z obliczeniami
analitycznymi)
Wniosek:
Dokonano "prawidłowej" dyskretyzacji belki - dobrano
właściwą ilość punktów k = 1....6.
Uwaga:
3) Metoda różnic skończonych: 2-gi przykład zastosowania
Poszczególne różnice skończone w tym punkcie obliczamy:
WstawiajÄ…c do (#) uzyskane wyniki, otrzymujemy:
Jest to postać różnicowa cząstkowego równania
różniczkowego ugięcia jednorodnej płyty, poddanej
zewnÄ™trznemu obciążeniu p., przy zaÅ‚ożeniu, że Dð x=Dð y (staÅ‚a
siatka podziału)
Rozpisując równania różnicowe dla poszczególnych węzłów
siatki podziału płyty należy uwzględnić warunki brzegowe w
postaci różnicowej.