MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA II
Numer
Numer
Liczba
Etapy rozwiązania zadania
zadania czynności
punktów
Obliczenie wyróżnika:
4
3
2
∆ = m + 8 m +12 m i wskazanie pierwiastków wielomianu 4
3
2
m + 8 m +12 m :
11.1.
m = 0, m = 6,
− m − 2 , lub zapisanie wyróżnika w postaci 2
1
2
3
iloczynowej:
2
∆ = m ( m + 2)⋅( m + 6).
11.
Rozwiązanie nierówności ∆ > 0 i zapisanie dziedziny: 11.2.
m ∈ (− ∞, − 6)∪ (− ,
2 0)∪ ( ,
0 ∞).
1
3 m + 2
11.3.
Zapisanie wzoru funkcji: f ( m) =
1
m + 2
11.4.
Naszkicowanie wykresu funkcji f. 2
Wykorzystanie własności 2
2
x = x i doprowadzenie 12.1.
1
drugiego równania do postaci: ( y + )2 + ( y + )2
1
1 = 8 .
12.2.
Wyznaczenie wartości zmiennej y: 3
y = − lub y = 1.
1
y = 3
−
y =1
Rozwiązanie układu równań
lub
:
x = 2
−
x = 2
12.3.
x = 2
x = −2
2
lub
.
y =1
y =1
12.
Inna metoda.
12.1. Zastosowanie definicji wartości bezwzględnej i zapisanie alternatywy układów równań lub dwóch równań.
12.2. Przekształcenie otrzymanych układów równań do równań z jedną niewiadomą.
12.3. Rozwiązanie równań, układów równań.
Metoda graficzna.
12.1. Geometryczna interpretacja pierwszego równania.
12.2. Geometryczna interpretacja drugiego równania.
12.3. Podanie rozwiązania układu
13.1.
Zapisanie założeń: x > 0 i x ≠ 1 i 4 x 12 2 x
− ⋅ + 32 > 0 .
1
Doprowadzenie nierówności 4 x 12 2 x
− ⋅ + 32 > 0 do postaci,
13.2.
1
na przykład 2
t −12 t + 32 > 0 , gdzie 2 x
t =
i t > 0 .
13.3.
Rozwiązanie nierówności ze zmienną t: t < 4 lub t > 8 .
1
13.
x <
x >
13.4.
Rozwiązanie nierówności: 2
4 lub 2
8 : x < 2 lub
1
x > 3 .
Wyznaczenie dziedziny funkcji f : 13.5.
D = (0, )
1 ∪ (1, 2) ∪(3, ∞) .
1
Zapisanie, że długość boku każdego kolejnego trójkąta jest iloczynem długości boku trójkąta poprzedniego 14.1.
1
3
i liczby
.
2
14.
Zapisanie, że ciąg pól utworzonych trójkątów jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o pierwszym 14.2.
2
2
a
3
3
wyrazie równym P =
i ilorazie q = .
1
4
4
14.3.
Obliczenie sumy pól wszystkich trójkątów: 2
S = a
3 .
1
15.1.
Zapisanie założenia: sin x ≠ 0 .
1
Zastosowanie wzoru redukcyjnego i zapisanie równania 15.2.
1
cos x
w postaci:
+
− sin x = 0.
1
15.
sin x
sin x
15.3.
Przekształcenie równania do postaci: cos x(cos x + ) 1 = 0 .
1
π
15.4.
Zapisanie rozwiązań równania: x =
+ kπ , k ∈ C .
1
2
Zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo sumy 16.1.
1
zdarzeń.
Wykorzystanie niezależności zdarzeń i otrzymanie 16.
16.2.
równania (1− P( )
A )(1− P( B)) = 0 .
2
Wywnioskowanie, że przynajmniej jedno ze zdarzeń A lub 16.3.
1
B jest zdarzeniem pewnym.
Podanie przedziałów, w których funkcja jest 17.1.
malejąca: (− ;
∞ − 4 , ;
0 4 .
1
Stwierdzenie, że funkcja osiąga maksimum dla x = 0 , 17.
17.2.
podanie warunku koniecznego i warunku wystarczającego 2
istnienia maksimum.
Napisanie równania kierunkowego stycznej w punkcie A: 17.3.
y = 2
− x + 4 .
2
Przedstawienie metody wyznaczenia współrzędnych punktu 18.1.
C (w tym 1 punkt za zapisanie warunku prostopadłości 2
prostych)
18.2.
Wyznaczenie współrzędnych punktu C: C = (3, 0) .
1
Zapisanie współrzędnych środka okręgu opisanego na 18.3.
trójkącie ABC: S = (3, 5) i długości promienia tego 1
18.
okręgu : r = 5 .
Wyznaczenie współrzędnych środka obrazu okręgu: 18.4.
S ' = (−3, −10) ( w tym 1 punkt za metodę).
2
18.5. Zapisanie
długości promienia obrazu okręgu: r’=10. 1
Zapisanie równania obrazu okręgu:
18.6.
2
2
1
( x + 3) + ( y +10) = 100 .
Sporządzenie rysunku ostrosłupa z zaznaczonym 19.
19.1.
1
przekrojem.
S
E
C
∝
A
D
a
B
a 2
19.2.
Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa:
.
1
2
Metoda I
Wyznaczenie cosinusa kąta nachylenia krawędzi bocznej 19.3.
6
1
ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy: cosα =
.
3
a 6
19.4.
Obliczenie długości wysokości przekroju: DE =
.
2
4
Metoda II
Obliczenie długości boków SD i ES w trójkącie EDS: 19.3.
a
a 2
1
19.
SD = i SE =
.
2
4
a 6
19.4.
Obliczenie długości wysokości przekroju: DE =
.
2
4
Metoda III
a 10
19.3.
Obliczenie długości odcinka EB: EB =
.
1
4
a 6
19.4.
Obliczenie długości wysokości przekroju: DE =
.
2
4
6
19.5.
Obliczenie pola przekroju:
2
S =
a .
1
8
20.1.
Sprawdzenie warunku dla n = 1.
1
20.
20.2. Napisanie
założenia indukcyjnego i tezy indukcyjnej.
1
20.3.
Przeprowadzenie dalszej części dowodu.
2
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.