MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA II

Numer

Numer

Liczba

Etapy rozwiązania zadania

zadania czynności

punktów

Obliczenie wyróżnika:

4

3

2

∆ = m + 8 m +12 m i wskazanie pierwiastków wielomianu 4

3

2

m + 8 m +12 m :

11.1.

m = 0, m = 6,

− m − 2 , lub zapisanie wyróżnika w postaci 2

1

2

3

iloczynowej:

2

∆ = m ( m + 2)⋅( m + 6).

11.

Rozwiązanie nierówności ∆ > 0 i zapisanie dziedziny: 11.2.

m ∈ (− ∞, − 6)∪ (− ,

2 0)∪ ( ,

0 ∞).

1

3 m + 2

11.3.

Zapisanie wzoru funkcji: f ( m) =

1

m + 2

11.4.

Naszkicowanie wykresu funkcji f. 2

Wykorzystanie własności 2

2

x = x i doprowadzenie 12.1.

1

drugiego równania do postaci: ( y + )2 + ( y + )2

1

1 = 8 .

12.2.

Wyznaczenie wartości zmiennej y: 3

y = − lub y = 1.

1

 y = 3

−



 y =1



Rozwiązanie układu równań 

lub 

:

 x = 2

−



 x = 2



12.3.

 x = 2

 x = −2

2



lub 

.

 y =1

 y =1

12.

Inna metoda.

12.1. Zastosowanie definicji wartości bezwzględnej i zapisanie alternatywy układów równań lub dwóch równań.

12.2. Przekształcenie otrzymanych układów równań do równań z jedną niewiadomą.

12.3. Rozwiązanie równań, układów równań.

Metoda graficzna.

12.1. Geometryczna interpretacja pierwszego równania.

12.2. Geometryczna interpretacja drugiego równania.

12.3. Podanie rozwiązania układu

13.1.

Zapisanie założeń: x > 0 i x ≠ 1 i 4 x 12 2 x

− ⋅ + 32 > 0 .

1

Doprowadzenie nierówności 4 x 12 2 x

− ⋅ + 32 > 0 do postaci,

13.2.

1

na przykład 2

t −12 t + 32 > 0 , gdzie 2 x

t =

i t > 0 .

13.3.

Rozwiązanie nierówności ze zmienną t: t < 4 lub t > 8 .

1

13.

x <

x >

13.4.

Rozwiązanie nierówności: 2

4 lub 2

8 : x < 2 lub

1

x > 3 .

Wyznaczenie dziedziny funkcji f : 13.5.

D = (0, )

1 ∪ (1, 2) ∪(3, ∞) .

1

Zapisanie, że długość boku każdego kolejnego trójkąta jest iloczynem długości boku trójkąta poprzedniego 14.1.

1

3

i liczby

.

2

14.

Zapisanie, że ciąg pól utworzonych trójkątów jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o pierwszym 14.2.

2

2

a

3

3

wyrazie równym P =

i ilorazie q = .

1

4

4

14.3.

Obliczenie sumy pól wszystkich trójkątów: 2

S = a

3 .

1

15.1.

Zapisanie założenia: sin x ≠ 0 .

1

Zastosowanie wzoru redukcyjnego i zapisanie równania 15.2.

1

cos x

w postaci:

+

− sin x = 0.

1

15.

sin x

sin x

15.3.

Przekształcenie równania do postaci: cos x(cos x + ) 1 = 0 .

1

π

15.4.

Zapisanie rozwiązań równania: x =

+ kπ , k ∈ C .

1

2

Zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo sumy 16.1.

1

zdarzeń.

Wykorzystanie niezależności zdarzeń i otrzymanie 16.

16.2.

równania (1− P( )

A )(1− P( B)) = 0 .

2

Wywnioskowanie, że przynajmniej jedno ze zdarzeń A lub 16.3.

1

B jest zdarzeniem pewnym.

Podanie przedziałów, w których funkcja jest 17.1.

malejąca: (− ;

∞ − 4 , ;

0 4 .

1

Stwierdzenie, że funkcja osiąga maksimum dla x = 0 , 17.

17.2.

podanie warunku koniecznego i warunku wystarczającego 2

istnienia maksimum.

Napisanie równania kierunkowego stycznej w punkcie A: 17.3.

y = 2

− x + 4 .

2

Przedstawienie metody wyznaczenia współrzędnych punktu 18.1.

C (w tym 1 punkt za zapisanie warunku prostopadłości 2

prostych)

18.2.

Wyznaczenie współrzędnych punktu C: C = (3, 0) .

1

Zapisanie współrzędnych środka okręgu opisanego na 18.3.

trójkącie ABC: S = (3, 5) i długości promienia tego 1

18.

okręgu : r = 5 .

Wyznaczenie współrzędnych środka obrazu okręgu: 18.4.

S ' = (−3, −10) ( w tym 1 punkt za metodę).

2

18.5. Zapisanie

długości promienia obrazu okręgu: r’=10. 1

Zapisanie równania obrazu okręgu:

18.6.

2

2

1

( x + 3) + ( y +10) = 100 .

Sporządzenie rysunku ostrosłupa z zaznaczonym 19.

19.1.

1

przekrojem.

S

E

C

∝

A

D

a

B

a 2

19.2.

Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa:

.

1

2

Metoda I

Wyznaczenie cosinusa kąta nachylenia krawędzi bocznej 19.3.

6

1

ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy: cosα =

.

3

a 6

19.4.

Obliczenie długości wysokości przekroju: DE =

.

2

4

Metoda II

Obliczenie długości boków SD i ES w trójkącie EDS: 19.3.

a

a 2

1

19.

SD = i SE =

.

2

4

a 6

19.4.

Obliczenie długości wysokości przekroju: DE =

.

2

4

Metoda III

a 10

19.3.

Obliczenie długości odcinka EB: EB =

.

1

4

a 6

19.4.

Obliczenie długości wysokości przekroju: DE =

.

2

4

6

19.5.

Obliczenie pola przekroju:

2

S =

a .

1

8

20.1.

Sprawdzenie warunku dla n = 1.

1

20.

20.2. Napisanie

założenia indukcyjnego i tezy indukcyjnej.

1

20.3.

Przeprowadzenie dalszej części dowodu.

2

Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.