Równania ró niczkowe zwyczajne II
DEFINICJA
Równanie ró niczkowe, które mo na zapisa w postaci
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
7
y
p t y q t ,
′′′′ +
=
+
=
+
=
+
=
gdzie
p, q s okre lone i ci głe na I ⊂
⊂
⊂
⊂ nazywa si RÓWNANIEM RÓ NICZKOWYM
LINIOWYM I RZ DU.
Je eli
(((( ))))
0
q t
, t I ,
≠
∈
≠
∈
≠
∈
≠
∈ to równanie (7) nazywa si LINIOWYM NIEJEDNORODNYM.
Je eli
(((( ))))
0
q t
, t I ,
=
∈
=
∈
=
∈
=
∈ to równanie (7) nazywa si LINIOWYM JEDNORODNYM.
UWAGA
(i) Równanie liniowe jednorodne
(((( ))))
0
y
p t y
′′′′ +
=
+
=
+
=
+
=
R.L.J.
jest szczególnym przypadkiem równania o zmiennych rozdzielonych.
(ii) Je eli
1
2
y , y
s ró nymi rozwi zaniami równania liniowego niejednorodnego
(((( ))))
(((( ))))
y
p t y q t
′′′′ +
=
+
=
+
=
+
=
R.L.N.
to
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
2
1
y t
y t
y t
=
−
=
−
=
−
=
−
jest rozwi zaniem R.L.J.
(iii) Je eli
y
jest rozwi zaniem R.L.J. i
1
y
jest rozwi zaniem R.L.N., to
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
2
1
y t
y t
y t
=
+
=
+
=
+
=
+
jest rozwi zaniem R.L.N.
TWIERDZENIE
Rozwi zanie ogólne równania liniowego niejednorodnego jest sum rozwi zania ogólnego
równania liniowego jednorodnego i rozwi zania szczególnego równania niejednorodnego.
C.O.R.L.N. = C.O.R.L.J. + C.S.R.L.N.
DEFINICJA
Równanie ró niczkowe rz du II, które mo na zapisa w postaci
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
8
y
p t y q t y h t ,
′′
′
′′
′
′′
′
′′
′
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
gdzie
p, q, h s okre lone i ci głe na I ⊂
⊂
⊂
⊂ nazywa si RÓWNANIEM
RÓ NICZKOWYM LINIOWYM II RZ DU.
Je eli
(((( ))))
0
h t
, t I ,
≠
∈
≠
∈
≠
∈
≠
∈ to równanie (8) nazywa si LINIOWYM NIEJEDNORODNYM.
Je eli
(((( ))))
0
h t
, t I ,
=
∈
=
∈
=
∈
=
∈ to równanie (8) nazywa si LINIOWYM JEDNORODNYM.
UWAGA
Je eli
1
2
y , y
s rozwi zaniami równania liniowego jednorodnego
(((( ))))
(((( ))))
0
y
p t y q t y
′′
′
′′
′
′′
′
′′
′
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
R.L.J.
to dla dowolnych
1
2
c ,c ∈
∈
∈
∈
funkcja
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
1 1
2 2
y t
c y t
c y t
=
+
=
+
=
+
=
+
jest tak e rozwi zaniem R.L.J.
DEFINICJA
Par rozwi za
((((
))))
1
2
y , y równania liniowego jednorodnego II rz du okre lonych na
przedziale
I ⊂
⊂
⊂
⊂ nazywa si UKŁADEM FUNDAMENTALNYM (PODSTAWOWYM)
R.L.J. NA I, gdy dla ka dego t I
∈
∈
∈
∈ WRO SKIAN pary
((((
))))
1
2
y , y jest niezerowy, tzn.
(((( )))) (((( ))))
((((
))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
1
2
1
2
1
2
0
y t
y t
W y t , y t : det
y t
y t
=
≠
=
≠
=
≠
=
≠
′
′
′
′
′
′
′
′
TWIERDZENIE
Niech
((((
))))
1
2
y , y
b dzie układem fundamentalnym równania liniowego jednorodnego. Wtedy
dla ka dego rozwi zania
y tego równania istniej jednoznacznie okre lone stałe
1
2
c ,c ∈
∈
∈
∈
takie, e
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
1 1
2 2
y t
c y t
c y t
=
+
=
+
=
+
=
+
DEFINICJA
Równanie postaci
2
0
p
q
,
, p,q
λ
λ
λ
+
+ =
∈
∈
+
+ =
∈
∈
+
+ =
∈
∈
+
+ =
∈
∈
nazywa si
RÓWNANIEM CHARAKTERYSTYCZNYM równania liniowego
jednorodnego II rz du o stałych współczynnikach
(((( ))))
8
0
y
py qy
, p,q
′
′′
′
′
′′
′
′
′′
′
′
′′
′
+
+
=
∈
+
+
=
∈
+
+
=
∈
+
+
=
∈
Natomiast wielomian
(((( ))))
2
W
p
q
λ
λ
λ
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
nazywa si
WIELOMIANEM CHARAKTERYSTYCZNYM równania
(((( ))))
8′′′′ .
WNIOSEK 1
Je eli
1
2
1
2
,
,
λ
λ λ λ
≠
∈
≠
∈
≠
∈
≠
∈
s pierwiastkami wielomianu charakterystycznego równania
(((( ))))
8′′′′
,
to układ fundamentalny tego równania tworz funkcje:
(((( ))))
(((( ))))
1
2
1
2
t
t
y t
e , y t
e
λ
λ
=
=
=
=
=
=
=
=
a rozwi zanie ogólne równania
(((( ))))
8′′′′
jest postaci:
(((( ))))
1
2
1
2
1
2
t
t
y t
c e
c e , c ,c
λ
λ
=
+
∈
=
+
∈
=
+
∈
=
+
∈
C.O.R.L.J.
WNIOSEK 2
Je eli
λ ∈
∈
∈
∈
jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania
(((( ))))
8′′′′
,
to układ fundamentalny tego równania tworz funkcje:
(((( ))))
(((( ))))
1
2
t
t
y t
e , y t
te
λ
λ
=
=
=
=
=
=
=
=
a rozwi zanie ogólne równania
(((( ))))
8′′′′
jest postaci:
(((( ))))
1
2
1
2
t
t
y t
c e
c te , c ,c
λ
λ
=
+
∈
=
+
∈
=
+
∈
=
+
∈
C.O.R.L.J.
WNIOSEK 3
Je eli
1
2
0
i ,
i ,
,
λ
α β λ
α β α
β
= +
= −
∈
>
= +
= −
∈
>
= +
= −
∈
>
= +
= −
∈
>
s pierwiastkami zespolonymi wielomianu
charakterystycznego równania
(((( ))))
8′′′′
, to układ fundamentalny tego równania tworz funkcje:
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
1
2
t
t
y t
e cos t , y t
e sin t
α
α
β
β
=
=
=
=
=
=
=
=
a rozwi zanie ogólne równania
(((( ))))
8′′′′
jest postaci:
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
((((
))))
1
2
1
2
t
y t
e c cos t
c sin t , c , c
α
β
β
=
+
∈
=
+
∈
=
+
∈
=
+
∈
C.O.R.L.J.
UWAGA
Analogicznie jak dla równa liniowych I rz du, rozwi zanie ogólne równania liniowego
niejednorodnego II rz du jest sum rozwi zania ogólnego równania liniowego jednorodnego
i rozwi zania szczególnego równania niejednorodnego.
C.O.R.L.N. = C.O.R.L.J. + C.S.R.L.N.