Równania ró niczkowe zwyczajne II

DEFINICJA

Równanie ró niczkowe, które mo na zapisa w postaci

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

7

y

p t y q t ,

′′′′ +

=

+

=

+

=

+

=

gdzie

p, q s okre lone i ci głe na I ⊂

⊂

⊂

⊂ nazywa si RÓWNANIEM RÓ NICZKOWYM

LINIOWYM I RZ DU.
Je eli

(((( ))))

0

q t

, t I ,

≠

∈

≠

∈

≠

∈

≠

∈ to równanie (7) nazywa si LINIOWYM NIEJEDNORODNYM.

Je eli

(((( ))))

0

q t

, t I ,

=

∈

=

∈

=

∈

=

∈ to równanie (7) nazywa si LINIOWYM JEDNORODNYM.

UWAGA

(i) Równanie liniowe jednorodne

(((( ))))

0

y

p t y

′′′′ +

=

+

=

+

=

+

=

R.L.J.

jest szczególnym przypadkiem równania o zmiennych rozdzielonych.
(ii) Je eli

1

2

y , y

s ró nymi rozwi zaniami równania liniowego niejednorodnego

(((( ))))

(((( ))))

y

p t y q t

′′′′ +

=

+

=

+

=

+

=

R.L.N.

to

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

2

1

y t

y t

y t

=

−

=

−

=

−

=

−

jest rozwi zaniem R.L.J.

(iii) Je eli

y

jest rozwi zaniem R.L.J. i

1

y

jest rozwi zaniem R.L.N., to

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

2

1

y t

y t

y t

=

+

=

+

=

+

=

+

jest rozwi zaniem R.L.N.

TWIERDZENIE

Rozwi zanie ogólne równania liniowego niejednorodnego jest sum rozwi zania ogólnego

równania liniowego jednorodnego i rozwi zania szczególnego równania niejednorodnego.

C.O.R.L.N. = C.O.R.L.J. + C.S.R.L.N.

DEFINICJA

Równanie ró niczkowe rz du II, które mo na zapisa w postaci

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

8

y

p t y q t y h t ,

′′

′

′′

′

′′

′

′′

′

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

gdzie

p, q, h s okre lone i ci głe na I ⊂

⊂

⊂

⊂ nazywa si RÓWNANIEM

RÓ NICZKOWYM LINIOWYM II RZ DU.
Je eli

(((( ))))

0

h t

, t I ,

≠

∈

≠

∈

≠

∈

≠

∈ to równanie (8) nazywa si LINIOWYM NIEJEDNORODNYM.

Je eli

(((( ))))

0

h t

, t I ,

=

∈

=

∈

=

∈

=

∈ to równanie (8) nazywa si LINIOWYM JEDNORODNYM.

UWAGA

Je eli

1

2

y , y

s rozwi zaniami równania liniowego jednorodnego

(((( ))))

(((( ))))

0

y

p t y q t y

′′

′

′′

′

′′

′

′′

′

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

R.L.J.

to dla dowolnych

1

2

c ,c ∈

∈

∈

∈

funkcja

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

1 1

2 2

y t

c y t

c y t

=

+

=

+

=

+

=

+

jest tak e rozwi zaniem R.L.J.

DEFINICJA
Par rozwi za

((((

))))

1

2

y , y równania liniowego jednorodnego II rz du okre lonych na

przedziale

I ⊂

⊂

⊂

⊂ nazywa si UKŁADEM FUNDAMENTALNYM (PODSTAWOWYM)

R.L.J. NA I, gdy dla ka dego t I

∈

∈

∈

∈ WRO SKIAN pary

((((

))))

1

2

y , y jest niezerowy, tzn.

(((( )))) (((( ))))

((((

))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

1

2

1

2

1

2

0

y t

y t

W y t , y t : det

y t

y t

=

≠

=

≠

=

≠

=

≠

′

′

′

′

′

′

′

′

TWIERDZENIE
Niech

((((

))))

1

2

y , y

b dzie układem fundamentalnym równania liniowego jednorodnego. Wtedy

dla ka dego rozwi zania

y tego równania istniej jednoznacznie okre lone stałe

1

2

c ,c ∈

∈

∈

∈

takie, e

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

1 1

2 2

y t

c y t

c y t

=

+

=

+

=

+

=

+

DEFINICJA

Równanie postaci

2

0

p

q

,

, p,q

λ

λ

λ

+

+ =

∈

∈

+

+ =

∈

∈

+

+ =

∈

∈

+

+ =

∈

∈

nazywa si

RÓWNANIEM CHARAKTERYSTYCZNYM równania liniowego

jednorodnego II rz du o stałych współczynnikach

(((( ))))

8

0

y

py qy

, p,q

′

′′

′

′

′′

′

′

′′

′

′

′′

′

+

+

=

∈

+

+

=

∈

+

+

=

∈

+

+

=

∈

Natomiast wielomian

(((( ))))

2

W

p

q

λ

λ

λ

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

nazywa si

WIELOMIANEM CHARAKTERYSTYCZNYM równania

(((( ))))

8′′′′ .

WNIOSEK 1
Je eli

1

2

1

2

,

,

λ

λ λ λ

≠

∈

≠

∈

≠

∈

≠

∈

s pierwiastkami wielomianu charakterystycznego równania

(((( ))))

8′′′′

,

to układ fundamentalny tego równania tworz funkcje:

(((( ))))

(((( ))))

1

2

1

2

t

t

y t

e , y t

e

λ

λ

=

=

=

=

=

=

=

=

a rozwi zanie ogólne równania

(((( ))))

8′′′′

jest postaci:

(((( ))))

1

2

1

2

1

2

t

t

y t

c e

c e , c ,c

λ

λ

=

+

∈

=

+

∈

=

+

∈

=

+

∈

C.O.R.L.J.

WNIOSEK 2
Je eli

λ ∈

∈

∈

∈

jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania

(((( ))))

8′′′′

,

to układ fundamentalny tego równania tworz funkcje:

(((( ))))

(((( ))))

1

2

t

t

y t

e , y t

te

λ

λ

=

=

=

=

=

=

=

=

a rozwi zanie ogólne równania

(((( ))))

8′′′′

jest postaci:

(((( ))))

1

2

1

2

t

t

y t

c e

c te , c ,c

λ

λ

=

+

∈

=

+

∈

=

+

∈

=

+

∈

C.O.R.L.J.

WNIOSEK 3

Je eli

1

2

0

i ,

i ,

,

λ

α β λ

α β α

β

= +

= −

∈

>

= +

= −

∈

>

= +

= −

∈

>

= +

= −

∈

>

s pierwiastkami zespolonymi wielomianu

charakterystycznego równania

(((( ))))

8′′′′

, to układ fundamentalny tego równania tworz funkcje:

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

1

2

t

t

y t

e cos t , y t

e sin t

α

α

β

β

=

=

=

=

=

=

=

=

a rozwi zanie ogólne równania

(((( ))))

8′′′′

jest postaci:

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

((((

))))

1

2

1

2

t

y t

e c cos t

c sin t , c , c

α

β

β

=

+

∈

=

+

∈

=

+

∈

=

+

∈

C.O.R.L.J.

UWAGA

Analogicznie jak dla równa liniowych I rz du, rozwi zanie ogólne równania liniowego

niejednorodnego II rz du jest sum rozwi zania ogólnego równania liniowego jednorodnego

i rozwi zania szczególnego równania niejednorodnego.

C.O.R.L.N. = C.O.R.L.J. + C.S.R.L.N.