RÓWNANIA RÓśNICZKOWE
Definicja 1 (równanie różniczkowe) Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci
F ( x, y, y') = 0,
w którym y' występuje zawsze, natomiast x i y mogą występować, ale nie muszą.
Rozwiązaniem ogólnym ( całką ogólną) równania różniczkowego nazywamy każdą taką funkcję postaci
y = ϕ ( x ; C
),
która dla każdej wartości C należącej do pewnego przedziału jest rozwiązaniem równania.
Rozwiązanie szczególne ( całkę szczególną) otrzymujemy nadając parametrowi C pewną stałą wartość.
RÓWNANIA RÓśNICZKOWE 2 / 13
Dla równania różniczkowego
y' = 2 y
rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) jest
2 x
y = Ce
gdzie C jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Przyjmując za C wartości -2, 0, 1, 4 otrzymujemy rozwiązania (całki) szczególne
2 x
y = 2
− e , y = 0,
2 x
y = e ,
2 x
y = 4 e .
RÓWNANIA RÓśNICZKOWE 3 / 13
Sprawdzić, czy funkcja jest rozwiązaniem równania
różniczkowego:
1)
2
y = 1+ x , (1 + x 2 ) y' = xy; 2) y = 3 2
x + x − 2, xy'+ y = x ; C
dr
3) r(ϕ ) =
, cosϕ
− 2 r sinϕ = 0;
2
cos ϕ
ϕ
d
4) y = 3sin x − 4 cos x , y' '− y' = 0.
RÓWNANIA RÓśNICZKOWE 4 / 13
RÓWNANIA O ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH
Równanie postaci
f ( x) dx = g( y) dy nazywamy równaniem o rozdzielonych zmiennych.
Całkę ogólną znajdujemy całkując obie strony równania
∫ f ( x) dx = ∫ g( y) dy.
RÓWNANIA RÓśNICZKOWE 5 / 13
Znaleźć całki ogólne następujących równań:
1) y' = 2 y ,
3 y
2) y' =
,
x
xy
3)
2
+ y = 1,
y'
3
y + y
4) xy' =
,
2
1− y
2
1
5) x y' = sin .
x
RÓWNANIA RÓśNICZKOWE 6 / 13
Znaleźć całki szczególne równań spełniające warunki początkowe:
π
1)
2
y' = 1 + y , y = 1;
4
2) x 2 y' = y − xy , y(− ) 1 = −1.
RÓWNANIA RÓśNICZKOWE 7 / 13
RÓWNANIA RÓśNICZKOWE JEDNORODNE
Równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci
y
y' = f
x
o funkcji niewiadomej y nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym względem y i x .
Równanie takie doprowadzamy do równania o rozdzielonych zmiennych, stosując podstawienie
y
u =
.
x
RÓWNANIA RÓśNICZKOWE 8 / 13
Znaleźć całki ogólne równań:
2
y
1) y' =
,
2
xy − x
2 xy
2) y' =
.
2
2
x − y
Przykład 6
Znaleźć całki szczególne równań spełniające warunki początkowe: 1) xy' = x + y , y(− ) 1 = 1
− ;
2)
2
2
2
x y' = x + xy + y , y(− ) 1 = 1
− ;
RÓWNANIA RÓśNICZKOWE 9 / 13
RÓWNANIA RÓśNICZKOWE LINIOWE RZĘDU PIERWSZEGO
Równanie postaci
y'+ g( x
) y = f ( x)
o funkcji niewiadomej y nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu.
Szukana funkcja y jest funkcją zmiennej x .
Funkcje f i g są ciągłe w pewnym przedziale.
Równanie
y'+ g( x
) y = 0
nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym pierwszego rzędu.
RÓWNANIA RÓśNICZKOWE 10 / 13
Całka ogólna y równania różniczkowego liniowego pierwszego rzędu jest sumą całki ogólnej y równania jednorodnego 0
y'+ g( x
) y = 0 i całki szczególnej Y równania niejednorodnego y'+ g( x
) y = f ( x), tzn
y( x
) = y ( x
) + Y ( x).
0
Całka ogólna równania jednorodnego ma postać:
−∫
y ( x
)
.
0
=
g ( x) dx
Ce
Całkę szczególną Y można wyznaczyć metodą uzmienniania stałej lub metodą przewidywań.
RÓWNANIA RÓśNICZKOWE 11 / 13
Metoda uzmienniania stałej polega na zastąpieniu stałej C przez nieznaną funkcję L, która musi być tak dobrana, aby funkcja
−∫
Y ( x =
g ( x) dx
)
L( x) e
była rozwiązaniem równania y'+ g( x
) y = f ( x).
Metodę przewidywań stosujemy wtedy, gdy funkcja g z równania y'+ g( x
) y = f ( x) jest stała (np. g( x =
)
p), a funkcja f z tego
równania jest:
• wielomianem stopnia n,
• lub sumą postaci α sin kx + β cos kx,
• lub funkcją postaci bx
ae , gdzie b ≠ − p,
• bądź też sumą lub iloczynem funkcji wymienionych powyżej.
RÓWNANIA RÓśNICZKOWE 12 / 13
Przykład 7
Wyznaczyć całki ogólne równań różniczkowych:
1
1) y'+ y ctg x =
,
2
cos x
−2 x
1 − e
2) y + y' =
,
x
− x
e + e
3)
3
y'+2 y = 2 x ,
4)
5 x
y'+ y = sin 2 x + e .
RÓWNANIA RÓśNICZKOWE 13 / 13