1. Dany jest ciąg:
1
a) a = 5 n −1
n
a =
+
a
−
=
⋅
a = n − n +
a = 7 − n
n
b)
3
1 c)
1
0, 4 2 n d)
2
2
3 e)
n
n
n
n
4
3
1 n
n!
f) a = 3⋅ 2 n g) a =
h) a = 3⋅ −
i) a =
j) a = n +
− n
n
(
)1! !
n
n
2 n
n
2
n
n +1
Wypisz kilka początkowych wyrazów ciągu, zbadaj jego monotoniczność, sprawdź, czy jest arytmetyczny, czy geometryczny, czy też inny.
4 − 2 n
1’. Ogólny wyraz ciągu dany jest wzorem: a =
. Zbadaj monotoniczność ciągu i sprawdź, które
n
3 n + 5
1
wyrazy ciągu są mniejsze od − .
2
2. Wypisz kilka początkowych wyrazów ciągu:
3
dla n =1
3 n −1
dla n = 1, 2
a) a =
a =
n
b)
3 a
+ 4 dla n ≥ 2
n
3 a
+ 4 a −18 dla
n ≥ 3
n 1
−
n 1−
n−2
3. W ciągu arytmetycznym a = 8
a
1
i r = 5 . Znajdź 8 .
4. Znajdź ciąg arytmetyczny, w którym a = 36 a = 78
8
i 15
.
5. Między liczby 7 i 35 wstaw 6 liczb, które razem z danymi liczbami utworzą ciąg arytmetyczny.
6. Oblicz sumę wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 11 dają resztę 7.
7. Znajdź pierwszy wyraz i liczbę wszystkich wyrazów skończonego ciągu arytmetycznego, w którym
a = 50,3 r =
S =
n
,
0,3 i
949
n
.
1
8. Znajdź ciąg arytmetyczny, w którym: a)
2
S = 5 n + 3 n b) 2
S = n + n
n
n
2
9. Znajdź ciąg geometryczny, w którym a = 27 6 i a = 3 6 .
7
3
10. Przedstaw wielomian
2
( ) =1+ +
+...
n
W x
x x
+ x w postaci wyrażenia wymiernego.
11. Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 33, a iloczyn tych wyrazów równa się 1287. Co to za wyrazy?
12. Znajdź sumę wszystkich trzycyfrowych parzystych liczb naturalnych, które są wielokrotnościami 3.
x −1 x − 2
1
13. Znajdź wszystkie liczby naturalne spełniające równanie
+
+...+ = 3 .
x
x
x
14. Znajdź sumę 19 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, jeżeli a + a + a + a = 224
4
8
12
16
.
15. Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 4. Jaka powinna być różnica tego ciągu, by suma kwadratów jego drugiego i szóstego wyrazu była najmniejsza?
16. Drugi, pierwszy i trzeci wyraz ciągu arytmetycznego tworzą ciąg geometryczny. Znajdź je.
17. Pierwszy wyraz c.a. jest 1. Jaka powinna być różnica tego ciągu, aby a a + a a
1 3
2 3 była najmniejsza?
18. Znajdź trzy liczby tworzące c.a., jeśli ich suma wynosi 27, a suma ich kwadratów 275.
19. Trzy liczby dodatnie są kolejnymi wyrazami c.a., a ich kwadraty – kolejnymi wyrazami c.g. Znajdź q.
20. Znajdź x i y, jeśli x, x+2y, 2x+y tworzą c.a., a 2
2
( y +1) , xy + 5,( x +1) tworzą c.g.
21. Cztery różne liczby całkowite tworzą c.a. Czwarty wyraz jest równy sumie kwadratów pozostałych.
Znajdź te liczby.
22. Wszystkie wyrazy c.a. są liczbami naturalnymi. Drugi wyraz jest równy 12, a suma S 9 spełnia nierówność 200 < S < 220
9
. Znajdź ten ciąg.
23. Czy liczby 12,13,14 mogą być wyrazami (niekoniecznie kolejnymi) c.g?
24. Trzy liczby o sumie 124 tworzą c.g. Jeśli do pierwszej liczby dodamy 1, drugą zostawimy bez zmian, a od trzeciej odejmiemy 65, to utworzą one c.a. Co to za liczby?
25. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej zachodzi równość 4 + ...+ (6 n + 4) = n(3 n + 7) + 4 .
26. W c.a. dane są: a = x, a = 3 x + y, a = 5 x − 2 y −1, a = 17
S =
1
2
4
6
. Dla jakiego n zachodzi
260
n
?
27. Wiedząc, że x + y , 3 x + 2 y +1, 2
x + 4 y + 5 x są kolejnymi wyrazami c.a., oblicz, dla jakich x ten ciąg jest rosnący.
28. Współczynniki równania kwadratowego
2
ax + bx + c = 0 tworzą c.a. o sumie 24. Jednym z 1
pierwiastków równania jest liczba − . Oblicz a,b,c oraz drugi pierwiastek.
5
• Dla jakich wartości parametru a równanie 3
2
x + x − a = 0 ma trzy rozwiązania, tworzące c.a?
• Jaka musi być zależność między p i q , aby równanie 4
2
x + px + q = 0 miało 4 różne pierwiastki tworzące c.a?
• Liczby x , x
x , x
1
2 są rozwiązaniami równania
2
x − 3 x + a = 0 , a liczby 3 4 są rozwiązaniami równania 2
x −12 x + b = 0 . Znajdź a i b , jeżeli x , x x , x
1
2 ,
3
4 tworzą c.g.
1
1
1
• Uprość wyrażenie 1−
1−
... 1−
2
4
9
n